Bonjour.
Comme il y a une probabilité non nulle ( environ 310^-5 ) pour qu'il n'arrive jamais au bout de son trajet car il a une vitesse négative ou nulle je crois que le temps moyen qu'il met pour faire son trajet est infini.

Bonjour Verdurin, j avoue ne pas comprendre la notion de vitesse  négative ou nulle que tu évoques, en pratique le véhicule ne s arrête pas jusqu a destination, une simulation de la loi normale de moyenne v=100 et d acert type 25  ne m à jamais donné de telles vitesses... Ou alors un truc m' échappe

Une simulation complète m à donné un temps moyen de trajet de 51 mn.

Bonjour,
Je me simplifie la  vie en retenant 87.5 km/h ce qui donnerait un
temps de  54 min51s.

Si V suit une loi normale d'espérance 100 et d'écart-type 25 elle peut prendre des valeurs négatives.
Comment calculer la durée du trajet dans ce cas ?

Oui mais pour rendre l exercice faisable et obtenir un comportement des changements de vitesse les plus conformes possibles avec la réalité ont peut utiliser la partie utile de la courbe de Gauss et ne pas rester dans un modèle purement mathématique en quelque sorte se limiter à une vitesse strictement positive... Non ?

Bien sur, on peut faire ça.
Mais on est quand même sur un forum de math et la question de départ ne correspond à aucune réalité.

J'ai la flemme de faire le calcul exact qui me semble horriblement compliqué.
Mais je pense que tu devrais vérifier que ta simulation ne donne jamais de temps négatifs.

Quelques résultats de simulations sur un million de tirages.
Les résultats sont donnés sous la forme heures:minutes:seconde.
la vitesse v suit une loi normale d'espérance 100 et d'écart-type 25.

Première méthode on prend t=80/v et on peut donc avoir des temps négatifs.
Quatre résultats 0:52:01 ; 1:0:10 ; 0:51:24 ; 0:51:53

Seconde méthode on rejette les valeurs de v négatives ou nulle.
Quatre résultats 0:52:03 ; 0:52:0 ; 0:51:57 ; 0:52:04

Je me demande comment ta simulation te donne un résultat de 51 minutes.

bonsoir verdurin , avec ce petit algorithme :

Salut flight.
Ton programme montre que tu pensais à une autre question que celle que tu as posée.
Ceci étant dit tu ne gères pas le problème des vitesses négatives, qui donnent des temps de parcourt négatifs.
Et je ne vois pas où tu utilise une loi normale.
En gros tu fais n'importe quoi et tu crois que c'est une simulation d'un problème que tu as mal posé.

ce que j'aime bien chez toi c'est ton jugement express et "hâtif "..n'oublie cependant pas que tout le monde peut se planter et ca t'es deja arrivé de faire n'importe quoi .....et si "je fais n'importe quoi" c'est vite dit si bien sur c'est que tu ne  comprend pas ces lignes  :

s = 0
k = 0
Do
k = k + 1
s = s + Rnd
Loop Until k = 12
'choix de la vitesse par simulation de la loi normale µ =100 et ecart type = 25:
v = 25 * (s - 6) + 100

et puis va faire un tour ici et tu comprendra comment je m'y suis pri pour ecrire les lignes ci dessus :ca explique comment on simule une loi normale :

si tu a une réponses fermée sur le probleme je serai ravi de la connaitre en excluant les 'vitesses négatives "

Avec un peu de retard, une solution théorique.

Soit V une variable aléatoire continue ayant une espérance et f sa densité.
Le support de est avec
Comme V est une vitesse non-orientée on ne veut pas de valeurs négative.

On parcourt trajet de longueur à la vitesse
Le temps de parcourt est une variable aléatoire

Classiquement si a une espérance on a

On regarde la convergence de cette intégrale :
si il n'y a pas de problème, on examine donc la cas

Dans ce cas si on obtient qu'au voisinage de 0 :

      

L'intégrale est donc divergente si .

C'est toujours le cas si V suit une loi normale avec rejet des valeurs négatives.
La réponse exacte à ton problème est donc que l'espérance du temps de trajet est infini.


On peut se demander pourquoi nos simulations ne le montrent pas.
Je pense que le problème est que les lois obtenues ne sont pas exactes  ( on ne peut pas obtenir informatiquement une loi uniforme sur [0;1], ni aucune loi continue )  et que la différence relative est particulièrement grande pour les valeurs extrêmes.

