J'ai cherché un bout de temps ce truc. La meilleur inégalité que j'obtiens est (facile ). Bref je sèche

Des éléments de solution, elhor_abdelali ?

Bonsoir,

j'ai supposé 2 cas :

1- a ou b ou c = 2

Dans ce cas, les 2 autres valent 0. Donc, bc = ca = ab = 0.

2 - a, b et c sont différents de 2

Dans ce cas, plus l'un (a, b ou c) est grand, plus les autres sont petits.
Si l'un est > 1 les autres sont < 1.

Par exemple :

a > 1 , b < 1 et c < 1 alors ab < 1 , bc < 1 et ac < 1

On peut déterminer que ab + bc + bc 1 (mais c'est ce que je n'arrive pas à encore à prouver)

Leurs diviseurs respectifs sont 1.

La somme de leurs quotients respectifs est donc 1.

Le seul cas d'égalité est lorsque (pour a+b+c=2) 2 éléments sont égaux à 1 et le 3ème vaut 0.

La soluce ! La soluce ! La soluce !

Bonjour ;

 Cliquez pour afficher

Je cherche encore

Salut à tous!

 Cliquez pour afficher

Le bon vieux truc des extremums liés ne marche pas? Je n'ai pas encore essayé, mais je m'y mettrai!

Salut Camélia ;

 Cliquez pour afficher

Sauf erreur de ma part , Maple confirme l'inégalité

et à mon avis (comme c'est un exercice d'Olympiades) , on doit pouvoir trouver une solution assez élémentaire_{(enfin je l'espére)}

Je relance cette détente

Bonjour,
Il semblerait que l'égalité n'est obtenue que pour un des trois réels nul et les deux autres égaux à 1.

P = [a²+(b-1)²+(c-1)²] [b²+(c-1)²+(a-1)²] [c²+(a-1)²)+(b-1)²]
Ce produit P aurait-il un rôle à jouer ?

Bonjour,
Par curiosité j'ai pris 1000  a,b,c aléatoires.
on voit que la formule rouge tend vers 0 si l'un des termes tend vers 2;  et vers 1 si deux termes tendent vers 1.
Peut être qu'une piste peut être suivie..

Sylvieg : peut-être bien !

dpi : merci pour les calculs, ça confirme l'intuition de Sylvieg

Comme on le voit, c'est un ancien topic toujours sans solution !

Camélia avait suggéré une démarche avec les extremums liés,

mais je m'obstine à chercher une solution élégante

Une remarque probablement utile

 Cliquez pour afficher

La somme à maximiser ainsi que la contrainte

étant invariantes par permutation des trois réels positifs , et , on peut sans perte de généralité supposer

ce qui donne du coup et .

D'après le principe (intuitif) de réordonnement (assembler les plus grands d'abord), notre somme est plus grande que les deux sommes,

et

toutes les deux plus petites que vu que .

Ceci dit tout reste à faire

Bonsoir,

Voici une solution. Pour l'élégance on repassera (désolé elhor_abdelali)

Par symétrie on peut supposer que . Ainsi, on a:
(logique)
(inégalité des moyennes arithmétiques et géométrique)
Dans la suite, on notera et . Et on notera que , et que

Réduisons au même dénominateur et passons tout du même côté. Cela revient à montrer que :





Réécrivons les coefficients:

, et



Donc l'inégalité à démontrer devient:





car c=2-S, et où Q=1-P avec donc

où f et g sont des fonctions croissantes de Q.

Cette expression est inférieure à
ce qui donne:



Si on divise par 2-S on obtient une nouvelle expression. Dans cette nouvelle expression S=2 est encore une racine. Donc on développe et on factorise tout cela par (2-S)^2, ce qui conduit à (là j'avoue avoir utilisé un soft):



On veut donc montrer que :



Là on fait une classique étude de fonction (je l'ai faite par soft car c'est assez calculatoire donc je n'écris pas toutes les étapes).
* La dérivée seconde (polynôme de degrés 2) s'annule en
,
Donc la dérivée première est localement minimale dans l'intervalle [0,2] en


* On remarque que ce minimum est global sur [0,2] en évaluant en 0 et 2.
* En substituant cette valeur dans l'expression de la dérivée première, on remarque qu'elle est positive.

