Bonjour,
j'avais promis d'arrêter la série des problèmes sur mon abat-jour, mais rassurez-vous, il s'agit ici d'un nouveau type de problème !
Finalement, cette histoire de passer à des ampoules "basse consommation" n'est pas une bonne idée : mes abat-jour ont été envahi par des araignées attirées par la douce chaleur et par le fait que la lumière attire les insectes.
Commençons par mon abat-jour en forme de pyramide à base carrée, de hauteur 40cm et de largeur de base 30cm. L'araignée est située a un des coins du carré de base, et un moustique vient de se faire prendre dans la toile dans le coin opposé (les deux positions sont indiquées par une croix rouge).
L'araignée se lance alors en direction du moustique pour n'en faire qu'une bouchée, mais bien entendu elle doit le faire le plus rapidement possible en se déplaçant sur les faces de l'abat-jour.
Question : quelle est la longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).
Important : je rappelle que l'abat-jour n'est constitué que des quatre triangles, il n'est pas possible de se déplacer sur la base carrée.
Bonne recherche !
Bonjour Jamo
Si on appelle A et M les positions respectives de l'araignée et du moustique, notons aussi S le sommet de la pyramide et B un des autres coins du carré de base.
Le trajet de l'araignée doit couper l'arête BS en un point H et le trajet aura pour longueur AH+HS, ou encore 2AH par symétrie du problème.
En se plaçant dans le triangle ASB, il est clair que AH sera minimale si H est le pied de la hauteur issue de A.
Des coupes astucieuses de la pyramide, quelques applications du théorème de pythagore et des relations trigonométriques dans des triangles rectangles nous donnent pour longueur de hauteur issue de A dans ce triangle :
Il reste à multiplier ce résultat par 2 pour avoir le parcours minimal de l'araignée, en centimètres et arrondi à deux décimales :
Alain
Salut Jamo, et merci pour cette nouvelle énigme lumineuse !
Pour moi la distance minimale entre l'araignée et le moustique, en parcourant la surface de l'abat jour est:
d = 56,61 centimètres en arrondissant à 10^-2 centimètres près.
En espérant que cela soit la bonne réponse !
bonsoir
je trouve 56,61 cm : c'est la hauteur du triangle isocèle issue du coin du carré de la base, ensuite multipliée par 2
Bonjour jamo, bonjour à tous
Je dirai : 56,61cm en espérant ne pas m'être trompé dans mes calculs
Merci pour l'énigme. A+
Bonjour,
Si A est le point de départ de l'araignée et B le point de position du moustique; le problème consiste à trouver un point G de l'arête de la pyramide qui n'est pas occupée. La distance à parcourir sera AG+BG et devra être minimale.
Dans un système d'axes rectangulaires à trois dimensions, l'arête de la pyramide est définie par l'intersection des deux plans des faces adjacentes.
Les équations de ces deux plans sont celles des droites représentant leur trace dans les plans (x,z) et (y,z).
Soit 8x+3z-240=0 et 8y+3z-240=0 ces équations.
Pour un point G de cote z choisie, il vient y(G)= 30-3/8z et x(G)=30-3/8z
Si on fait varier dans un tableur Excel la cote z, on définit x(G) et y(G)
ainsi que BG= racine carrée de la somme des carrés des différences des cotes x,y,z des points B et G
de même pour GA. On somme BG ET GA
Il vient un minimum qui vaut 56,61cm de trajet
Bien à vous
bonjour jamo
soit g la longueur d'une arête de la pyramide issue du sommet S
siest l'angle au sommet principal d'un triangleisocèle face latérale on a
si l'on met à plat la surface latérale de la pyramide en coupant par exemple suivant l'arête SA joignant le sommet S à l'araignée A on obtient 4 triangles isocèles égaux
S SA=SB=Sm=g (m étant le moustique)
A............I............m
B
le plus court chemin de A à m est porté par la la droite Am perpendiculaire en I à SB
le trajet le plus court sur la surface de l'abat jour mesure 56,61cm
merci pour cet enigmo
je crois que je me suis trompée j'ai changé de notation en cours de route,je n'aime vraiment pas les calculs,je n'ai pas le courage de vérifier tant pis
Je calcule des hauteurs dans le triangle que constitue une face.
