Forum Expresso

Une question pour ceux qui sont vraiment forts_bis

Posté par
Collegiendu93 04-08-16 à 12:47

malou > suite du sujet ,mais avec un second énoncé
1 exo=1 sujet

Ca montre comment avec des trucs très simples on peut aboutir à des trucs très compliqués.

Ceci fait, j'écris sur une feuille les puissances de deux.
1
2
4
8
16
32
64
...
Et j'aimerais avoir la moyenne d'augmentation des chiffres d'une étape à une autre.
Plus compliqué, je ne connais toujours pas la solution...

*** message déplacé ***

Posté par Une question pour ceux qui sont vraiment forts 05-08-16 à 00:17

Tu aurais dû ouvrir un nouveau post pour ton deuxième problème :

Citation :
Ceci fait, j'écris sur une feuille les puissances de deux.
1
2
4
8
16
32
64
...
Et j'aimerais avoir la moyenne d'augmentation des chiffres d'une étape à une autre.

Ceci dit :
U0= 1
Un+1 = 2Un
Accroissement Vn :
Vn = Un - Un-1 = 2Un-1 - Un-1 = Un-1
Tu montres facilement par récurrence que Un = 2ⁿ
Et donc Vn = 2^n-1
La somme des Vi de 1 = n est :
Wn = V1 + V2 +...+Vn
Wn = 2⁰ + 2¹+...+2^n-1
Somme géométrique, on sait la calculer :
Wn = (2ⁿ - 1)/(2-1) = 2ⁿ-1
Et la moyenne des acroissements est Wn/n = (2ⁿ - 1)/n

*** message déplacé ***

Posté par re : Une question pour ceux qui sont vraiment forts_bis 05-08-16 à 11:39

Je me suis peut être mal exprimé, mais je parle du nombre de chiffres des puissances de deux.

Pour n = 3, 2^3 - 1 / 3 = 7/3, alors que le nombres de chiffres de 2 à 4 et de 4 à 8 n'a pas augmenté.

Désolé encore une fois si je me suis mal exprimé et désolé encore une fois pour la modération...

Posté par re : Une question pour ceux qui sont vraiment forts_bis 07-08-16 à 12:49

Bonjour, pour un entier naturel non nul $n$ écrit en décimal, le nombre de décimales de ce nombre se calcule par $\lfloor \log_{10}(n)\rfloor$
avec $\log_{10}(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}$
On a donc $\lfloor \log_{10}(2^n)\rfloor = \lfloor \frac{\ln(2^n)}{\ln(10)}\rfloor = \lfloor \frac{\log_2(2^n)\times\ln(2)}{\ln(10)}\rfloor = \lfloor n \frac{\ln(2)}{\ln(10)}\rfloor = \lfloor 0.30102999566n\rfloor$
On obtient les résultats suivants:

Posté par re : Une question pour ceux qui sont vraiment forts_bis 07-08-16 à 12:58

pardon,
Le nombre de décimales de ce nombre se calcule par $\lfloor \log_{10}(n)\rfloor +1$
avec $\log_{10}(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}$
On a donc $\lfloor \log_{10}(2^n)\rfloor +1 = \lfloor \frac{\ln(2^n)}{\ln(10)}\rfloor +1 = \lfloor \frac{\log_2(2^n)\times\ln(2)}{\ln(10)}\rfloor + 1= \lfloor n \frac{\ln(2)}{\ln(10)}\rfloor +1= \lfloor 0.30102999566n\rfloor+1$
On obtient les résultats suivants:

n	0.30102999566n	nombre de décimales de 2^n	2^n
1	0.30102999566	1	2
2	0.60205999132	1	4
3	0.90308998698	1	8
4	1.20411998264	2	16
...	...	...	...
10	3.0102999566	4	1024
...	...	...	...
30	9.0308998698	10	1073741824

Posté par re : Une question pour ceux qui sont vraiment forts_bis 07-08-16 à 13:31

Informations complémentaires:
Le logarithme de base $a$ , $a$ réel strictement positif $\log_a(x)$ est la bijection réciproque de la fonction $x \mapsto a^x$ c'est à dire que $y = a^x \iff x =\log_a(y)$ ou encore $\log_a(a^x) = x$ .
La fonction $ln$ est la bijection réciproque de $e^x$ ( $y = e^x \iff x =\ln(y)$ et $\ln(e^x) = x$ )
On peut remarque que $a^x = e^{x\ln(a)}$ .
On a alors $y = e^{x\ln(a)} \iff x\ln(a) =\ln(y)  \iff x = \dfrac{ln(y)}{ln(a)} = \log_a(y)$ par définition.
On démontre ainsi la relation $\log_{10}(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}$

Pour écrire $n$ entier en base $p$ , $p$ entier supérieur à 2,  il faut l'écrire sous la forme $n = b_0p^0 + b_1p^1 + b_2p^2 + ... + b_ip^i + ... + b_mp^m$    $b_i \in [[ 0,p-1 \rrbracket]]\;\; \forall i\in[[0,m]]$   avec $b_m$ le dernier $b_i$ non nul,
On a alors $n  = \overline{b_m...b_2b_1b_0}^p$ concaténation de $b_i$
On remarque que $p^n = 0p^0 + 0p^1 +0p^2 + ... + 0p^i + ... + 1p^n =\overline{100...00}^p$ avec $n$ zéros.
Par exemple, $10^5$ s'écrit en décimal $100000$ et $2^6 = 64$ s'écrit en binaire $1000000$
On remarque que le nombre de décimales de $p^n$ en base $p$ est $n+1 = \log_p(p^n)+1$ ( $n$ zéros + un 1).
On est donc pas loin de notre but...
On peut enfin remarque que pour tout nombre $p^n \leq q < p^{n+1}$ , $q$ possède $n+1$ décimales (autant que $p^n$ )
Comme le logarithme est continu et strictement monotone, $n = \log_p(p^n) \leq \log_p(q) < \log_p(p^{n+1} = n +1$ d'où en en déduit que $n \leq \lfloor\log_p(q)  \rfloor< n+1$ soit $\lfloor\log_p(q)  \rfloor = n$ .
On en déduit enfin le résultat final