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Variable aléatoire(convergence et integrabilité)

Posté par
tournaud
15-06-21 à 23:10

Bonsoir les amis. De l'aide svp. J'ai un devoir que j'arrive pas à comprendre. Aidez moi je vous en prie.  
1) Montrer que si (Xn)=X, alors (Xn) est uniformement intégrable
2) Si  I Xn IY, avec YL1(), alors Xn est uniformement intégrable
3) Montrer qu'une suite finie de variable aléatoire  est uniformement intégrable
4) Si (Xn) et (Yn) sont deux suites de variables aléatoires telles IXnIYn tel que (Yn) soit uniformement intégrable alors (Xn) est uniforment intégrable aussi
5) Montrer que une suite de variable aléatoire converge dans L1() si et seulement si ;
      a)(Xn) est de cauchy dans L1
      b) (Xn) est uniformement intégrable et (Xn) converge en probabilité

Merci d'avance

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 16-06-21 à 09:09

Heho aidez moi svp

Posté par
GBZM
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 16-06-21 à 12:47

Bonjour,

Le principe de ce forum est qu'il faut indiquer ce qu'on a fait ou tenté de faire, et expliquer sur quoi on bloque.
La première chose que tu dois comprendre est la définition de "uniformément intégrable". Peux-tu rappeler cette définition ?
Bien connaître cette définition te permettra de préciser ce que tu as à démontrer.

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 16-06-21 à 20:34

Oui je connais la definition de l'uniforme intégrabilité.  c'est parce que je ne sais pas comment écrire les notations de lim sup et de fonction indicatrice  sur le forum que je l'ai pas rappélé

Posté par
GBZM
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 16-06-21 à 21:20

Même si tu n'utilises pas LaTeX, tu as dans la fenêtre d'édition des boutons pour tout un tas de symboles mathématiques et des boutons pour indices et exposants qui te permettront d'écrire la définition.

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 20-06-21 à 15:26

Une famille (Xn) de variable aléatoire  est dite uniformement intégrable si \supX(Xn)IE(IXI)1IXIa) tend vers vers 0 quand a tend vers l'infini

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 20-06-21 à 15:27

Aidez moi svp, j'ai besoin de vous

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 20-06-21 à 20:11

Hehoo les amis

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 01:24

PERSONNE POUR M'aider?

Posté par
Maru0
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 11:38

Bonjour,

Pour le 1), j'imagine qu'il faut supposer X intégrable.
Si c'est le cas, l'inégalité de Markov et la continuité uniforme permettent de conclure.

Puis 2) et 3) semblent se déduire de 1), pour 4) tu peux appliquer la définition.

Pour 5)b), on regarde les deux sens :
CV dans L1 => b)
La convergence en probabilité s'obtient par l'inégalité de Markov
L'uniforme intégrabilité s'obtient par inégalité triangulaire et par un raisonnement analogue à 1) (avec la continuité uniforme)

b) => CV dans L1
Je te conseille de commencer par le cas (X_n) bornée dans L^{\infty}, et de traiter le cas général en tronquant pour se ramener au cas borné

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 17:04

Maru stp j'ai beaucoup de devoir à rendre, et c'est la fin de l'année. c'est crucial pour validé le module. Stp aide moi avec la résolution. en probablité j'ai beaucoup de lacune. Stp

Posté par
Maru0
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 17:37

Je t'ai donné des pistes.
Si elles ne t'aident pas assez, dis moi quel(s) endroit(s) je devrais détailler et pourquoi. Mais je ne vais pas te donner un corrigé non plus.

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 17:47

actuellemnt je suis en session de rattrapage et je prepare les rattrapages...je suis vraiment surchargés et du coup pour ce module de proba, je compte sur les devoirs de maison pour valider, parce que j'ai pas encore réviser le chapitre

Posté par
Maru0
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 18:05

Plus concrètement, tu t'attends à recevoir quelle forme d'aide ?
Tu t'attends à devoir fournir quel pourcentage du travail total ?

Car sur ce forum, tu auras des réponses proches de celles que je t'ai données. Et encore, je t'ai donné des indications sans même que tu ne dises les points sur lesquels tu bloques.
Mais pour avoir plus de détails, il va falloir que tu essayes d'écrire des choses de ton côté, ou au moins que tu dises ce qui te pose problème.

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 18:15

finalement j'ai pu faire le 1 et le 4...mais le reste j' arrive pas

Posté par
Maru0
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 18:23

Pour la 2), tu peux essayer de majorer \mathbb{E}[ |X_n| 1_{| X_n| \geq a}] puis d'appliquer 1) sur Y

Pour la 3), tu écris la définition d'uniforme intégrabilité et tu appliques 1) sur chaque X_i

Pour la 5)a), c'est la complétude.
Pour la 5)b), essaye de suivre l'indication que j'ai donnée plus haut.

Posté par
tournaud
re : Variable aléatoire(convergence et integrabilité) 21-06-21 à 18:34

D'accord Maru. je vais essayer si je rencontre un probleme je te reviens



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