Bonjour,

1)b) Tout d'abord, on va démontrer que (JH) et (HI) sont perpendiculaires.
Pour cela on utilise la propriété d'un triangle inscrit dans un demi-cercle
:
"Si un triangle a pour sommet les extrémités d'un diamètre d'un
cercle et un point de ce cercle, alors ce triangle est rectangle
en ce point."
D'après les données de l'énoncé : HIJ est rectangle en H.
Ensuite, on utilise la fait que l'image d'une droite par une translation
est une droite parallèle.
L'image de (HI) par la translation de vecteur IJ est (AJ).
Donc (HI) et (AJ) sont parallèles.
Pour finir, on utilise la propriété suivante :
"si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire
à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre."

A suivre...

2) a) D'après la règle du parallèlogramme, le quadrilatère
HIBJ est un parallèlogramme. Donc les segments [IJ] et [HB] ont le
même milieu. Ce sont donc deux diamètres du cercle.
Donc B appartient au cercle C.
b) On utilise des égalités vectorielles (à justifier).
HI = AJ (à l'aide de la translation)
HI = JB (car HIBJ est un parallélogramme).

Donc AJ=JB (en vecteurs). Donc J est le milieu de [AB].

(HJ) est perpendiculaire à [AJ] et passe par son milieu, c'est donc
sa médiatrice.

A suivre...

Dans la dernière phrase :
(HJ) est la médiatrice de [AB].

3) C appartient à la médiatrice de [AB] donc CA=CB.
Le triangle ABC est isocèle en C.

4) Le triangle HAB est lui aussi isocèle (en H).
La droite (HJ) est donc aussi la hauteur issue de H du triangle ABH.
On démontre que (BK) et (HA) sont perpendiculaires en utilisant la même
propriété que pour le 1.
(BK) est donc la hauteur issue de B du triangle ABH.
Le point de concours C de (BK) et (HJ) est donc l'orthocentre.
La droite (AC) passe par un sommet et par l'orthocentre, c'est
donc la troisième hauteur. Elle est donc perpendicalaire au côté
opposé (HB).

@+