Valeurs absolues

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Valeurs absolues
Posté par 
flight  20-08-23 à 01:08
Bonjour ,

Je vous propose l'exercice suivant , en esperant que vous apprecierez.

Avec  n  un entier pair  on se donne la fonction :

f(x)= |x - i|  pour 1in.  

Donnez le minimum de cette fonction en fonction de  n .
 Posté par 
sanantonio312re : Valeurs absolues  20-08-23 à 07:59
Bonjour,

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Intutivement, s'il y a un extremum, je le vois bien sûr en x=n/2. Je n'ai plus qu'à le montrer 
 Posté par 
jandri re : Valeurs absolues  20-08-23 à 08:41
sanantonio312,

oui mais 
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le milieu entre  et  n'est pas 
 Posté par 
sanantonio312re : Valeurs absolues  20-08-23 à 11:16
Tout à fait jandi

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J'aurais dû dire: du côté de n/2

Il n'en demeure pas moins que c'est très insuffisant! 
 Posté par 
sanantonio312re : Valeurs absolues  20-08-23 à 11:45
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Entre 0 et 1, f(x)=x+(1-x)+...+(n-x)=(2-n)x+n(n+1)/2 pente (2-n)

Entre 1 et 2 f(x)=x+x-1+(2-x)+...+(4-n)=(n-2)x+n(n+1)/2-2 pente (4-n)

...

Entre n/2 et n/2+1, f(x)=x+(x-1)+...+(x-n/2)+(n/2+1-x)+...(n-x)

n étant pair f(x)=nx/2-nx/2-1-2-..-n/2+n/2+1+...+n= constante

Après, f est croissante

Le minimum est atteint pour x[n/2, n/2+1]

Ce n'est pas élégant, mais ça me parait bon.

D'ailleurs, Géogébra le confirme 
 Posté par 
flightre : Valeurs absolues  20-08-23 à 12:05
salut Sanantonio , oui ..combien vaut ce minimum alors? 
 Posté par 
sanantonio312re : Valeurs absolues  20-08-23 à 17:00
Salut flight,

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Géogébra me dit (n/2)². Je dois encore le montrer
 Posté par 
flightre : Valeurs absolues  20-08-23 à 19:32
Bonne réponse  
 Posté par 
jandri re : Valeurs absolues  20-08-23 à 22:30
Bonjour,

une formule valable pour n pair et pour n impair : 
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 partie entière de .
 Posté par 
flightre : Valeurs absolues  20-08-23 à 22:58
Bonsoir Jandri , pour n impair , suis arrivé à la coordonnée :

M( (n+1)/2 ,  (n-1-E((n-1)/2))(E((n-1)/2) +1 ) pour le minimum

pour n = 9 on obtiens un minimum en M(5,20)  , d'apres ton resultat 

on a donc  (n-1-E((n-1)/2))(E((n-1)/2) +1) = E(n²/4)   
 Posté par 
jandri re : Valeurs absolues  21-08-23 à 14:29
Oui, cette égalité est juste, on la vérifie en posant  puis .
 Posté par 
LittleFoxre : Valeurs absolues  21-08-23 à 18:31

Je confirme la réponse de Jandrijandri.

Ma démonstration:

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Par séparation de la somme selon le signe de  et manipulation des bornes, on a:

Où 

Le minimum de  se trouve entre  et  et donc on peut remplacer  par . En posant , on obtient:

La dérivée en  est donnée par  et s'annule en 

Si  est pair, on a ,  et :

Si  est impair, on a ,  et :

Or 

Le minimum est donc  en .

On peut voir que la dérivée en  s'annule pour  pair. Et donc pour  pair, c'est tout l'interval  qui est minimum.

 Posté par 
flightre : Valeurs absolues  21-08-23 à 21:01
Bravo a sanantonio , Jandri et Littlefox pour leur resultats 
 Posté par 
elhor_abdelali re : Valeurs absolues  22-08-23 à 01:13
Bonsoir 

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  est convexe sur  (et donc continue ).

 La droite  est un axe de symétrie de la courbe .

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On peut alors conclure que  admet un minimum (global) en .

.
  Posté par 
carpediemre : Valeurs absolues  22-08-23 à 15:06
salut

en statistique on appelle écart moyen le nombre  où x* désigne la moyenne des x_i

on démontre que la fonction  est minimale en x* et donc ce minimum est l'écart moyen de cette série