J'ai cherché un bout de temps ce truc. La meilleur inégalité que j'obtiens est (facile ). Bref je sèche

Des éléments de solution, elhor_abdelali ?

Bonsoir,

j'ai supposé 2 cas :

1- a ou b ou c = 2

Dans ce cas, les 2 autres valent 0. Donc, bc = ca = ab = 0.

2 - a, b et c sont différents de 2

Dans ce cas, plus l'un (a, b ou c) est grand, plus les autres sont petits.
Si l'un est > 1 les autres sont < 1.

Par exemple :

a > 1 , b < 1 et c < 1 alors ab < 1 , bc < 1 et ac < 1

On peut déterminer que ab + bc + bc 1 (mais c'est ce que je n'arrive pas à encore à prouver)

Leurs diviseurs respectifs sont 1.

La somme de leurs quotients respectifs est donc 1.

Le seul cas d'égalité est lorsque (pour a+b+c=2) 2 éléments sont égaux à 1 et le 3ème vaut 0.

La soluce ! La soluce ! La soluce !

Bonjour ;

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Je cherche encore

Salut à tous!

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Le bon vieux truc des extremums liés ne marche pas? Je n'ai pas encore essayé, mais je m'y mettrai!

Salut Camélia ;

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Sauf erreur de ma part , Maple confirme l'inégalité

et à mon avis (comme c'est un exercice d'Olympiades) , on doit pouvoir trouver une solution assez élémentaire_{(enfin je l'espére)}

Je relance cette détente

Bonjour,
Il semblerait que l'égalité n'est obtenue que pour un des trois réels nul et les deux autres égaux à 1.

P = [a²+(b-1)²+(c-1)²] [b²+(c-1)²+(a-1)²] [c²+(a-1)²)+(b-1)²]
Ce produit P aurait-il un rôle à jouer ?

Bonjour,
Par curiosité j'ai pris 1000  a,b,c aléatoires.
on voit que la formule rouge tend vers 0 si l'un des termes tend vers 2;  et vers 1 si deux termes tendent vers 1.
Peut être qu'une piste peut être suivie..

Sylvieg : peut-être bien !

dpi : merci pour les calculs, ça confirme l'intuition de Sylvieg

Comme on le voit, c'est un ancien topic toujours sans solution !

Camélia avait suggéré une démarche avec les extremums liés,

mais je m'obstine à chercher une solution élégante

Une remarque probablement utile

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La somme à maximiser ainsi que la contrainte

étant invariantes par permutation des trois réels positifs , et , on peut sans perte de généralité supposer

ce qui donne du coup et .

D'après le principe (intuitif) de réordonnement (assembler les plus grands d'abord), notre somme est plus grande que les deux sommes,

et

toutes les deux plus petites que vu que .

Ceci dit tout reste à faire

Bonsoir,

Voici une solution. Pour l'élégance on repassera (désolé elhor_abdelali)

Par symétrie on peut supposer que . Ainsi, on a:
(logique)
(inégalité des moyennes arithmétiques et géométrique)
Dans la suite, on notera et . Et on notera que , et que

Réduisons au même dénominateur et passons tout du même côté. Cela revient à montrer que :





Réécrivons les coefficients:

, et



Donc l'inégalité à démontrer devient:





car c=2-S, et où Q=1-P avec donc

où f et g sont des fonctions croissantes de Q.

Cette expression est inférieure à
ce qui donne:



Si on divise par 2-S on obtient une nouvelle expression. Dans cette nouvelle expression S=2 est encore une racine. Donc on développe et on factorise tout cela par (2-S)^2, ce qui conduit à (là j'avoue avoir utilisé un soft):



On veut donc montrer que :



Là on fait une classique étude de fonction (je l'ai faite par soft car c'est assez calculatoire donc je n'écris pas toutes les étapes).
* La dérivée seconde (polynôme de degrés 2) s'annule en
,
Donc la dérivée première est localement minimale dans l'intervalle [0,2] en


* On remarque que ce minimum est global sur [0,2] en évaluant en 0 et 2.
* En substituant cette valeur dans l'expression de la dérivée première, on remarque qu'elle est positive.

Donc
est croissante sur [0,2] donc atteint son minimum en S=0, ce qui donne 80, une valeur positive.

Ce qui démontre l'inégalité initiale.

Les cas d'égalité ne peuvent correspondre qu'à S=2 vu ce qui précède, c'est à dire, lorsque c=0. Et en reprenant l'énoncé, on voit que l'égalité n'est possible que si ab=1 donc a=b=1 du fait de l'inégalité des moyennes.

... En espérant ne pas fait d'erreur
Mais je reste convaincu qu'il y a moyen de faire plus astucieux.

Bah voilà il fallait que je poste pour voir une erreur...

Veuillez donc ignorer mon message précédent.
Lorsque j'écris : """
Cette expression est inférieure à """
Il aurait fallu écrire ... et là ça ne marche plus évidemment.

Problème ouvert donc...

Bonjour,
Quand on voit la complexité de le démo de thetapinch27,on
se dit" le jeu en vaut-il la chandelle".
La preuve du contraire devrait suffire :
Si on pose  a+b+c=2
il n'y a aucun contre exemple pour que la formule rouge (je ne l'écris pas ) donne un résultat >1

Bonjour
J'ai une démo "graphique".
On a c=2-a-b. Reste 2 variables. Je calcule la somme en faisant varier a de 0 à 2 et on voit que la dite somme reste toujours inférieure à 1.

thetapinch27

derny beau travail !

dpi Maple confirme l'inégalité ainsi que l'illustration de derny

Ceci dit, je reste à la recherche d'une solution élégante !

Bonsoir,

elhor_abdelali : j'y ai presque cru ... pendant 10 minutes

À part ça ce qui est énervant avec cette inégalité c'est que les cas d'égalité ne sont pas donnés par a=b=c et que donc la toolbox habituelle  (Schwarz, moyenne et compagnie) n'aidera pas directement... enfin pas avec les trois paramètres a,b,c. Donc j'avais envie de tenter de décider du plus petit, et travailler avec les autres variables car le cas d'égalité est symétrique en les 2 plus grands paramètres.

@derny Du coup j'ai envie d'appeler cette inégalité, "l'inégalité du chameau"

Bonjour
En fait, il ne resterait plus qu'à déterminer les extrémums de la fonction de 2 variables. D'où calcul des dérivées partielles premières, des points critiques de la fonction, des dérivées secondes puis la règle " r.t - s² ".
Voir https://www.youtube.com/watch?v=yR7H1eoO4sA

Les calculs sont "très lourds" donc j'abandonne. Si d'autres ont le courage et la patience ...