Bonjour,
En janvier de chaque année l'académie des sciences de Mathland remet au meilleur mathématicien de l'année un carré d'or. Ce carré est gravé sur une de ses faces d'une grille (carrée) 4*4 de 16 cases sur lesquelles sont serties quatre type de pierres précieuses : émeraude, rubis, saphir et diamant. Les pierres sont disposées de telle façon qu'il n'y ait qu'une sorte de pierre sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chacune des deux grandes diagonales. Depuis sa création, l'académie a fait en sorte de fabriquer un carré différent pour chaque lauréat, jusqu'à cette année où elle se rend compte qu'elle ne peut plus créer un nouveau carré.
En quelle année l'académie a t-elle remis le premier carré d'or ?
NB : Un carré obtenu par la rotation d'un autre sera considéré comme identique.
Pour vous mettre sur la bonne voie, je vous laisse méditer cette petite pensée de Confucius :
Bonjour,
Après quelques essais, je pense qu'il est possible de faire 16 carrés différents. L'académie est donc dans sa 17ème année.
Le premier carré d'or a été remis en 1992.
Bonjour.
On peut faire 12 carrés différents.
Tous les autres sont des rotations d'un de ceux-là.
Le dernier carré a été donné en 2007.
Le premier a donc été donné en 1996.
Merci pour cette énigme.
Très bien la citation !
bonjour Minkus
En travaillant sur les diagonales je trouve 24 possibilités donc 24 années,on est en janvier 2008, donc :
- si à l'année 2008 on a créé un carré d'or qui a présenté la dernière possibilité je réponds 2008-24+1 = 1985.
- si à les possibilités sont finis dès le carré d'or de l'année 2007 et on ne s'est rendu compte de cela qu'à l'année 2008 je réponds 2007-24+1 = 1984
merci bien pour l'énigme .
Bonjour minkus
On peut faire 12 carrés différents selon les règles de l'académie de Mathland.
Ils ont donc remis le premier en janvier 1996.
Cordialement
Frenicle
bonjour Minkus
pour une première ligne formée telle DERS je trouve qu'il n'y a que deux carrés possibles répondant à la question
DERS
SRED
EDSR
RSDE
et
DERS
RSDE
SRED
EDSR
comme il y a 4! possibilités d'incrustation pour la première ligne cela fait 48 carrés d'or possibles
donc sauf erreur de ma part la société mathématique a commencé la distribution des carrés d'or en 1960
bien sûr cela sous-entend que chaque année il y ait eu un mathématicien méritant [i]
merci pour ce défi cherché entre le dessert et le café
Bonjour
il y a 12 carrés différents, donc s'ils se trouvent à court de motif en 2008 après en avoir utilisé un différent chaque année, c'est qu'ils ont débuté en 1996.
bonjour
la première remise du carré d'or a eu lieu en l'année -15764385
rappel : les années +1 et -1 étaient deux années consécutives
il y a 63063000 dispositions différentes : 16!/(4!)^4
les dispositions peuvent être divisées en trois groupes
les simples, qui donnent la même disposition après rotation
elles sont de la forme
ABCA
CDDB
BDDC
ACBA
où la même pierre est toujours représentée par la même lettre
il y en a 4! = 24; elles comptent pour 24
les doubles, qui ne donnent que deux dispositions après rotation
elles sont de la forme
ABCD
EFGH
HGFE
DCBA
il y en 8!/(2!)^4 = 2520 auxquelles il faut retrancher les 24 simples : 2496
elles comptent pour la moitié de leur nombre : 1248
toutes les autres : 6306300-2520 = 63060480
elles comptent pour le quart de leur nombre : 15765120
remises du carré : 24 + 1248 + 15765120 = 15766392
dont 2007 dans les années positives
et 15764385 dans les années négatives
Si on fixe la 1ère ligne, on s'aperçoit que l'on obtient 2 possibilités "de base" différentes.
Il y a 4! manières d'écrire la 1ère ligne. Il y a donc 2*24=48 possibilités de constituer la carré 4*4.
Comme on considère que les rotations laissent invariants une solution et que l'on constate qu'aucune rotation des 2 possibilités "de base" ne redonne une possibilité 'de base", chaque solution correspond exactement à 4 solutions identiques.
Le nombre de solutions "différentes" est donc 12.
L'académie à donc remis ses 12 trophées de 1996 à 2007.
Le premier trophée a été remis en 1996.
j'ai trouvé 2 carrés commencant par 1234:
1234
4321
2143
3412
et
1234
3412
4321
2143
or on a 4*3*2*1=24 possibilités pour distribuer les 4 pierres aux 4 numéros
=> 48 carrés différents
en janvier 2008, nous sommes sur le 49 ème carré
donc le premier laureat date de janvier 1960
Bonjour à tous et merci à Minkus pour cette énigme.
