LittleFox

Je pense que le problème vient de la mesure de la diagonale du carré, je vais voir.

salut

avec la figure suivante :

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(AG) : (n - 1)y = nx        (CE) : (n - 1)y = (nx - 1)

(BH) : ny = (n - 1)(1 - x)     (DF) : ny = n - (n - 1)x

   et  



or 30^2 = 900 et 31^2 = 961 et 32^2 = 2^10 = 1024 donc on trouve n = 32

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ggb m'a bien servi pour ne pas succomber à ce que je voyais ... et qui était faux

Pest le point de coordonnées (abscisse de E = 1/n, aire de IJKL) et l'arc de courbe AC est son lieu lorsque n varie de 1 à 20

bien entendu une transformation géométrique approprié donnant le rapport des aires des rectangles ABCD ou EFGH et IJKL sera plus efficace ...

Wow, quelle jolie animation carpediem, et sans surprise le résultat est juste ! J'adore la justification du PPS

J'ai employé la même méthode pour trouver la solution au tout début quand j'ai rencontré ce problème, il m'a fallu quelques heures pour y penser... et quelques cheveux arrachés

J'attends de voir si d'autres personnes participent, sinon je donnerai d'autres solutions en début de semaine prochaine

J'ai supposé que les côtés du carré violet était parallèles aux diagonales du carré unitaire. Ce qui est évidemment faux

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Soit x le côté du carré violet, par les triangles semblables dans un coin du carré, on a :



On a donc

Bonjour,

Fidèle à mon habitude:

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Je trouve 0.031742033245512  (environ )

Bonjour

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En observant les angles , c'est assez facile . Le carré tombe tout seul , quatre angles droits plus quatre côtés égaux . Après tous les angles de la figure sont identiques ou complémentaires et avec un peu de trigo on arrive à 1984x²+2x=2 dont l'unique solution positive est 1/32 .

Imod

PS : j'ai posé x=1/n  

Dont l'inverse est

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n=31.50378 et de poussières

Suite,

Je viens de regarder les blanks :
Je n'ai certainement rien compris

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n=32---->1/n = 0.03125  --->coté du carré violet  0.03125/2=0.02209709--->aire du carré violet 0.00048828
au lieu de 1/1985 =0.00050378

Et moi je n'ai pas blanké ( je vais me faire taper sur les doigts ) .

Imod

J'ai compris mon erreur (la même que Littlefox à16 h03)

Avec la trigo l'angle n'est pas 45°  comme  dans mon erreur mais  45°90938

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soit un sinus de 0.718240223 au lieu de 2/2 l'écart est 1.01574506
en  multipliant par  31.503968 j'arrive enfin à 32....

Bonjour,
Un long voyage en train (merci les aiguillages qui chauffent ) m'a permis de me plonger hier dans ce sympathique exercice.
J'ai regardé les blankés ce matin.
J'ai trouvé une solution analytique plus alambiquée que celle de carpediem.
La solution de LittleFox le 6 à 18h32 est élégante. Par contre, la "symétrie de 90° autour du centre du carré", je ne la sens pas trop

Bon, alors la raison de mon message est là :

Bonjour Sylvieg, je veux bien voir cette solution "alambiquée"...

Pour le moment oui, je travaillais sur une quatrième solution qui utilisait Thalès mais c'est rien d'autre que celle des triangles semblables au final (à peu près). J'ai commencé ainsi :

- Solution analytique
- Trigonométrie
- Triangles semblables

Je n'ai pas continué le problème (car je commence à relire mes cours pour la rentrée), si des personnes de l'île se sentent d'attaque pour trouver d'autres méthodes élégantes, je serai ravi de me replonger dans le problème...

La solution n'est pas si alambiquée que ça finalement :

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J'ai choisi le centre du carré comme origine O du repère et calculé les coordonnées d'un seul des 4 sommets K du carré rose.

Ses coordonnées sont et .
L'aire du carré rose est 2OK²
Or . D'où .
Cette simplification à la fin interpelle : Y aurait-il quelque chose de caché derrière ?

une autre méthode avec une seule droite ... en admettant que IJKL est un carré :

je détermine une équation de la droite (EC) :

on en déduit alors les coordonnées du point M et

en considérant alors l'aire du triangle AME on en déduit que

or AN = IJ donc en élevant au carré on a donc

...

beaucoup moins calculatoire que ma première méthode ... mais qui ne prouve pas que le carré est carré !!!

