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L'inégalité s'écrit
ou encore en posant : .

Si on pose il s'agit de montrer:
pour , et .

et pour .
Par suite, est croissante et ; est donc croissante et .

De même, donc est croissante et , est croissante donc .

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Soit a un réel n'appartenant pas à [0,1]; on définit pour .
et donc f' est croissante et donc f est croissante et .

On a donc pour et : .

Prenons .
Pour on obtient: .

Pour on obtient: c'est-à-dire .

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elle est meilleure celle là

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On définie la suite Un tel que Un = (n-1)/n

On obtient alors U(n+1) = n/(n+1)

On a 1-1/n^2 = (n^2-1)/n^2 et avec la formule remarquable ça donne ((n-1)(n+1))/n*n = Un/U(n+1)

D'où il faut démontrer que

Un<(Un/U(n+1))^n < U(n+1)

Je pense qu'il faut utiliser une récurrence ensuite... mais je ne sais pas trop comment.

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si on prend des exemples pratiques ,on se rend compte
du peu d'écart qu'il y a entre les trois :
pour n=10  0.9  < 0.9044 < 9091
pour n=100  0.99 < 0.990049 < 0.990099
pour n=1000 0.999 < 0.9990005 < 0.9990001
Donc il doit y avoir une notion de limite ,mais j'ai perdu les bases