Bonjour ,
,
et
sont trois réels positifs tels que
Montrer que :
.
Caractériser le cas d'égalité.
Bonne réflexion
Bonjour ,
jusqu'ici, vous avez entamé à peu près des démarches semblables aux miennes ...
" Je n'ai pas échoué, j'ai trouvé dix mille moyens qui ne marchent pas "
Je cherche encore
matheuxmatou effectivement l'inégalité arithmético-géométrique donne
avec égalité ssi
sauf erreur de ma part bien entendu
Bonjour,
abc=1 donne une égalité pour a,b,c =1
Si une valeur <1 , une autre égale à 1 nous avons:
1-;1;1/(1-
)
la somme devient ( 1-2+
²+1-
+1)/(1-
)soit (3-3
+
²/(1-
)>3
Je passe le calcul pour deux valeurs <1 qui aboutira à la même inégalité
salut
j'ai une autre piste ... mais j'arrive à la même conclusion que matheuxmatou :
soit et posons
car d'après C-S :
il ne reste plus qu'à montrer que ... qui est évidemment faux en prenant a = 4 et b = c = 1/2
matheuxmatou peux-tu développer ton idée c'est une piste intéressante
carpediem
justement comme je l'ai écrit dans mon post précédent :
l'inégalité arithmético-géométrique donne et
ce qui donne .
Le développement intéressant que tu as fait donne
et tu vois que la minoration de l'encadré bleu ne permet pas de conclure
Mais ceci dit ton développement donne quand même une idée d'une solution partielle
Bonjour elhor_abdelali ,
merci pour cette question très intéressante. J'avoue avoir cherché longtemps !
J'ai trouvé par hasard une solution toute simple (en feuilletant ma collection d'inégalités).
Avec tes notations pour et
on montre d'abord :
d'où : .
Ensuite on peut supposer sans perte de généralité que et
car deux des trois nombres sont situés du même côté par rapport à 1 et on peut les changer tous les trois en leur inverse.
On montre alors que :
Je m'aperçois que je n'ai démontré l'inégalité que lorsqu'au moins deux des trois nombres sont supérieurs ou égaux à 1, il reste le cas où un seul est supérieur à 1.
Bon, mon petit supplément n'a l'air d'emballer personne, ce que je comprends fort bien.
GBZM C'est intéressant ce que tu as fait dans la mesure où il donne (comme tu l'as dit) une vision géométrique de la validité de l'inégalité proposée ainsi que du cas d'égalité.
Jandri
GBZM a donné une interprétation géométrique de l'inégalité qui laisse penser qu'il est peu probable qu'il en existe une démonstration algébrique.
J'ai quand-même trouvé une démonstration avec des études de fonction dans le cas où ,
et
mais c'est long ! Pour
fixé on a
et je pose
qui vérifie
et
.
On en déduit
pour
On vérifie que car c'est équivalent à
qui est vérifié pour
On a donc croissante pour
donc
avec
On a et
avec
d'où pour
:
On a donc croissante pour
et par suite
soit x, y et z les inverses de a, b et c ...
de p = abc = 1 on déduit que xyz = 1
d'autre part :
l'inégalité de l'énoncé devient :
en multipliant par 1 = (xyz)3
et avec les notations précédentes on en déduit que
on obtient donc le même résultat qu'on prenne trois entiers a, b et c ou leurs inverses
cela ne suffit-il pas à conclure avec le cas particulier démontré par jandri ?
Bonsoir carpediem,
c'est ce que je pensais le 10-04-21 à 12:35 quand j'ai proposé une démonstration, mais j'ai compris après que ce n'est pas vrai.
Je note et
pour ce qui concerne
et
et
pour ce qui concerne leurs inverses
.
On a et
ce qui fait que l'inégalité pour
, (
) , devient (
) pour
.
Ce n'est donc pas la même inégalité ( est remplacé par
).
L'inégalité qui entraine les deux est la suivante :
Je refais un petit dessin dans le plan qui illustre la discussion précédente. Je rappelle que la partie du plan qui nous intéresse est le cusp bleu et son intérieur aigu. L'inégalité du fil traduit le fait que ce cusp est au-dessus de la branche d'hyperbole dessinée en rouge.
Le cas où deux des réels sont supérieurs ou égaux à 1 correspond à la partie où
, qui est la partie au-dessus de la diagonale en vert. On voit donc graphiquement que ce cas est la partie "facile" de l'inégalité (celle où on est le plus au-dessus de la branche d'hyperbole).
Bonjour à tous.
C'est en effet un exercice très intéressant. J'ai étudié la généralisation proposée par GBZM et voici ce que j'ai obtenu.
Nouvel énoncé:
est l'ensemble des triplets
de réels positifs tels que
.
étant un réel fixé, on définit sur
les trois fonctions suivantes:
Montrer que admet un minimum sur
. Déterminer ce minimum.
