Niveau exercices

Vraiment pas compact!

Posté par
Camélia 07-12-09 à 15:41

Bonjour

Soit D le disque fermé de rayon 1 du plan ${{\bb R}^2}$ . Pour $0 < r \leq 1$ on pose

$U_r=\{(x,y)|\ x^2+y^2 < r\ et \ y\neq 0\}\cup\{(0,0)\}$

On munit D de la topologie engendrée par ses ouverts habituels et par les $U_r$ .

Montrer que D est séparé, n'est pas compact, et ne peut pas être plongé dans un compact (n'est pas homéomorphe à un sous-espace d'un compact).

Ceci m'a été inspiré par Espace dont toutes les images continues sont fermées qui est un sujet toujours ouvert... (amusant, pour un sujet de topo, non?)

Posté par re : Vraiment pas compact! 07-12-09 à 17:29

Bonjour.

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Pour la problème de Fractal, j'ai trouvé par hasard un exercice dans un livre qui le démontre pour le cas où l'espace est métrisable. Je le posterai si ça vous intéresse. (je n'y ai pas réfléchi)

Posté par re : Vraiment pas compact! 08-12-09 à 14:14

> Arkhnor

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Pour l'histoire de Fractal, le cas métrisable est déjà réglé!