Je ne vois pas pourquoi mon argument pour le carré ne suffit pas.
Si les quatre sommets d'un polygone sont définis exactement de la même manière à une symétrie de 90° près autour d'un seul point de rotation alors ce polygone est un carré.

Ça me semble évident. Mais c'est justement quand on est trop sûr qu'on risque de se fourvoyer

LittleFox : peut-être un élément de réponse : as-tu vu mon animation ? (deuxième blank de mon premier msg : il n'y a pas rotation de 90° ...

mais je pense qu'on doit pouvoir définir/expliciter la transformation (une similitude) de centre les centres des carrés transformant le grand en le petit ...

d'ailleurs un exercice intéressant serait de trouver exactement l'angle et le rapport d'homothétie en fonction de n ...

carpediem
J'ai vu ton animation et il y a à chaque instant une symétrie par rotation de 90°.
Je parle pas d'une rotation entre le grand carré et le petit.

Si on tourne tout le dessin de 90° par rapport au centre du grand carré, alors le dessin reste inchangé.
Si cette propriété est présente alors tout point du dessin et ses 3 symétries forment un carré.

ha pardon !!! je n'avais pas compris ... merci !

alors là oui je suis d'accord avec toi ...

@LittleFox,
Je ne remettais pas en cause ton argument, mais le vocabulaire :
Je ne sais pas ce qu'est une symétrie de 90°.
Par contre

@carpediem,
Ton AM = 1/(n-1) me plait beaucoup
Et les triangles semblables AME et BCE permettent de le démontrer sans analytique.

oui je pense qu'il faut sortir un peu du cadre (tout le pb est de trouver le truc) et effectivement on peut aller plus vite avec ces triangles semblables sans même se fatiguer à déterminer l'équation de la droite !

J'ai pris l'habitude de tabloriser....
Pour éviter la résolution de l'équation:
J'ai travaillé sur les angles possibles de la "diagonale"  jusqu'à  trouver 1/1985  j'ai un bon résultat pour 0.80126985 rad   qui donne l=0.3125 et n=32

Bonjour,
J'ai pris le temps d'approfondir un peu.
Tout d'abord, une coquille dans mon message :

C'est (pas de 2 au dénominateur).

Ensuite, on peut poser d = AE, c le côté du petit carré, et s son aire.

Il n'est pas vraiment utile d'utiliser une aire pour calculer la longueur AN dans la figure de carpediem hier à 15h :
Les triangles ANE et BAH sont semblables ; donc AN/AE = BA/BH.
BH² = 1+(1-d)². D'où AN² = d²/(1+(1-d)²).
Autrement dit : s = c² = d²/(1+(1-d)²)

Avec d= 1/n, on retrouve .

Par ailleurs, on peut ne pas sortir du cadre en projetant le point E sur la droite (AG).
C'est sans doute ce qu'évoque LittleFox le 6 à 18h32 :

Sylvieg : je pense que utiliser l'aire d'un triangle ou le théorème de Pythagore c'est [strike]quasiment [/strike] nos démonstrations sont équivalentes :

j'écris : en considérant alors l'aire du triangle AME on en déduit que AE . AM = AN . EM

qui s'écrit encore AE/AN = EM/AM qui consiste simplement à dire que les triangles AME et ANE sont semblables

après avoir déterminer l'ordonnées de M grace à (l'équation d')une droite
toi tu utilises ensuite le théorème de Pythagore ...

donc nos deux démo nécessite deux étapes (dont une identique : triangles semblables mais que j'écris en terme d'aire)

il me semble ...

Kernelpanic est intéressé par " d'autres méthodes élégantes ".
Je propose de petites variantes.
Libre à chacun d'apprécier ou pas. La notion d'élégance étant subjective.
J'ai bien aimé le 1/(n-1) qui apparaît à l'extérieur de la figure de départ.
Il m'a aussi permis de chercher dans une autre direction et de trouver un autre cheminement qui finalement ne l'utilise pas
Bon, voilà, c'est tout. On ne va pas polémiquer. On est là pour se détendre

mais je ne critique en rien ni ne porte aucun jugement d'élégance

je dis simplement que mon histoire d'aire n'est ni plus ni moins qu'une histoire de triangles semblables aussi ... mais pas les mêmes que les tiens !!

