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Une intégrale à calculer

Posté par
Arkhnor 27-06-09 à 20:02

Bonjour.

En vérifiant certains résultats sur des exemples, j'ai pu calculer une intégrale définie.
Mathematica n'a pas réussi à la calculer de façon exacte. (j'ai vérifié le résultat numériquement, il est correct)
Je vous la propose donc :

Citation :
Donner la valeur de 3$ I = \Bigint_{-1}^{+1} e^x\sin(\sqrt{1-x^2})dx


Bonne chance.

Posté par
likeslashre : Une intégrale à calculer 27-06-09 à 21:35

c'est pas ce que j'appelle détente, mais je veux bien essayer

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:02

\begin{array}{l} \\ \int {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)dx = \left[ {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} \right]} -\int {{e^x} \times \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\cos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx \\ \\ \int {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)dx = \left[ {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} \right]} -\int {\frac{{x{e^x}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\cos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx \\ \\ \int {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)dx = \left[ {{e^{\sqrt {1 - {X^2}} }}\sin \left( X \right)} \right]} -\int {\frac{{\sqrt {1 - {X^2}} {e^{\sqrt {1 - {X^2}} }}}}{X}\cos \left( X \right)} dx \\ \\ \int {{e^x}\sin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)dx = \left[ {{e^{\sqrt {1 - {X^2}} }}\sin \left( X \right)} \right]} -\int {\frac{{\cos \left( X \right)}}{X} \times } \sqrt {1 - {X^2}} {e^{\sqrt {1 - {X^2}} }}dx \\ \\ \end{array}

deux formes connu:

{\frac{{\cos \left( X \right)}}{X}} et \sqrt {1 - {X^2}} {e^{\sqrt {1 - {X^2}} }}

Bcracker m'expliquera le changement de variable (il l'a fait il y a deux mois ^^)

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:08

Et ça mène à quoi ton IPP?

 Cliquez pour afficher

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:13

j'en sait rien j'ai pas fait le changement de variable...

sinon mes calculs ne sont pas bon?

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:13

remarque je suis en terminale...

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:17

Ben je veux dire ton calcul n'a aboutit à rien, t'as réussi à calculer cette intégrale comme ça?

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:24

au fait on peut pas continuer avec changement de variable dans les intégrales?

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:37

Bonsoir

Bill : tu as des "X" et des "x" dans tes intégrales... quand on fait un changement de variable, on la change partout ! et dx n'est pas égal à dX.

MM

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:38

De plus ce changement de variable pose problème pour les bornes.

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:38

justement je ne sais pas faire le changement de variable...

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:38

exact infophile... il n'est pas bijectif... ce qui est la moindre des choses pour un changement de variable qui se respecte.

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:39

J'ai essayé avec des intégrales complexes mais n'ai pas abouti... tu as fait comment toi infophile ?

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:43

J'ai pas fait

J'ai essayé 36 méthodes.. sans succès.

Posté par
olive_68re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:44

Salut à tous

Je n'aboutie pas..et je ne pense pas y arriver vu que certaines personnes ici n'y arrive pas ..mais je poste juste une idée qui pourrait peut-être intérresser quelqu'un sait-on jamais ..

Je trouve que 3$\Bigint_{-1}^1 \ e^x\sin\(\sqrt{1-x^2}\) \ dx=\Bigint_{-1}^1 \ ch(x)\sin\(1-\sqrt{x^2}\) \ dx

Voilà Voilà ^^ J'éspère voir une solution bientôt

Posté par
olive_68re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:45

oups le 2eme terme est

3$\Bigint_{-1}^1 \ e^x\sin\(\sqrt{1-x^2}\) \ dx=\Bigint_{-1}^1 \ ch(x)\sin\(\sqrt{1-x^2}\) \ dx

pardon

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:49

C'est quoi ch\left( x \right) ?

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:57

ah ben comme moi alors Infophile...

j'étais parti en posant
3$I=\int_{-1}^1 e^x sin(\sqrt{1-x^2}) dx
et
3$I'=\int_{-1}^1 e^x cos(\sqrt{1-x^2}) dx
et
K = I'+ i I
on a alors
3$K=\int_{-1}^1 e^{x+i\sqrt{1-x^2}} dx
et un changement en x=cos(t) donne
3$K=\int_0^\pi e^{(e^{it})}sin(t) dt
puis en posant
3$K'=\int_0^\pi e^{(e^{it})}cos(t) dt
et
J = K' + i K
3$J=\int_0^\pi e^{(e^{it})}e^{it} dt
ce qui se calcule pour donner (sauf erreur)
3$J=i\(e-\frac{1}{e}\)

J'ai l'impression que cela doit pouvoir servir... mais je ne vois pas comment poursuivre

MM

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 22:59

je suis quasiment perdu, ce n'est pas de mon niveau....
c'est quoi ce i...?