Donc
est croissante sur [0,2] donc atteint son minimum en S=0, ce qui donne 80, une valeur positive.

Ce qui démontre l'inégalité initiale.

Les cas d'égalité ne peuvent correspondre qu'à S=2 vu ce qui précède, c'est à dire, lorsque c=0. Et en reprenant l'énoncé, on voit que l'égalité n'est possible que si ab=1 donc a=b=1 du fait de l'inégalité des moyennes.

... En espérant ne pas fait d'erreur
Mais je reste convaincu qu'il y a moyen de faire plus astucieux.

Bah voilà il fallait que je poste pour voir une erreur...

Veuillez donc ignorer mon message précédent.
Lorsque j'écris : """
Cette expression est inférieure à """
Il aurait fallu écrire ... et là ça ne marche plus évidemment.

Problème ouvert donc...

Bonjour,
Quand on voit la complexité de le démo de thetapinch27,on
se dit" le jeu en vaut-il la chandelle".
La preuve du contraire devrait suffire :
Si on pose  a+b+c=2
il n'y a aucun contre exemple pour que la formule rouge (je ne l'écris pas ) donne un résultat >1

Bonjour
J'ai une démo "graphique".
On a c=2-a-b. Reste 2 variables. Je calcule la somme en faisant varier a de 0 à 2 et on voit que la dite somme reste toujours inférieure à 1.

thetapinch27

derny beau travail !

dpi Maple confirme l'inégalité ainsi que l'illustration de derny

Ceci dit, je reste à la recherche d'une solution élégante !

Bonsoir,

elhor_abdelali : j'y ai presque cru ... pendant 10 minutes

À part ça ce qui est énervant avec cette inégalité c'est que les cas d'égalité ne sont pas donnés par a=b=c et que donc la toolbox habituelle  (Schwarz, moyenne et compagnie) n'aidera pas directement... enfin pas avec les trois paramètres a,b,c. Donc j'avais envie de tenter de décider du plus petit, et travailler avec les autres variables car le cas d'égalité est symétrique en les 2 plus grands paramètres.

@derny Du coup j'ai envie d'appeler cette inégalité, "l'inégalité du chameau"

Bonjour
En fait, il ne resterait plus qu'à déterminer les extrémums de la fonction de 2 variables. D'où calcul des dérivées partielles premières, des points critiques de la fonction, des dérivées secondes puis la règle " r.t - s² ".
Voir https://www.youtube.com/watch?v=yR7H1eoO4sA

Les calculs sont "très lourds" donc j'abandonne. Si d'autres ont le courage et la patience ...

Bonsoir,

Je me l'étais gardée au chaud et je pense avoir trouvé une démo.

Soient 0abc2.
On note que c2/3 et que a2/3, et que abbc1.

Réécrivons l'inégalité en utilisant :

Ainsi, l'inégalité à démontrer équivaut à:



Or

Donc on majore le membre de gauche initial par l'expression obtenue :

Le membre de droite s'écrit (j'utilise bc+ca=c(a+b)=c(2-c)=1-(1-c)²) :


Il faut donc montrer que
c2/3 donc

Posons x = (1-c)² et réduisons au même dénominateur:

car ab<4/3, ce qui prouve l'inégalité.

Bonne soirée

Bravo thetapinch27 pour ta ténacité !
Il me semble qu'on peut simplifier un peu la fin, à partir de

Citation :
Il faut donc montrer que

Pour le cas d'égalité, j'ai cherché en reformulant encore un peu la fin de la démonstration de thetapinch27.
Mais pour l'élégance, on repassera encore

Soit .
thetapinch27 a démontré

D'où :

Puis .
Et enfin car .

