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a_1 = 1 + rac(a_0) > ou = à 1
a_2 = 1/2 + rac(a_1) > 1
Puis par récurrence a_n > 1

0 < a_n - 1 = 1/n + (rac(a_(n-1)) - 1)
0 < a_n - 1 = 1/n + (a_(n-1) - 1) / (rac(a_(n-1)) + 1)
0 < a_n - 1 < 1/n + (a_(n-1) - 1) / 2

D'où la convergence de a_n - 1 vers 0.
Sauf erreur

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Si, ça colle.

Donc 0 < a_n - 1 < 1/n + (a_(n-1) - 1) / 2
Je pose u_n = a_n - 1 avec u_n > 0 pour n > 1

Alors :
0 < u_3 < 1/3 + u_2 / 2
0 < u_4 < 1/4 + 1/6 + u_2 /4
...
0 < u_n < 1/n + 1 / (3 2^(n-3)) + u_2 / 2^(n-2) qui tend vers 0.

Donc a_n tend vers 1.

Désolé pour ces messages à répétition, et pour le texte au lieu de Latex
Bruno

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donc pour on a .
Si la suite converge vers L alors L=1.
Supposons la suite croissante; on a alors:
qui entraine que la suite converge vers 1: contradiction avec croissante.
Donc il existe tel que .
On en déduit par récurrence que pour . La suite est décroissante, minorée par 1 donc elle converge. Sa limite est 1.

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je réfléchis à la question complémentaire

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étant un entier tel que la suite est strictement décroissante vers on a pour tout ,



ce qui donne pour tout , _{à suivre sauf erreur bien entendu}

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J'ai une soluce : je pose , on voit alors que . En cas de convergence de w, sa limite l vérifie donc , soit l=2.

On se fixe un . Il existe tel que . On a alors pour : et .

On raisonne par l'absurde en supposant que pour tout n, . Alors pour  , on a ce qui prouve que w est décroissante à partir du rang . Comme w est minorée par 0, w converge vers 2, ce qui contredit le fait que .
Conclusion : il existe tel que et une récurrence immédiate prouve que .

On raisonne une nouvelle fois par l'absurde en supposant cette fois que pour tout n, . Alors d'où pour : . Cela prouve que w est croissante à partir du rang . Comme w est majorée (voir point précédent), w converge vers 2 ce qui contredit le fait que .
Conclusion : il existe tel que et une récurrence rapide prouve que .

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Avec la même notation pour on a:
1)
2)
3)
Supposons que pour tout n on ait ; la suite est alors croissante, majorée par 3 donc converge et sa limite vaut 2 (même démonstration que blang).
Sinon, il existe tel que d'où pour : : est alors décroissante, minorée par 0 donc elle converge, donc sa limite est 2.
On peut en fait montrer que si était croissante on aurait:
qui contredit la convergence de .
Donc la suite est décroissante pour et .

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je dois reconnaître que le post de blang m'a donné l'idée de la moitié du travail qui manquait à ma preuve

pour tout ,

donne pour tout ,

qui s'écrit aussi donne pour tout ,

et par téléscopie pour tout ,

je crois qu'il n'est pas difficile de montrer que

(c'est en fait une forme généralisée du théorème de Césaro) _{sauf erreur bien entendu}