Comparaison avec les énoncés de elhor_abdelali et GBZM:
celui de elhor:
celui de GBZM (version du 11 avril, à 11h04)
celui de GBZM (version du 11 avril, à 20h55) : si est inférieur ou égal à la plus grande racine de
, alors:
Pour l'énoncé de elhor, nous disposons d'une démonstration de jandri. matheuxmatou a suggéré une solution, mais il ne donne pas les détails des calculs qui lui permettent de conclure.
Pour ses deux énoncés, nous a donné une très jolie interprétation géométrique, mais n'a pas donné les détails des calculs "bêtes et méchants" qui lui permettent de conclure.
En ce qui concerne mon énoncé, j'ai une solution partielle, qui me permet de répondre à la question de elhor et à la première question de GBZM. Je vais exposer cette solution dans les posts suivants, je ne blanke pas.
Tous ceux qui ont participé savent traiter le cas . Je ne le ferai donc pas.
Je supposerai dans les posts suivants que .
Ici, je vais démontrer l'existence d'un minimum.
On remarque que .
Si est un élément de
tel que l'un des trois soit inférieur à
, alors:
donc
Si est un élément de
tel que l'un des trois soit supérieur à
, alors, le produit des deux autres est inférieur à
et l'un d'entre eux est donc inférieur à
. D'après ce qui précède
.
En notant , on en déduit:
.
Et, comme est un compact, on en déduit l'existence d'un minimum pour
J'ai donc établi que admet un minimum en un point
de
. Pour que cela soit plus lisible, je noterai désormais:
Le cours sur les extrema liés me permet d'écrire que les vecteurs et
sont liés.
Donc, les vecteurs et
sont liés.
En écrivant la nullité des trois déterminants 2x2 associés et en factorisant, on obtient:
Résolution du système:
Il est impossible que les trois réels soient distincts deux à deux (on aurait autrement
!)
Premier cas: (on aimerait bien qu'il n'y ait que cette possibilité ...)
Deuxième cas: deux des réels sont égaux et distincts du troisième.
Par symétrie du problème, on peut supposer que et
Dans ces conditions: ,
Et l'égalité nous amène à
Discussion:
Une étude rapide de la fonction nous permet d'obtenir les résultats suivants:
Premier cas: (par exemple
ou
)
L'équation n'admet pas de solution strictement positive.
a un minimum égal à
.
Deuxième cas:
L'équation admet une solution positive
.
a un minimum égal à
ou
. On vérifie que c'est bien
.
Troisième cas:
L'équation admet deux solutions positives
.
a un minimum égal à
ou
ou
.
Je n'ai pas eu le courage de comparer les 3 valeurs ...
cas
, une idée topologique !
L'ensemble
est connexe , comme image du connexe
par l'application continue .
Les deux ensembles
et
sont clairement deux ouverts disjoints de (par continuité des applications
et
).
Si on montre que l'ensemble
est vide ,
on aurait , et par suite
ou
et comme
...
Je vais montrer que par une approche semblable à celle de jandri (que je salue
).
Raisonnons par l'absurde et soit , on a donc
.
En posant , on alors
.
Le trinôme (clairement convexe) s'annule donc sur l'intervalle
.
Et comme ,
on voit que Le trinôme est strictement croissant sur l'intervalle
.
Une condition nécessaire de la nullité de sur l'intervalle
étant alors
,
on a , et en remarquant que
,
on a ,
et comme , on aboutit à l'absurdité
sauf erreur bien entendu
En fait, il faut montrer que si est la somme et
le produit des deux nombres
et
, on a l'inégalité de matheuxmatou :
et je trouve ça fou qu'on ait autant de mal à prouver ça, non ?
On a juste la contrainte donc on doit pouvoir s'en sortir élégamment sans étude de fonction.
Par contre, on obtient un polynôme à 2 indéterminées avec un degré 3 en P, et je ne sais pas factoriser ces choses, ce n'est pas une conique donc si quelqu'un a MAPLE ou autre à disposition... Comme il y a un cas d'égalité, il y a fort à parier qu'une factorisation de cette bête là existe...
Vous avez demandé sur mathématiques.net ? Le prof des OIM saura répondre à ça sûrement...
Bonjour Alexique,
tu as raison, il y a bien des coquilles dans le message que j'ai écrit le 15-04-21 à 19:26 mais ce n'est pas pour la fonction mais pour la fonction
.
Par trois fois j'ai écrit au lieu de
:
dans la définition de puis pour la valeur qui annule
et enfin dans la première inégalité qui suit.
Mais ensuite cela redevient juste et en particulier la définition de est correcte.
Pour ta question dans le message qui précède, Maple ne donne pas de factorisation pour ton polynôme à deux variables de degré 3 en P.
Lis le message de GBZM du 11-04-21 à 20:55 ainsi que celui du 16-04-21 à 11:36, tu comprendras pourquoi il n'existe peut-être pas de preuve purement algébrique de cette inégalité.
Ok, je vois. Je vois aussi que YvesM propose une preuve assez courte utilisant l'inégalité arithmético-géométrique (il me semble que ça marche). On peut toujours discuter de si c'est de l'analyse ou de l'algèbre.
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