Ce qui permet de traiter le cas :
car .
Si alors .
et .
On peut alors exprimer en fonction de .
Le numérateur est .
Il n'est nul que pour .
D'où .
On trouve bien et .

Bonsoir,

Et merci Sylvieg. Ce problème vieux de 16 ans est enfin résolu. À nous la médaille field (je prends le pognon et je te laisse la médaille si ça te va )

Non, ça ne ma va pas :
On donne la médaille à ma vieille TI89 antédiluvienne qui a transformé l'expression de 1-S quand c = 1

bonjour j'ai trouvé l'exercice proposé par elhor_abdelali très simple et l'inegalité peut se demontrer simplement en quelques lignes

Bonjour

Bonjour imod hé ben non c'est pas de l'humour :
inégalité arithmetico geometrique appliqué aux couples (a²,1) (b²,1) (c²,1)  , ce qui donne :
a(a²+1)/2 --> bc/(a²+1)bc/2a
b(b²+1)/2 --> ac/(b²+1)ac/2b
c(c²+1)/2 --> ab/(c²+1)ab/2c
on additionne les inégalités obtenues :
bc/(a²+1) + ac/(b²+1) + ab/(c²+1)bc/2a+ac/2b+ab/2c.
rebelote avec les inégalités arithmetico géometrique pour les couples (b,c) (a,c) et (a,b)   :
bc(b+c)²/4--> bc/2a(2-a)²/8a
ac(a+c)²/4--> ac/2b(2-b)²/8b
ab(a+b)²/4--> ab/2c(2-c)²/8c
additionnons membre à membres les inégalités obtenues :
bc/2a+ac/2b+ab/2c(2-a)²/8a+(2-b)²/8b+(2-c)²/8c
soit bc/2a+ac/2b+ab/2c1/2+ (1/8)(a²+b²+c²)
comme (a+b+c)² (a²+b²+c²)  comme 2=a+b+c alors  4(a²+b²+c²) et pour finir  :
1/2 + (1/8)(a²+b²+c²) (1/2)+ (4/8) et donc
1/2 + (1/8)(a²+b²+c²)1

Bonjour flight,
OK, avec abc non nul, jusque S (2-a)²/8a+(2-b)²/8b+(2-c)²/8c .
Mais à la ligne suivante, je coince sur le 1/2+ (1/8)(a²+b²+c²) .

L'inégalité S 1/2 + (1/8)(a²+b²+c²) me semble fausse.
Avec a = b = c = 2/3 on a S = 12/13 alors que 1/2 + (1/8)(a²+b²+c²) = 2/3 .

Bonjour,

Belle démonstration flight (à supposer que le point soulevé par Sylvieg se résolve facilement). Mais je ne trouve pas ça très simple même si les notions utilisées sont effectivement élémentaires (niveau lycée je suppose).

Je propose de raccourcir ta preuve ainsi ce qui permet au passage de court-circuiter le point douteux. À partir de ce là dans ton raisonnement :
On cherche à montrer que (2-a)²/(8a)  + (2-b)²/(8b) + (2-c)²/(8c) 1 ce qui prouverait l'inégalité de départ.

On pose f(x) = (2-x)²/(8x).
f est concave (dérivée seconde négative) donc la moyenne des f est plus petit que f appliqué à la moyenne 1/3*((2-a)²/(8a)  + (2-b)²/(8b) + (2-c)²/(8c))(2-(a+b+c)/3)²/(8(a+b+c)/3) = f(2/3)=1/3 ce qui prouve l'inégalité.

Bon dimanche

Bonjour thetapinch27,
As-tu regardé le graphe de ta fonction f ?
Que penses-tu de mon message de 8h46 ?

