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Variations d'une fonction

Posté par
Metaa
07-08-18 à 10:38

Bonjour,

Je dois étudier les variations de plusieurs fonctions, et parmi celles ci il y en a une sur laquelle je suis complètement bloqué.

Je dois étudier les variations d'une fonction f : x\rightarrow xsin(x)

Je commence d'abord par dériver cette fonction, et j'obtiens f'(x) = 1 \times sin(x) + x \times cos(x) et donc f'(x) = sin(x) + xcos(x)

C'est ici que je suis bloqué, j'essaye de trouver dans un premier temps le signe de f'(x) en posant f'(x) = 0 et j'obtiens x = -\frac{sin(x)}{cos(x)} (je remarque par ailleurs que l'on peut faire apparaître tan(x) et ainsi obtenir x = - tan(x) ...

Mais je suis complètement coincé, car je ne vois par en quelles valeurs la dérivée peut s'annuler dans un premier temps, car je devrai aussi résoudre f'(x) > 0

Je vous remercie d'avance pour vos conseils.

Metaa

Posté par
malou Webmaster
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 10:54

bonjour
avant de te lancer là dedans, n'y-a-t-il pas des questions préliminaires, pour réduire ton ensemble d'étude ?

Posté par
LeHibou
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 10:55

Bonjour,

L'équation x = -tan(x) n'a pas de solution simple.
Tu peux faire un tableau de variations de f'(x) et localiser les racines avec des théorèmes d'existence comme le TVI.
Il y en a une infinité, une par intervalle ]-/2 + n ; +/2 + n[, n Z.

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:07

Excusez moi j'ai été imprécis, je dois étudier les variations sur [0 ; \frac{\pi }{2}] (Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2. Je suis en train de faire le TVI

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:12

Je calcule les limites de f'(x) en 0 et en \frac{\pi }{2}

Lim f'(x) = 0 en 0
Lim f'(x) = 1 en \frac{\pi }{2}

J'ai donc la solution de f'(x) = 0 qui est 0.

Le signe de la dérivée sera donc positive et s'annulera en 0 sur cet intervalle d'étude

J'en conclus donc que f est croissante sur cet intervalle

Posté par
malou Webmaster
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:18

sur [0 ; pi/2] le signe de la dérivée est immédiat !! rien à faire ....

Posté par
PLSVU
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:18

Bonjour,
Sans calculs, si deux fonctions sont croissantes et positives sur un intervalle , alors ....

Posté par
malou Webmaster
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:20

encore mieux ! bonjour PLSVU

Posté par
PLSVU
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:23

Bonjour malou
:)

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:27

>PLSVU Si deux fonctions sont croissantes sur un même intervalle I, alors leur somme est croissante sur I

>malou Pour tout x \in [0 ; \frac{\pi }{2}], sin(x) > 0 et cos(x) > 0

Mais je ne vois pas où vous voulez en venir, il faut quand même que je détermine une solution de f'(x) = 0 non ?

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:35

Je viens de relire à nouveau tous les messages, si je comprends bien je ne suis pas obligé d'écrire le tableau de signes de la dérivée, car les fonctions sin(x) et xcos(x) sont croissantes et positives sur l'intervalle d'étude. La fonction f' étant la somme des deux fonctions est donc positive et par conséquent, la fonction f est croissante.

Posté par
PLSVU
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:35

@   Metaa
   tu as oublié le début de ma réponse  : le calcul de f' est inutile...

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 11:54

Donc f(x) = u(x) * v(x) où u(x) = x et v(x) = sin(x)

Comme x et sin(x) sont positifs et croissants sur l'intervalle, alors la fonction f étant le produit des deux fonctions est croissante sur ce même intervalle.

Posté par
PLSVU
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 12:08

la fonction f étant le produit des deux fonctions croissantes  et positives, est croissante sur ce même intervalle.

Posté par
Metaa
re : Variations d'une fonction 07-08-18 à 12:31

Merci beaucoup pour votre aide

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