Pour regarder ce qui se passe quand on est dans une partie mieux représentée par les générateurs aléatoires de la loi normale, j'ai fait des simulations en prenant une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 100.
J'utilise la fonction gauss() du module random de python dont je ne connais pas le fonctionnement, ce qui est mal

Les résultats sont en heures décimales.

Pour dix échantillon de taille cinquante-mille j'obtiens.

En gardant les vitesses négatives :
1.676 ; 0.893 ; 1.504 ; 1.369 ; 0.186 ; 2.144 ; 0.886 ; -0.042 ; 1.476 ; 0.794
En rejetant les vitesses négatives :
2.555 ; 2.781 ; 3.311 ; 2.970 ; 3.503 ; 2.555 ; 2.781 ; 3.311 ; 2.970 ; 3.503

Pour dix échantillon de taille cent-mille j'obtiens.
En gardant les vitesses négatives :
0.767 ; 42.459 ; 0.732 ; 1.034 ; -0.480 ; 1.610 ; 2.878 ; -1.126 ; 0.447 ; 1.038
En rejetant les vitesses négatives :
3.971 ; 4.694 ; 3.146 ; 3.084 ; 3.136 ; 4.323 ; 4.555 ; 2.560 ; 3.820 ; 3.136

Il me semble manifeste qu'il n'y a pas de convergence.

À mon avis c'est visible dans ce cas parce qu'on est dans une partie bien approximée de la loi normale.

Bonsoir V erdurin

je vois que tu a fait une simulatione en prenant une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 100  alors que l'ecart type est de 25
d'ou peut être les résultats que tu a obtenu

Bonsoir flight.
Je me demande si tu as pris la peine de lire mes deux messages précédents.

Bonjour,
J'ai fait une simulation d"un parcours de 80 km à 100km/h de moyenne avec écart-type 25 ,je trouve environ 52 minutes .
Je ne vois pas pourquoi on ne trouve pas  autour de 48 minutes qui
serait le temps avec vitesse constante.
Cela voudrait dire qu'un écart type minimise un phénomène.

À dpi : la vitesse moyenne est la moyenne harmonique des vitesses qui est notoirement inférieure à la moyenne arithmétique.

À flight : tout d'abord je te présente mes excuses pour mon message du 21-03-22 à 22:55.
Ensuite il me semble avoir montré que le temps moyen de trajet est infini si on rejette les valeurs négatives.
Je me suis donc posé la question de savoir pourquoi on ne le voyait pas sur les simulations et pourquoi on trouve presque tous des résultats très voisins.
Comme un écart-type de 25 rend très improbables les valeurs voisines de 0 j'ai regardé ce qui se passe en les rendant plus probable et donc en augmentant l'écart-type.

>verdurin
Merci .
Quelle explication simple peut le justifier?

À dpi.
Justifier quoi ?

On parcourt un trajet de longueur d deux fois avec les vitesses v₁ puis v₂.

Le temps de parcourt moyen est



La vitesse moyenne est

donc   ce qui est bien la définition de la moyenne harmonique.

La moyenne harmonique de deux nombres strictement positifs  a et b est et il est facile de vérifier qu'elle est inférieure à

Merci,je vois mieux

À flight.
J'ai donné une réponse fermée au problème de départ : l'espérance du temps de trajet est infinie ( en rejetant les vitesses négatives ).
Qu'en penses-tu ?

Bonjour Verdurin ...j'ai beau relire tes réponses ..mais quelque chose ne colle pas avec la réalité  ta réponse voudrais dire que l'automobiliste n'arrive jamais à destination car le temps de trajet est infini..à mon sens il existe une valeur finie pour ce temps de trajet ....sinon le probleme perd tout son sens ....la simulation de la loi normale que j'ai utilisé pour la vitesse reprend la methode que je t'ai donné en lien (document bien fait je trouve )

Ma réponse ne veut pas dire que l'automobiliste n'arrivera jamais à destination.
Il y arrivera « presque toujours » c'est à dire avec une probabilité égale à 1.
Mais l'espérance n'est pas définie, autrement dit les simulations ne sont pas convergentes.
Tu peux regarder le « paradoxe de Saint-Pétersbourg » sur ce thème.