S'il y a une seule sorte de pierre sur chaque ligne et chaque colonne, il est clair qu'il n'y a qu'une sorte de pierre sur le carré: il sera donc tout en diamant, tout en émeraude tout en saphir ou tout en rubis.
Il n'y a donc que 4 carrés possibles et la première remise des prix a eu lieu en 2004.
Je reprends l'énigme en supposant qu'il y a une faute de frappe dans l'énoncé et qu'il faille mettre des pierres différentes sur chaque ligne, colonne ou diagonale.
Comme l'énoncé nous y incite, je désigne chaque pierre précieuse par son initiale E,R,S ou D.
Vues les contraintes, les 4 coins du carré sont ornés de pierres différentes. En faisant tourner le carré, j'amène l'émeraude dans le coin en haut à gauche. Il y a alors 6 façons équivalentes de remplir la première ligne. Supposons qu'on ait choisi ERSD.
Voici les 5 remplissages possibles des deux premières lignes:
ERSD ERSD ERSD ERSD ERSD
RDES SDER SDRE DSER DSRE
Dans chacun des 5 cas, j'essaie de placer les deux dernières lignes, en commençant par la dernière, qui ne peut commencer ni finir par E ou D.
Le premier cas ne fournit pas de solution, ni le 3° et le 4°
Le 2° et le 5° fournissent respectivement les solutions
ERSD ERSD
SDER DSRE
DSRE REDS
REDS SDER
Chacune des 6 premières lignes possibles fournit ainsi 2 solutions, ce qui fait 12 carrés tous différents (même à une rotation près).
Donc, dans cette hypothèse d'une erreur d'énoncé, la première remise de prix a eu lieu en 1996.
Au revoir!
Si l'on se fixe la disposition de la 1ère ligne, il n'existe qu'une disposition possible, à la symétrie près par rapport à la diagonale principale, à savoir
A B C D
C D A B
D C B A
B A D C
Cette disposition correspond, par rotation, à 4 dispositions possibles de la première ligne. Il y a donc 2x4!/4=12 dispositions possibles. L'académie a donc remis le premier carré d'or en 1996, et a épuisé en 2007 les dispositions possibles...
Bonjour,
je pense qu'il n'y a que 12 "carrés d'or" possibles, ce qui fait que le 1er a été remis en 1996.
bonjour, je suis vraiment pas sur mais je pense a 2005 (je crois qu'il n'existe que deux carrés latin d'ordre 4.)
voila je suis pas sur mais il me semble qu'il n'y a en fait que quatre solutions donc nous sommes en 2008 2008-4=2004
Ma réponces est : 2004
Bonsoir
Un petit complément en image à ma réponse du 21 janvier :
et les 12 carrés possibles (en moins beau !):
Cordialement
Frenicle
bonjour,
il n'y aurait pas 32 cas possible. Cela ferait que l'académie a remis le premier carré d'or en 2008-32 =1976 .
salut Minkus
pour la première ligne du carré d'or il y a 4! combinaisons possibles
puisque que les pierres identiques ne peuvent être alignées pour la seconde ligne il y a 6 possibilités
pour la troisième il y a 2.
soit 12x24 = 288 carrés d'or
donc l'académie a commencé à descerner ce prix en 1720 !
D.
Bonjour,
Sans aucune conviction, je vais répondre qu'il y a 12 possibilités de répartir les pierres précieuses pour avoir des carrés différents.
Sachant qu'en 2007, Mathland a attribué son 12ème et dernier carré d'or, le premier a du être attribué en 1996
En fixant une diagonale, je n'ai trouvé que deux configurations pour faire des grilles de 4x4 avec 4 lettres différentes respectant les règles de l'énigme :
ACDB ADBC
DBAC CBDA
BDCA DACB
CABD BCAD
Ensuite, il y a 4! possibilité d'affecter les lettres A, B, C et D aux 4 types de pierres précieuses dont on dispose.
Ca nous fait un total de 2*4! = 2*24 = 48
Comme en 2008 on ne peut plus trouver de nouvelle solution, cela signifie que la première année était 2008 - 48 = 1960
Salut salut!
Sympa ce problème, je suis sur qu'une réponse est sur le web, mais j'ai vraiment cherché
Alors, on remarque qu'un carré de ce type a forcément une pierre de chaque type dasn chaques coin.
pourquoi me dirais vous? je vous réponderais "parce que" , non, en fait, c'est tout bête, résonnons par l'absurde, si on a deux pierre identique sur une diagonale ou une colonne/ligne, c'est contraire a l'hypothèse, donc il est évident que les pierres sotn différentes a chaque coin. De la on remarque que le contenu du carré (avec les pierres fixées au coin) n'a que deux possibilités.
