Niveau Licence-pas de math

Variables aléat, Khi-deux

Posté par
Carnaval 26-04-21 à 13:12

Bonjour, je ne parviens pas à comprendre pourquoi est ce que la va Sn^2 suit une loi du khi deux à n degrés de liberté (réponse du corrigé).

Voici l'énoncé

Soient X1,...,Xn des variables aléatoires de indépendantes et de même loi N(u,v(x)) où u est supposé connu et écart type est inconnu.
On note Sn = racine [ ( 1/n * ( Somme (Xk - u)^2 ) ] l'écart type empirique.

Alors la variable aléatoire Sn^2 suit une loi
Réponse : loi du khi deux à n degrés de liberté

Je ne comprends pas le raisonnement derrière cette affirmation...
Merci d'avance

Posté par re : Variables aléat, Khi-deux 26-04-21 à 19:07

Bonsoir,
telle qu'elle est donnée la réponse est fausse.

C'est $\dfrac{n S_n^2}{\sigma^2}$ où $\sigma$ est l'écart-type commun des X_k qui suit une loi du khi deux à n degré de liberté.

La raison est que les $\frac{X_k-u}{\sigma}$ suivent la loi normale centrée réduite et sont indépendantes.
Et, par définition, la somme des carrés de n v.a. normales centrées réduites suit une loi du khi deux à n degré de liberté.