Bonsoir

Il est fortement recommandé de ne pas lire
l'excellente réponse de sbarre
Tentez de répondre ....

C'est du sadisme ?
Après l'avoir lue, on oublie aussitôt la réponse ; et les pistes pour trouver une méthode de recherche brillent par leur absence ...

Bonjour,

ce qui est "marrant" c'est que je ne me souvenais même plus que j'avais ça sur mon site ...
Mais le retrouver ... hum.

en fait j'ai copié ça sur un bouquin qui donne la preuve après trente huit pages de calculs et théorèmes préliminaires !! (bon, l'auteur est parfois un peu prolixe de détails)
il va de soi qu'il était hors de question de mettre ça (les 38 pages) dans le site !

on arrive facilement à une équation Diophantienne (=en nombres entiers) du 4ème degré
il "n'y a plus qu'à" la résoudre...
ce qui prend les 36 pages suivantes, les deux premières étant la preuve de l'équivallence exacte (bijection) entre le problème et cette équation

Bonsoir

  
Bon alors regardez le blank de sbarre,et vérifiez

 Cliquez pour afficher

A=2372159 et B=2165017

Vérifions donc ...

bong. faux.
(tu as échangé A et B par rapport à ton énoncé )

Bonsoir

Il ne faut pas charrier, on peut faire ça, à la main (ou presque), en bien moins que 38 pages.
J'ai presque envie de dire en 38 lignes

(Il s'agit de trouver la solution, pas de prouver que c'est la plus petite, hein ?)

je suis curieux de voir ça...

rien que vérifier la solution est déja abominable, vu la taille des nombres mis en jeu
un programme ou une calculette "ordinaire" ne peut pas être utilisé "directement" car ça dépasse largement la précision des nombres qu'ils peuvent traiter.

il est donc nécessaire d'utiliser des "packages" spéciaux (BigInt) autorisant une précision "infinie"
(inclus dans les logiciels de calcul spécialisés, mais bon, il faut installer ces logiciels)
ou des astuces de calculs, genre identité de Fibonacci , calculs modulo 10ⁿ, grosses additions réellement à la main etc

Tu vas me rétorquer que Lagrange avait résolu le problème bien avant les calculateurs, mais c'est justement avec la théorie "de 38 pages", et à cette époque effectuer des multiplications sur des nombres d'une trentaine de chiffres ne faisait pas peur.

quant à Fermat qui avait posé le problème et prétendait l'avoir résolu (il a tout de même exhibé la solutions !), là non plus, comme pour son "Grand Théoréme" la marge était sans doute trop petite et il n'a pas publié sa méthode.
sans doute semblable à celle de Lagrange mais "sans preuve" (par son fameux procédé de descente pour une fois pas "infinie")
Ce procédé de descente aboutit à trouver des solutions d'une certaine équation x⁴ + 8y⁴ = z², la plus petite non triviale étant (1, 1, 3)
mais l'existence des signes (incontournables) et du foisonnement "arborescent" lors de la remontée conduit à plusieurs pages de calculs numériques pour retrouver son chemin dans cette forêt de candidats solutions :
il faut être un devin hors pair pour choisir que en partant de la solution (1, -1, 3)
on obtient successivement la solution suivante (7, -6, 113) parmi d'autres
puis (239, 13, 57123) puis (2750257, 2048075, 14070212996451) qui donne finalement la solution du problème

et ce sans s'égarer dans des branches parasites comme la solution (7967, 9492, 262621633) et autres choix de signes qui conduisent à des nombres plus grands encore sans trouver de solution (ou alors immenses)

une méthode "de force brute", écrite en quelques dizaines de lignes, oui, est parfaitement accessible à un programme muni d'un package "BigInt", en effectuant quelques millions de boucles sur A, puis pour chacune un "bon paquet" de boucles pour décomposer A⁴ en somme de carrés.
il va donc tourner "un certain temps"
temps que l'on peut raccourcir en fonction d'études théoriques préalables (des bouts des fameuses 38 pages)

Bonjour,

Par force brute, c'est très facile.

Soient les côtés du triangle.

Il existe des entiers et tels que .

Les conditions imposées impliquent l'existence de deux entiers tels que

,

Cette dernière équation montre que le triplet est pythagoricien.

Il existe alors entiers tels que .

Il suffit de faire varier et en testant si et si est un carré parfait :

t:=0:
for a while t=0  
do
   for b to a-1
   do m:=a^2-b^2:
      n:=2*a*b:
      x:=m^2-n^2:
      y:=2*m*n:
      z:=m^2+n^2:
      if x>0 and type(sqrt(x+y))=integer then print(x,y,z,m,n,a,b): t:=1: break fi
   od
od

4565486027761,1061652293520,4687298610289,2150905,246792,1469,84
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Pour la méthode de Fermat à la main en moins de 38 lignes, je n'ai pas le temps maintenant mais je la poste dès que je trouve un moment.

>mathafou
¨pour A et B bien observé
la racine de la somme est plus grande
que la racine de la somme des carrés

c'est bien ce que je dis : c'est inclus dans Mathematica.
j'avais omis de mentionner l'existence de versions en ligne de certains de ces logiciels, donc pas besoin de les installer en local

@mathafou

Tous les triplets pythagoriciens tels que   et sont des carrés, sont de la forme



où est un entier et un triplet primitif tel que et sont des carrés.

Je sais le démontrer, ce n'est d'ailleurs pas très long.

Par conséquent, s'il existe un triplet solution, il existera nécessairement un triplet primitif solution.

On peut donc sans compter sur un "coup de bol" se borner à rechercher les triplets primitifs, ce que j'ai fait (sans le préciser, pour aller plus vite).

Mon propos n'était d'ailleurs pas de donner des démonstrations complètes, ni de polémiquer, mais de montrer à qui cela intéresse un petit programme qui trouve la solution en deux minutes.

Quant aux simples et géniales méthodes de Fermat, elle sont parfaitement décrites et documentées dans le limpide Inventum Novum du Père de Billy qu'on peut consulter ici dans la traduction de Tannery (voir le n° 45 de la première partie et le n° 32 de la troisième pour une autre méthode).

Pour ma part, je m'en tiendrai là.