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Niveau Licence-pas de math
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Variable aléatoire continue de densité

Posté par
leachv
09-04-18 à 22:25

Bonjour, je me permets de poster sur ce site car je n'arrive pas à faire un exercice. Voici l'énoncé :

Soit X une variable aléatoire continue de densité :

f(x) =            c/(x^4)       si 1<x < +infini
f(x) =            0                    sinon

Question 1 : Calculez c.
Pour cette question j'ai commencé par calculer la primitive, mais je suis bloqué par les bornes, notamment celle en +infini. La réponse à cette question est c=3 d'après mon professeur de TD.
Question 2 : Calculez l'espérance.
Là aussi, j'ai été bloqué. J'ai multiplié f(x) par x, mais je bloque avec les bornes encore une fois.
Question 3 : Calculez la variance.
Je n'ai pas essayé de la faire.

Posté par
jsvdb
re : Variable aléatoire continue de densité 09-04-18 à 22:45

Bonjour leachv.
1) Effectivement, on doit avoir \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt = 1
Or \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt = c\int_{1}^{+\infty}{t^{-4}}dt = c/3[-x^{-3}]^{+\infty}_1=c/3. D'où c = 3

2) \mathbb E(X) = 3\int_{1}^{+\infty}{t^{-3}}dt = 3/2[-x^{-2}]^{+\infty}_1=3/2

3) \mathbb V(X) =\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2 = \cdots à faire selon le même principe

Posté par
leachv
re : Variable aléatoire continue de densité 09-04-18 à 22:54

Bonjour jsvdb et tout d'abord merci pour votre réponse.

Je comprends mieux le principe, mais une question persiste, pour l'intégrale, comment la calculer sur la borne + infini ?
Je me pose la même question concernant l'espérance..

En vous remerciant d'avance.

Posté par
jsvdb
re : Variable aléatoire continue de densité 09-04-18 à 23:26

L'écriture [-x^{-2}]^{+\infty}_1 signifie  \lim_{x\rightarrow +\infty}(-x^{-2}) -(-1)



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