et ton histoire de triangles semblables (les tiens) est bien mieux (car on obtient immédiatement l'ordonnée de M) que mon histoire d'équation de droite bien plus calculatoire

et pour info tes triangles semblables c'est aussi une homothétie de centre E ou encore du Thalès "de centre E" ... et je dis cela simplement pour montrer qu'un même résultat se traduit par différentes visions mathématiques (Thalès, homothétie, triangles semblables) toutes équivalentes



on arrive au final à une solution "élégante" qui ne nécessite quasiment aucun calcul car les propriétés géométriques se traduisent par des égalités qui ne nécessitent qu'une transformation d'égalité (avec éventuellement une élévation au carré)

Il est toujours intéressant de comprendre comment l'exercice a été conçu :


Imod

Là, on sort franchement du cadre

Bonjour de bon matin,
Je propose la même figure, mais avec la longueur 1 ailleurs.

,

Il est alors facile de trouver l'aire du petit carré de sommet en fonction de d.

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En fait, on retrouve la démarche de carpediem (du 14 à 15h).
Sur ma figure, on peut utiliser les triangles semblables FB'B et FCD.

Bonjour,

Citation :

Je n'ai rien dit: j'avais oublié le problème de départ et ne considérais que la derniere figure.

Les calculs sont nécessairement toujours un peu les mêmes

Il y a des figures qui éclairent un peu plus que d'autres . Pour moi la clef est dans mon dessin , pas seulement parce qu'il donne la solution mais surtout parce qu'il explique la conception du problème .

Ceci dit , toutes les solutions se valent et je trouve ces problèmes "élémentaires" d'une grande richesse .

Imod

Bonjour Imod,

bravo pour ta figure du 15-08-20 à 21:56 qui explique tout. C'est ce qu'on appelle une preuve sans mots (ou une démonstration visuelle) :
le théorème de Pythagore suffit pour voir sans calculs que l'aire du carré oblique vaut fois l'aire du petit carré hachuré.

bravo pur cette nouvelle vision Imod qui dit tout sans dire un mot !!!

merci

Ne jetez pas trop de fleurs , je vais prendre la grosse tête

Ceci dit , il y a toujours un réel plaisir à trouver un problème derrière le problème . Ca me rappelle ma jeunesse aux passages à niveau : Attention , un train peut en cacher un autre !

Imod



  

je le disais déjà à 17h07 ... mais tu es vraiment aller loin ...

alors que moi je suis resté à l'intérieur du cadre avec mon carré EFGH à 15h ... qui ne sert pas à grand chose ... et sorti à peine du cadre avec mon point M ensuite ...

comment t'est venue l'idée ?

Ma méthode est simple :

Je griffonne des pages de dessins qui ne ressemblent à rien et j'attends la bonne idée ,  souvent j'attends les rêves de la nuit .

Désolé , pas de recette

Pour ne pas botter complètement en touche , la figure rappelle la démonstration "chinoise" du théorème de Pythagore que je laisse démontrer aux élèves de 4èmes depuis plusieurs années .

Imod

de l'expérience et on laisse mijoter une nuit ... je fais de même aussi ...

j'ai souvenir d'un exo de géométrie en seconde (quand on faisait encore de la géométrie) ... et pas moyen de trouver la réponse pour mes élèves ! même le soir rien ...

alors j'ai laissé tombé et le lendemain matin le pb était résolu !!!

Le dessin de Imod est vraiment bien mais il y a un truc qui me chiffonne et j'ai enfin trouvé ce qui n'allait pas.

Attention que le n de l'énoncé est 1+ le n de Imod

Je m'en étais rendu compte mais je n'ai pas osé poster à nouveau pour si peu



Imod

Bonjour,
@Imod,
A vrai dire je reste aussi "chiffonnée" avec le n-1 à la place du n.
Pour moi, c'est le côté du carré penché qui mesure 1 ou n.
D'où mon message d'hier à 7h42.
Mais quelque chose m'échappe peut-être

Il faut imaginer le triangle supérieur gauche partagé en n parts verticales régulièrement espacées ( c'est du Thalès qui avance masqué ) . Tu vas retrouver un partage égal sur le côté du carré penché .

D'une façon ou d'une autre on retombe toujours sur Pythagore + Thalès

Imod

D'accord , je pense avoir compris ce qui te gène . Je ne respecte pas les longueurs du problème , seules les proportions m'intéressent  . Comme le faisait remarquer Jandri , la seule chose importante est de trouver le rapport entre les aires des deux carrés .

Imod

Oui, c'est ça
En fait, j'aurais été moins chiffonnée avec k ou une autre lettre à la place de n.