Posté par
olive_68re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:03

3$ch(x) \ \to Cosinus hyperbolique, 3$ch(x)=\fr{e^x+e^{-x}}{2}

Et pour le 3$i il vient des nombres complexes



Et même infophile et MatheuxMatou semblent avoir quelques difficultées

Donc oui c'est totalement hors de notre portée ^^

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:04

c bon c'est pr les complexes...

car \sin \left( x \right) = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} on a {e^{\cos x + i\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} }} = {e^{\cos x + i\sin x}}
...

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:06

ouah deux fois d'affilé qu'il a utilisé les nombres complexes...

détaille nous ça MM on comprend rien ^^

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:07

excuse Bill... tu es en TS ?

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:08

oui

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:10

alors tu connais "i" quand même... non ?

par contre tu n'as encore jamais vu les intégrales complexes, ni même l'exponentielle d'un complexe quelconque.

De même que le changement de variable n'est pas au programme de TS non plus...

MM

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:12

je le vois quand?

tu sais où je peux trouver un cours sur les intégrales complexes?

Posté par
bill159re : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:42

personne?

bon ben bonne nuit

Posté par
cailloux Correcteurre : Une intégrale à calculer 29-06-09 à 23:53

Bonsoir,

Après quelques calculs, j' ai:

I=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin\,\left(e^{ix}\right)+\sin\,\left(e^{-ix}\right)\right]\,\cos\,x\,\text{dx}

Soit I=2\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\,\left(\cos\,x\right)\,\cos\,\left(\sin\,x\right)\,\cos\,x\text{d}x

I vaut bien \frac{\pi}{2} mais cela reste à prouver...

Posté par
cailloux Correcteurre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 00:58

Arf, une fôte pour la dernière expression:

I=2\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\,\left(\cos\,x\right)\,\cosh\,\left(\sin\,x\right)\,\cos\,x\,\text{d}x

Posté par
olive_68re : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 01:01

Salut cailloux même chose que moi(à 22h45) avec changement x=\cos(t) ?
Ou tu es encore passé par ailleurs?

Posté par
olive_68re : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 01:02

plutôt x=\sin(t) en fait .

Posté par
jandri Correcteurre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 13:44

Bonjour,

Merci à Arkhnor pour cette intégrale.
Le calcul est assez simple mais du niveau bac+2.
Infophile a trouvé la bonne valeur et MatheuxMatou la bonne intégrale intermédiaire:

 Cliquez pour afficher

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 13:55

Rah zut j'avais essayé ce changement de variable + passage aux complexes mais pas le DSE !

bravo jandri

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 14:03

ah oui Alain avait eu cette idée aussi !

sympa cette intégrale, que maple ne sait pas calculer.

Posté par
jandri Correcteurre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 14:16

Si on remplace sin par cos dans l'intégrale initiale la nouvelle intégrale ne s'exprime plus simplement.
On trouve 3$e-\int_0^1\sinh(t)dt.

Posté par
jandri Correcteurre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 14:17

J'ai fait une erreur:
3$e-\int_0^1\frac{\sinh(t)}tdt.

Posté par
Arkhnorre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 15:04

Très bien joué jandri ! J'avais pensé à un DES, mais je ne l'appliquais pas à la bonne fonction !

Je présente ma solution, assez différente :

 Cliquez pour afficher


Etonnant que les logiciels de calcul formel n'arrive pas à calculer cette intégrale.

Bravo à tous !

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 16:24

Comment t'es venue l'idée d'utiliser ce résultat ?

Posté par
Arkhnorre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 17:34

Ce n'est pas un exercice auquel j'ai été confronté.

A vrai dire, j'ai découvert cette intégrale par hasard, comme j'ai dit dans mon premier message, j'ai testé ce théorème sur des fonctions pour voir ce que ça donnait, et j'ai pas été déçu du résultat, alors je vous en ai fait profiter !

Posté par
infophilere : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 17:38

C'est gentil

Posté par
Arkhnorre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 17:41

Je suis quand même rassuré qu'il existe une méthode plus "naturelle" pour calculer cette intégrale. Encore bravo à jandri !

Il ne reste plus qu'à envoyer un mail aux concepteurs de Mathematica et Maple.

Posté par
MatheuxMatoure : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 18:51

Merci Jandri... je n'avais pas pensé au DSE...

MM

Posté par
gui_toure : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 21:18

Bonjour à tous !

J'avais pensé aux DSE, mais j'avais des produits de Cauchy horribles

Posté par
J-Rre : Une intégrale à calculer 30-06-09 à 21:26

bonsoir,

merci pour cet exo

juste pour que ce topic me soit sauvegarder ...

@+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une intégrale à calculer 01-07-09 à 02:00

Bravo jandri !

Par les résidus :

 Cliquez pour afficher

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une intégrale à calculer 01-07-09 à 02:31

 Cliquez pour afficher

Posté par
Arkhnorre : Une intégrale à calculer 01-07-09 à 08:36

Bonjour elhor.

Une belle preuve par les résidus, bravo !


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