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Volume maximal d'une cuve

Posté par
pppa
04-04-15 à 12:00

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à résoudre cet exercice :

On se propose de construire une cuve cylindrique de rayon r et de hauteur h.
On veut obtenir un volume maximal pour une surface S de métal donnée.

1/ Déterminer l'aire S de la surface totale de la cuve (surface latérale et aire des deux disques) en fonction de r et  de h.
Je trouve S = 2r(r+h)

2/Déterminer le volume V de la cuve en fonction de r et de S

Pour moi V = r²h, donc si r = \dfrac{S}{2\pi(r+h)} alors V = \dfrac{S^2 h}{4\pi(r+h)^2}

3/ On prend S = 4 m². Etudier les variations de la fonction qui à r associe V ; déterminer r pour que V sooit maximal ; en déduire h.

De ma réponse à la question 2 je déduis que V(r) =\dfrac{4h}{\pi(r+h)^2}, donc V'(r)=\dfrac{-8h} {\pi(r+h)^3}  et h étant positif,  je cherche V'(r) > 0 (pour étudier le signe de la dérivée et déterminer des extrema) pour r < -h ce qui selon moi ne signifie rien.

J'ai dû me tromper qq part ; je ne vois pas où.

Merci de m'aider à trouver où !

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 12:05

Bonjour,

Pour la 1, ce serait plutôt S=2\pi r(r+h)

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 12:18

avec V_{max}\text{ pour }r=\sqrt{\frac{2}{3\pi}}

Volume maximal d\'une cuve

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 12:30

Soit V_{max}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3\pi}}\approx 0,614

Posté par
pppa
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 12:46

>>Jedoniezh

merci de me réponde.

Pour la Q1 c'est une erreur de frappe.

Mais peux-tu m'expliquer stp comment tu trouves l'expression de la fonction dont tu traces la courbe ?

Merci par avance

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 12:57

Et bien disons que j'ai d'une part :

S=2\pi r(r+h)\Longrightarrow h=\frac{S}{2\pi r}-r

et d'autre part :

V=\pi r^2h=\pi r^2(\frac{S}{2\pi r}-r)=r(\frac{1}{2}S-\pi r^2)

S=4\Longrightarrow V=2r-\pi r^3

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 13:23

J'ai donc V(r)=2r-\pi \times r^3 avec 0<r<\sqrt{\frac{2}{\pi}}

pour que V>0

Posté par
pppa
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 13:26

merci beaucoup

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 13:28

Je t'en prie.

Sans vouloir être indiscret, tu enseignes en lycée professionnel ?

Posté par
pppa
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 17:02

Pas du tout : si j'enseignais, je me poserais des questions , d'avoir dû solliciter de l'aide pour un problème que j'aurais dû savoir résoudre par moi-même.

Encore merci pour tes réponses précises.

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 17:19

Je t'en prie.
Je pensais, vu le nombre de contributions que tu as mises sur le site.

Posté par
pppa
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 17:53

Je comprends que tu te poses des questions. J'ai parfois des faiblesses qui me font buter sur des questions alors que je pense en avoir résolu de plus ardues.  Il y a des jours sans....mais pas sans la formidable coopération que permet internet et notamment ce site pour les questions mathématiques.

Bien cordialement  

Posté par
Jedoniezh
re : Volume maximal d'une cuve 04-04-15 à 19:02

Je ne compte pas non plus le nombre de marches mathématiques que je rate ...
Au plaisir.

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