Sylvieg; bien vu !
La fonction f est convexe, pas concave.
f''(x) = 1/(4*x)+(2-x)/(2*x^2)+(2-x)^2/(4*x^3) (d'après logiciel)
J'avais balancé le calcul dans un logiciel qui m'a sorti une expression manifestement négative que je n'ai pas cherché à critiquer. Mais je n'avais dérivé qu'une fois et non 2 par inadvertance. La dérivée seconde est donc bien positive, donc la fonction f est convexe.

Cela montre que la majoration du membre de gauche par (2-a)²/8a+(2-b)²/8b+(2-c)²/8c est trop grossière puisque la convexité prouve que la somme des termes est toujours supérieure à 1 (et non inférieure).

D'ailleurs il y a déjà un problème dès le départ, à partir de la majoration par : bc/2a+ac/2b+ab/2c.
Cette expression "explose" pour a s'approchant de 0 (b et c étant positif et proches de 1).

@flight : heureusement, c'est un problème simple qui se démontre en quelques lignes (je taquine hein, je suis loin d'être le dernier pour écrire des âneries sur ce forum)

Autre contre exemple avec a = 0 et b = c = 1 :
S = 1 alors que 1/2 + (1/8)(a²+b²+c²) = 1/2 +1/4 = 3/4.

Pour ta fonction f, je n'ai pas fait appel à ma fidèle TI89.
J'ai écrit f(x) = x/8 -1/2 + 1/(2x) avant de dériver mentalement deux fois

Pour moi les inégalités ont toujours été un calvaire , une fois sur deux je les prends à l'envers

Mais bon , "le problème est très simple et la solution tient en deux lignes" , sans aucune proposition pour l'étayer : il ne faut pas exagérer

Imod

pas si vite .... :Dje me suis planté dans le developpement de cette expression ci  : S(2-a)²/8a+(2-b)²/8b+(2-c)²/8c
je poursuis en corrigeant :
S-5/4 + (1/2)(1/a+1/b+1/c)
grace à l'inégalité harmonique il vient  :
  (a+b+c)/3 3/(1/a + 1/b +1/c) , soit donc  :
(1/a +1/b + 1/c) 9/2  , alors -5/4 (1/2).(1/a +1/b + 1/c) 9/4 -5/4   et on a bien S9/4-5/4  soit  S1 .

en esperant que Sylvieg et Imod seront bien daccord :D

Bonsoir,

flight, même si mon avis importe peu, je signale mon désaccord car l'inégalité harmonique est censée être dans l'autre sens.

Et l'inégalité ne peut malheureusement pas être démontrée dés la première étape avec l'approche que tu proposes car le membre de droite de la toute première majoration (bc/2a+ac/2b+ab/2c) est déjà supérieur à 1 pour certains (a,b,c)... considère un a petit et b,c proches de 1 par exemple.

Bonsoir thetepinch27 , c'est effectivement le cas , merci pour cette remarque  .... bon j'aurai essayé

Bonjour,
J'aurais voulu trouver une solution élégante, et n'y suis pas arrivée
En particulier, la cas d'égalité est franchement alambiqué.
Ce qui suit ne fait que mettre au propre ce qui a déjà été trouvé.
Sait-on jamais, ça pourrait créer un déclic chez d'autres

Remarquer que seules des règles simples sur les inégalités sont utilisées.

Soit .

Et .

L'intérêt de est qu'il est positif ou nul si a b c
(Et strictement positif si de plus c 1).
On le transforme : .

Soit .

Après un calcul un peu pénible, on trouve




On peut supposer .
et sont alors positifs ou nuls ; donc .

Cas d'égalité :
On suppose toujours .
Si alors .

car .
Donc implique . D'où

Quant à , il implique ou .

Seule solution et .

salut, une petite info

Avec Xcas PC

objet:=a*b/(c^2+1)+a*c/(b^2+1)+b*c/(a^2+1);
contraintes:=[a+b+c=2,a>=0,b>=0,c>=0];
maximize(objet,contraintes,[a,b,c],point);