Niveau exercices

volume

Posté par
raymond 27-06-10 à 10:35

Bonjour.

J'aimerais avoir confirmation d'un calcul. Il s'agit du problème suivant.

Un verre a la forme d'un tronc de cône de révolution.
Les rayons de la petite base (le fond du verre) et de la grande base sont respectivement r et R.
Ce verre a une hauteur H.

Question : à quelle hauteur x le remplir pour arriver à la moitié du volume du verre ?

Je trouve :

$3$\textrm x = \fra{H}{R-r}\Big[\sqrt[3]{\fra{R^3+r^3}{2}} - r\Big]$

Merci d'avance.

Posté par re : volume 27-06-10 à 11:33

Bonjour,

Comment je vois la chose.

$\displaystyle \\ \displaystyle\frac{1}{2}.\int_h^H \pi*\tan^2(\alpha)*x^2.dx = \int_h^h_m \pi*\tan^2(\alpha)*x^2.dx \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}.\int_h^H x^2.dx = \int_h^h_m x^2.dx \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}.\left[\frac{x^3}{3}\right]_h^H = \left[\frac{x^3}{3}\right]_h^h_m \\ \\ \displaystyle h_m^3 = \frac{1}{2}*(h^3+H^3) \\ \\ \displaystyle h_m = \sqrt[3]{\frac{1}{2}*(h^3+H^3)}$

Maintenant que l'on connait la hauteur absolue, on soustrait h. Donc
$\displaystyle \Delta{h} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}*(h^3+H^3)} - h$

Par application de Thalès, on a
$\displaystyle \Delta{h} = h.\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}*(1+\left(\frac{H}{h}\right)^3)} - 1\right) \\ \\ \Delta{h} = \frac{r.H}{R}.\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}*(1+\left(\frac{R}{r}\right)^3)} - 1\right)$

Et en posant $H_v = H-h$ , on trouve, $H = H_v*\frac{R}{R-r}$ [blank][/blank]. Donc,
$\displaystyle \Delta{h} = \frac{r.H_v}{R-r}.\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}*(1+\left(\frac{R}{r}\right)^3)} - 1\right)$

On retrouve bien la même chose. BS

Posté par re : volume 27-06-10 à 11:40

Merci beaucoup.

Je pensais que mon résultat était exact car je l'avais testé pour deux cas particuliers :

r = 0
R = r.

Mais je préférais avoir confirmation. Encore merci et bon dimanche.

Posté par re : volume 27-06-10 à 13:04

Bonjour.
Le cône imaginaire dont la base est la surface de l'eau est la moyenne entre le cône entier et le cône enlevé :
volume du grand cône fois (R³+r³)/2R³
la hauteur du grand cône est x tel que (x-H)/x = r/R; rx = Rx-RH; RH = Rx-rx; x = H*R/(R-r)
la hauteur du cône imaginaire est [H*R/(R-r)]/[(³(R³+r³)/2)/R]
La hauteur de l'eau est :
[H*R/(R-r)] * 1-[³((R³+r³)/2)/R]
= [H*R/(R-r)] * [R- ³((R³+r³)/2)]

Posté par re : volume 27-06-10 à 13:18

Remarque. Dans mon calcul, il faut permuter h et h_m pour les trois premières lignes. Après les intégrales, les calculs sont corrects (coquille de recopie).

Après, pour plume météore, je pas trop saisi ta méthode (j'ai pas trop forcé non plus). Mais ta dernière ligne a un problème d'homogénéité car ton résultat est homogène à une surface et non à une longueur.

Posté par re : volume 27-06-10 à 16:48

Bonjour,

Pour un même angle au sommet le volume d'un cône est proportionnel au cube du rayon de la base.
En notant $r_x$ le rayon correspondant à la hauteur x on a donc:
$4$r_x^3=\frac12(r^3+R^3)$ .
Par proportionnalité:
$4$\frac x{r_x-r}=\frac H{R-r}$ .
Donc $4$ x = \frac{H}{R-r}\Big[\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}} - r\Big]$