Donc, cherchons le nombre de combinaisons des coins possibles sans les rotations. On en trouve 6.
2*6=12
Je dirais donc que l'on a pu remettre 12 prix.
On est en 2008 et il n'y a plus de prix, donc il y eu un prix en 2007, en 2006, 2004, 2003, 2002, 2001, 2000, 1999, 1998, 1997, 1996, 1995. Voila, j'ai énuméré les années pour me pas tromper bêtement a une année près.
Réponse: Le premier carré d'or a été remis en 1995.
Merci minkus
PS: je pense qu'il y avait plein de méthode pour traiter ce problème, mais j'aime bien la mienne
On pouvais remarquer que les carrés de 2*2 qui contiennent un coin, on forcément chaque pierres.
Tout d'abord on peut remarquer que deux cases situées dans un coin de la grille appartiennent à la même ligne, la même colonne ou la même diagonale. Les pierres placées aux quatre coins seront donc toutes différentes.
Deux carrés se déduisant par rotations étant considérés comme identique on pourra ramener une pierre donnée à un coin donné.
Fixons donc l'émeraude dans le coin supérieur gauche.
E 2 3 4
5 6 E 8
9 10 11 E
13 E 15 16
E 2 3 4
5 6 7 E
9 E 11 12
13 14 E 16
Sur la seconde ligne le E ne pourra être placé qu'en 7 ou en 8
Si on le place en 7 alors sur la 3e ligne on ne peut mettre un E qu'en 12 et un E en 14
Si on le place en 8 alors sur la 3e ligne on ne peut mettre un E qu'en 10 et un E en 15
(On obtient deux solutions «de base » symétriques l'une de l'autre)
Partons de la première solution
E 2 3 (a)
5 (a) E 8
(a) 10 11 E
13 E (a) 16
E (b) (c) (a)
(c) (a) E (b)
(a) (c) (b) E
(b) E (a) (c)
Plaçons maintenant un autre pierre (a) dans le coin supérieur droit et complétons la grille.
Si on met (a) en 5 il faut mettre (a) en (11) et on ne peut pas terminer
Sin on met (a) en 6 alors on complète en mettant (a) en 9 et en 14
En plaçant (b) en 13 on complète (b) en 2,8 et 11 puis on finit en plaçant les (c) dans les cases restantes
Si on part de la deuxième solution on complètera aisément la grille
E 2 3 (a)
(a) 6 7 E
9 E (a) 12
13 (a) E 16
E (c) (b) (a)
(a) (b) (c) E
(c) E (a) (b)
(b) (a) E (c)
Pour chacune des deux solutions « de base » quand (a), (b) et (c) sont fixés on obtient une solution unique.
Comme on peut choisir (a), (b) et (c) de 6 façons différentes on obtiendra en tout 12 solutions permettant de remplir le carré d'or
Comme en 2008 on ne peut créer un nouveau carré c'est que le premier carré décerné l'a été en 1996
Bonjour,
Si j'ai bien compté, il y a 12 combinaisons possibles pour disposer les pierres.
L'académie a donc remis son premier carré d'or en 1996.
Voilà les 12 dispositions que j'ai trouvées :
Pour résoudre ce probleme on utiliser la formule 4 parmi 16 on obtient donc 16!/(4!*(16-4)!= 1820
Donc 2008-1820= 188
La première année était en 188.
A bienôt
La taupine
Salut,
c'est chaud! j'avais bien cherché,je trouve que j'avais un beau résonnement, j'espèrais trop être cité, mais du genre "Pour la correction, allez voir le post de simon" mais non. J'ai trop la rage
Bonjour
Voici les 24 possibilités que je trouve en image, pouvez vous me determiner 2 carré identiques , sachant que j'ai répondu en se basant sur cette information dans l'énoncée:
master_och >> Tu as des carrés "impossibles".
En effet, prenons le premier : comment remplir la 1ère ligne ?? A côté du rouge, on ne peut mettre que du vert ... donc du brun à côté, ce qui est impossible, car il y a déjà du brun dans la 3ème colonne.
on peut bien mettre du brun à coté du rouge pourquoi pas , dans l'énoncée il est dit que seulement les grandes diagonaus ne doivent pas contenir 2 fois la même couleur ...
Bon, alors mettons du brun à côté du rouge. Donc, il faut mettre du vert à côté ... mais il y a déjà du vert dans la 3ème colonne !
bonjour
en faisant abstraction de la règle du 'carré magique', n'y a-t-il pas bien 15766932 dispositions différentes ?
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