Niveau exercices

Une inégalité

Posté par
thetapinch27 04-11-23 à 22:32

Bonsoir,

Je vous propose de démontrer l'inégalité suivante :
Soient $x_1,...,x_n$ des réels tels que $x_1+...+x_n=0$ . Montrer que :

$\\ (\sum_{i\in P} x_i)^2 \leq \frac{n}{4}\sum_{k=1}^{n}x_k^2$ , où P désigne l'ensemble des indices j pour lesquels $x_j> 0$

Préciser les cas d'égalité.

Bon divertissement

Posté par re : Une inégalité 06-11-23 à 09:56

Bonjour,

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Posté par re : Une inégalité 07-11-23 à 21:15

Bonsoir,

C'est juste Bien vu pour la convexité. Voici deux autres approches possibles :

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Posté par re : Une inégalité 07-11-23 à 22:34

Bonjour,

je suis bien sûr d'accord avec ce que vous avez écrit mais l'égalité ne peut être obtenue que pour $n$ pair.

Quel le maximum de $\dfrac{ (\sum_{i\in P} x_i)^2 }{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}$ pour $n$ impair et quand est-il atteint ?

Posté par re : Une inégalité 08-11-23 à 22:05

Bonsoir,
@jandri : une proposition de solution.

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Posté par re : Une inégalité 09-11-23 à 09:38

Bonjour thetapinch27,

je suis d'accord avec ce que tu obtiens mais on peut l'obtenir en n'utilisant que l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Je numérote de $1$ à $p$ les $x_i$ qui sont $>0$ et de $p+1$ à $n$ ceux qui sont $\leq0$ .
On a $p(n-p)\neq0$ si on suppose que les $x_i$ ne sont pas tous nuls.
En notant $S=\sum_{i=1}^px_i=-\sum_{i=p+1}^nx_i$ on obtient avec Cauchy-Schwarz :