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En bourrinant (Développement en produit infini du sinus, Stirling...), sauf erreur(s) de calcul, je trouve comme équivalent :
Quand j'aurai deux secondes, je vérifirai tout ça et posterai des éléments de ma solution

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Bon, après avoir corrigé quelques erreurs, voici ce que je trouve désormais:
J'y retourne, des fois que des erreurs subsistent

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Je vois que tu es professeur , je te demande alors si on peut donner à cet exercice une solution n'utilisant que les connaissances du sup

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Bon alors voilà ma solution, dans les grandes lignes :

On a d'abord :   puis en changeant de variable dans chaque intégrale pour se ramener sur [0,], on obtient:
On a d'abord :  
Posons  
En intégrant deux fois par parties, on obtient la relation de récurrence :

La suite au prochain épisode, il faut que j'y aille...

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Je n'ai pas vraiment fait les calculs, mais en majorant |sin(t)|ⁿ sur [k,k(+1)] par sup(|k-t+/2|ⁿ,1) ça devrait donner quelque chose, non? Si c'est non, die-le moi, au moins je ne perds pas de temps!

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Si je ne me trompe , le majorant que tu proposes est déjà supérieur ou égal à

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C'est un bon départ , il ne te reste plus qu'à prouver que et trouver un équivalent simple de

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Oui, stupide! je voulais le inf bien sûr. Utiliser après avoir ramené en [0,] le fait que |sin(x)|1, et l'empêcher de dépasser 1. En fait, le maximum à l'air de s'approcher du milieu, donc j'enlève de moins en moins (si tu y comprends quelque chose c'est que tu es doué!) De toute façon ce n'était qu'une idée, je regarderai de plus près.

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D'où:

Et: .

L'équivalent de N! est donné par Stirling : et on a les développements en produits infinis des sinus et cosinus:



et :

.

(à appliquer pour z=i/2)

On obtient alors des équivalents pour et qui conduisent au résultat que j'ai annoncé hier à 22:12. Sauf erreur(s) de calcul

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Je crois en effet que le produit infini est inévitable , mais ce n'est pas la peine ni d'expliciter et ni d'utiliser Stirling :

A partir de , en posant , on a

ce qui donne ou encore
et donc et comme on a

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Je vois que je me suis embrouillé de notations , dans mon dernier message noter à la place de (celle-ci étant déjà utilisée)