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Une propriété de 2024

Posté par
perroquet
15-04-24 à 02:13

Bonjour à tous.

Trois petits exercices de difficulté croissante.

1) Montrer que    \root{3}\of{2024+\sqrt{2023\times 2025}} = a+\sqrt{b\times c}    , où a,b,c sont les sommes des chiffres de 2024,2023,2025 .

2) Déterminer les entiers a pour lesquels     \root{3}\of{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}  peut s'écrire sous la forme   \sqrt{b}+\sqrt{c}   , où b,c sont des entiers.

3) Déterminer les entiers a pour lesquels     \root{3}\of{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}  peut s'écrire sous la forme   \sqrt{b}+\sqrt{c}   , où b,c sont des rationnels non entiers.

Posté par
dpi
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 08:29

Bonjour,
Un petit début...

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Posté par
dpi
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 08:30

rectif

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Posté par
Pirho
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 09:19

Bonjour,

1)

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Posté par
derny
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 10:00

Bonjour

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Posté par
derny
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 10:00

Ma réponse était pour le 2)

Posté par
jandri Correcteur
re : Une propriété de 2024 15-04-24 à 11:54

Bonjour,

merci pour ce problème original.
Le 1) est une curiosité facile à vérifier mais je ne l'aurais jamais trouvée tout seul !

Pour le 2) je trouve

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Pour le 3) je trouve
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Posté par
derny
re : Une propriété de 2024 16-04-24 à 09:44

Bonjour
Pour le 3) , bien vu jandri.

Posté par
jandri Correcteur
re : Une propriété de 2024 16-04-24 à 22:32

Bonjour,

je propose une généralisation de la question 1 (mais sans la propriété avec la somme des chiffres) :

quels sont les entiers naturels n tels que    \root{3}\of{n+\sqrt{(n-1) (n+1)}} = x+\sqrt{y} avec x et y entiers ?

Posté par
thetapinch27
re : Une propriété de 2024 17-04-24 à 21:37

Bonsoir,

@jandri, je trouve:

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Bonne soirée

Posté par
jandri Correcteur
re : Une propriété de 2024 17-04-24 à 21:45

@thetapinch27

Je trouve exactement comme toi.

Posté par
thetapinch27
re : Une propriété de 2024 17-04-24 à 21:56

C'est marrant car en voulant vérifier la formule sur un tableur, on dirait que x+y tend un nombre entier sans toutefois pouvoir être un entier (car y ne peut être un carré parfait).
Voici des valeurs numériques pour x allant de 1 à 99 :

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Posté par
jandri Correcteur
re : Une propriété de 2024 17-04-24 à 22:55

C'est tout à fait normal :

puisque x-\sqrt y=\dfrac1{x+\sqr y} tend vers 0, x+\sqrt y vaut 2x moins quelque chose qui tend vers 0.



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