de la part de carpediem...

 Cliquez pour afficher

carpediem @ 01-01-2019 à 16:36

tout le monde sait que 2^10 = 1024 ...

et que 24 est périodique modulo 100 ...

.

Bonjour
Je propose

 Cliquez pour afficher

88 avec un cycle de 20

Bonjour

 Cliquez pour afficher

je propose 88

Bonne année

 Cliquez pour afficher

pow(2,2019,100) = 88

Bravo à tous, vous avez bien commencé l'année !

Une justification détaillée, mais pas trop compliquée du résultat :

 Cliquez pour afficher

Tout le monde sait que 2^10 = 1024... (dixit carpediem).
D'où 2¹⁰ -1 [25] et 2²⁰¹⁰ = (2¹⁰)²⁰¹ -1 [25]
Tout le monde sait que 2⁹ = 512 . D'où 2⁹ 12 [25] .
Par produit 2²⁰¹⁹ -12 13 [25]
L'écriture de 2²⁰¹⁹ se termine donc par 13 , 38 , 63 ou 88 .
Mais 2²⁰¹⁹ est un multiple de 4 , et tout le monde sait, peut-être depuis le primaire, qu'un multiple de 4 se termine par un multiple de 4 .
Seul 88 convient

Une variante :

 Cliquez pour afficher

2^10 = 1024
D'où 2¹⁰ -1 [25] et 2²⁰¹⁰ = (2¹⁰)²⁰¹ -1 [25] .
L'écriture de 2²⁰¹⁰ se termine donc par 24+25k avec k = 0, 1, 2 ou 3 .
2²⁰¹⁰ étant un multiple de 4 , son écriture se termine par un multiple de 4 , donc par 24 .
2²⁰¹⁹ = 2²⁰¹⁰512 se termine donc comme 24512 : 88

En version exponentiation modulaire rapide :

 Cliquez pour afficher

22019              [1000]
=   1 x   22019    [1000]
=   2 x   41009    [1000]
=   8 x  16504     [1000]
=   8 x 256252     [1000]
=   8 x 536126     [1000]
=   8 x 29663      [1000]
= 368 x 61631      [1000]
= 688 x 45615      [1000]
= 728 x 9367       [1000]
= 408 x  963       [1000]
= 168 x 2161       [1000]
= 288 x 6560       [1000]
= 288

Bonjour

Bonjour
avec toutes mes excuses pour la fausse manip précédente

 Cliquez pour afficher

Je propose 512

Bravo LittleFox !

@royannais,
Regarde les réponses pour 2 chiffres.

Bonjour

OK j'ai retrouvé mon erreur ( où avais-je la tête ? )

et pour les 4 derniers, je propose

 Cliquez pour afficher

4288

Pour les 608 derniers chiffres je propose:

 Cliquez pour afficher

60195114596394835600098365337904453203909290339267782926802235520490734165288304711128028876190843924300219790864545888256504310575296955360263869886190226526243383749017484657001118642072476645551729273766405076304063608204237662557210948948704023790697838835485847746743961966673034818112016467608381780836571628953643780985260335330971646113053292101856920976336683443432722599633895445894931616008611613374098397266979994918402938455905105740583869839521659968843917706442661974067161049185192814971652892568440545229326928534271192994370172110180253787978742523925806590626609471822068371239222313484288

Qui va chercher le 609ème

Bonjour à tous! Merci de m'éviter la rédaction de ce truc.

 Cliquez pour afficher

Moi, j'ai tout bêtement calculé modulo 100 jusqu'à la première fois où j'ai retrouvé le même.

Bonjour

Je donne ma réponse  initiale

 Cliquez pour afficher

La séquence est 2 4 6 8 2 4 6 8....

2020  étant multiple de 4   terminera par 6  donc 2019 par 8 .
On remarque que 2019   est un nombre de la suite 19+20+... Donc l'avant dernier chiffre sera  8.
Soit 88

Bonsoir dpi,

 Cliquez pour afficher

La séquence ne serait pas plutôt 2 4 8 6 ?
Pour "2019 est un nombre de la suite 19+20+..." , je n'ai pas compris

Bonjour Sylvieg

 Cliquez pour afficher

oui   2 4 8 6     donc  8 avant 6    ....
Une fois qu'on est sûr  du 8 comme dernier  on observe la séquence  de l'avant dernier    0   2  4  6   8  (cette fois)
pour
puis toutes les puissances+20    ( 39   59.......2019 )
  

D'accord, je n'avais pas compris 16+20+... comme 19+20+20+20+...

Coquille : 19+20... et pas 16+20...