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en coupant la figure par un plan variable perpendiculaire à l'axe, on a l'intersection de deux cercles
et Geogebra trace le lieu des points d'intersections, qui semble être une cardioïde.

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Oui cela semble bien être une cardioïde.
Le côté descriptive est réglé

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j'ai essayé de trouver une solution géométrique mais je suis en panne
j'ai pensé faire l'inversion de centre S transformant la sphère en  ()son plan tangent en S' diamétralement opposé à S
dans cette inversion le cône est  globalement invariant,la courbe  ,(C) intersection du cône et de la sphère  a pour image (C') intersection  du cône et de () plan parallèle à une génératrice donc si je n'ai pas encore écrit de sottises  ( C' ) est une parabole
mais cela ne m'aide pas pour trouver la projection de (C)

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peut être que les propriétés "bien connues" (hum) des cardioïdes pourraient aider :
on y trouve un bon paquet de définitions géométriques des cardioïdes, en particulier une qui fait intervenir l'inversion justement ...

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D' abord, un préambule:

Soit une parabole   de foyer .
Toute inversion plane de pôle et de puissance quelconque l' envoie sur une cardioïde.

En coordonnées polaires, c'est immédiat:

  L'équation polaire de la parabole rapportée à son foyer et à son axe: avec

  L'équation polaire de la transformée: qui est bien  l'équation d'une cardioïde.

  

Le cercle d'inversion de rayon quelconque est en bleu sur la figure.

Le cercle de base de la cardioïde figure en noir. Pour la petite histoire, l'inversion en question échange ce cercle et la directrice.

Revenons à notre problème:

   On considère dans un premier temps l'inversion de l'espace de pôle (le sommet du cône) et de puissance positive quelconque (la sphère d'inversion centrée en et de rayon est en bleu sur la figure suivante).

   Soit un point du cône et son homologue dans cette inversion, et étant leurs projections orthogonales respectives sur le plan passant par et perpendiculaire à l'axe du cône.

  

On a et où et le demi-angle au sommet du cône.

Dans cette inversion, le cône est globalement invariant et la sphère de centre est envoyée sur le plan en sorte que la courbe intersection cône/sphère est envoyée sur la section du cône par le plan , c'est à dire une parabole

Cette parabole est transformée en une parabole de foyer confondu avec par la projection orthogonale sur le plan

On obtient la projection cherchée par l'inversion plane (dans le plan ) de pôle et de puissance . Le cercle bleu d'inversion de rayon figure sur la vue de dessus.

Et avec le préambule, on sait que cette projection est une cardioïde.  

Le petit bémol dont je parlais plus haut:

   Il faudrait démontrer qu'une parabole résultant d'une section de cône de révolution par un plan ad hoc se projette sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône en une parabole dont le foyer est l'intersection de l'axe du cône et du plan.