Bonjour Slpok et merci pour cette jolie énigme.

Voici la quatrième somme:

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Magnifique ce dernier blank, tu tires ça d'où ?
Merci d'être toujours là pour apporter réponse à mes énigmes sinon

Bonjour

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Le rapport entre deux triangles consécutifs dans la figure 4 est égal au rapport d'un des deux côtés égaux sur la demi-base, ce qui est facile à calculer avec des angles 30 30 120
Ce rapport vaut    donc le rapport des aires vaut

Donc je dirais  

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Histoire de faire comme jandri, pour généraliser, je dirais que l'angle du sommet d'un triangle isocèle dans le cas d'un polygône à n côtés vaut   (somme des angles divisée par le nombre de côtés)  

Donc les deux autres angles valent  

Donc le rapport des côtés entre deux triangles adjacents est  

Le rapport des aires est  

Et la somme est :  

Bravo à toi Zormuche

Bravo Littlefox

Yoohoo, je m'amuse

Une approche plus géométrique en considérant que n spirales recouvrent l'aire du polygone.

La somme recherchée S est l'aire de la spirale moins le  triangle BIJ dont l'aire vaut 1. Or n spirales recouvrent le polygones et 2n triangles BIO recouvrent eux aussi le polygone.

On a S = 2*BIO-BIJ = 2*BIO-2*BHI = 2*(BIO-BHI) = 2*IHO. Et BHI = 1/2.

Or Les triangles BHI et IHO sont semblables et de rapport |OH|/|IH| = 1/tan(HOI) = 1/tan(pi/n).

On a donc S = 2*IHO = 2*1/tan²(pi/n)*1/2 = 1/tan²(pi/n).

très psychédélique ! et pas mal l'approche géométrique

Oui, très beau
Merci à tous les participants, en particulier à Slpok pour l'énoncé et à LittleFox pour les superbes figures !
Même si on ne répond pas, faute de proposition de solution , les énigmes sont très appréciés

PS J'en ai repéré une ancienne que je rafraichirai en cas d'accalmie.

>Sylvieg

C'est toujours une bonne idée...
Pour éviter le plagiat, je te conseille de la travailler pour la customiser