Bonjour à tous,

j'entraîne en ce moment mon petit frère qui participe au rallye de maths en seconde.
Voici un énoncé qui me laisse un peu perplexe :

It's 3 PM and the mathematical treasure-hunt has just started.
The angle between the two hands of the clocks is exactly 90°.
I think I'll be finished with this exercise in exactly 14 minutes.
1) What will the angle of the two hands be then ?
2) What time will it be when the 2 hands form, for the first time from now, an angle of 130° ?

Pour ceux qui ne parlent pas anglais, il s'agit dans la 1) de déterminer l'angle entre les deux aiguilles d'une horloge à 15h14, et dans la 2) de déterminer à quelle prochaine heure, à partir de 15h14, les aiguilles formeront un angle de 130°.

En outre, il est indiqué dans la feuille-réponse qu'il faut arrondir à l'unité pour la 1) et à la minute la plus proche pour la 2). Aucune justification n'est demandée.

Les solutions officielles de ce problème sont respectivement 13° et 15h40min.

La première question ne pose pas de problème (bien qu'il fallait penser à considérer que l'aiguille des heures bouge bien elle aussi). Mais la deuxième me semble plutôt difficile pour un élève de seconde car avoir l'intuition de la réponse me semble difficile, et pour le calculer il y a de nombreux pièges où il ne faut pas tomber.

Voici ce que j'ai fait pour trouver la réponse, c'est laborieux. J'aimerais savoir si vous avez une idée du genre de raisonnement que les créateurs du sujet attendaient des élèves, certainement moins compliqué que ça, mais j'avoue que je ne vois pas vraiment.

Il est clair que l'angle entre les deux aiguilles n'atteint pas 130° entre 15h14 et 15h30 (car l'angle entre les deux est toujours inférieur à 90° par exemple).

Déterminons l'angle entre les deux aiguilles à 15h30.
L'aiguille des heures aura alors bougée de 15° si au départ elle pointait exactement sur le 3 (car par proportionnalité, 12h correspondent à un angle de 360° et ici on bouge de 0,5h).
Donc l'angle entre les deux aiguilles à 15h30 est de 90-15 = 75°.

Étant donné un angle A entre les deux aiguilles à un instant donné, déterminons l'angle x formé entre les deux aiguilles au bout de t minutes.
Par proportionnalité, on trouve que l'aiguille des heures aura bougée de t/2 degrés et l'aiguille des minutes de 6t degrés.
Donc x = A + 6t - t/2 = A + (11/2)t

Réponse à la question
Finalement, en utilisant le résultat précédent, on sait qu'à partir de 15h30 où l'angle entre les deux aiguilles fait 75°, l'angle formé x en avançant de t minutes sera donné par :


Or on cherche t lorsque x = 130°. En résolvant alors l'équation , on trouve que t = 10 min, autrement dit, il faut avancer de 10 minutes à partir de 15h30 pour que l'angle entre les deux aiguilles fasse 130°, ce qui nous amène bien à 15h40.

Pour info, j'ai pris 15h30 car ainsi l'aiguille des minutes est après celle des heures. Si c'est le contraire, il faut adapter la formule et ça rajoute de la complexité. C'est pour ça que je parlais de "nombreux pièges" entre autres.

Des avis ?