Je trouve que le chemin parcouru est de cm, soit environ 56.61 cm.
BA.
bonjour Jamo
l'araignée parcourt 56,61 cm
un trajet équivalent à celui de l'araignée joint les extrémités de deux faces consécutives étalées
carré de la hauteur latérale : (40²+15)² = 1825
carré d'une arête : 1825+15² = 2050
soit h la hauteur d'un triangle demi-face
h²*2050 = 1825*225 = carré du double de l'aire du triangle
h = racine carrée de (1825*225/2050) = 14.15291
les hauteurs réunies des demi-triangles du milieu de la figure égalent la moitié du trajet
14.15291*4 = 56.61164
Soit A le point où se trouve le moustique, soit C le point où se trouve l'araignée,soit E, le sommet de la pyramide.Considérons AEB et AEC.
Le chemin le plus court entre l'araignée et le moustique passe par les médiatrices, passant par (EB) issue de C et de A.
On calcule dans un premier temps, la longueur de la demi-diagonale du carré de base(AH).
AH 2 = 15 2 + 15 2
On trouve AH=152
Calculons l'angle B
tan B= 40/(152); on trouve l'angle B=62°,an en déduit l'angle A=62°.
Dans un second temps, considérons H', l'intersection des 2 médiatrices.
Dans le triangle rectangle AH'B:
Angle B=62° ; Angle H'=90°Angle A=28°
cos A=(AH')/(AB) (AH')/30(AH')=30*cos28°=26,48cm
On obtient le chemin le plus court qui correspond à l'addition des 2 médiatrices:
26,48*2= 52,96cm
Le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite !
Et le chemin le plus court entre un point et une droite est la perpendiculaire à la droite passant par le point.
En gros, on doit calculer la hauteur d'un triangle isocèle de base 30 et de côté b
b est calculable ainsi :
Du croquis on obtient comme relations:
Réarangées pour isoler h:
Soit après simplification :
Ce qui signifie que les deux membres de droite sont égaux :
Ce qui se réduit à :
Ou, sachant que b est une constante :
On remplace x par sa valeur dans :
Un peu d'élagage est nécessaire :
D'où :
La solution approximative est : 56,56
La solution calculée est : 56.6116423
La solution est bien comprise entre 60 et 90.5538514
Bonsoir,
j'adore la géométrie dans l'espace ! Merci jamo.
En travaillant sur le patron, le plus court chemin étant la ligne droite,
je trouve, avec un peu de trigonométrie, une distance minimale de 60sin(Arccos) soit environ 56,61 cm.
Merci et mort au moustique!
Bonjour,
En développant l'abat-jour en 2D, le chemin le plus court est la ligne droite.
C'est-à-dire la droite DF.
On a un angle droit en E ainsi qu'en A
La hauteur h d'une face vaut
BC vaut donc
On a
Et
La longueur recherchée DF = 2DE = 56,61 cm
Merci pour l'énigme.
La longueur du plus court trajet est 56.61 cm.
Soit A la position de départ de l'araignée, C celle du moustique,B le trosième sommet de la base, S le sommet de la pyramide, I le projeté de S sur la base, AH la perpendiculaire à SB.
AI=152
(SA)^2=(SB)^2=1600+4050=2050
(AB)^2=(SA)^2+(SB)^2-2SA*SB*cos(ASB)
900 = 4100(1-cos(ASB))
cos(ASB)=32/41
AH=SA*sin(ASB)=2050*1-(32/41)^2=28.3058
SH=SC et SH+SC=28.3058*2=56.61 cm
plus court trajet est SHC=56.61 cm
Salut Jamo,
Je pense que la longueur du trajet le plus court entre les deux points est de 56,61 cm.
Merci pour cette énigme.
bonjour Jamo, bonjour à tous,
soit ABC le triangle par lequel l'araignée va passer,
et M un pt de [AC] on cherche la distance minimale BM et ensuite on obtient x=BM*2 (la longeur du trajet le plus court)
AB=AC=45.36cm
ACB=ABC=68.5°
CAB=43°
BM=
pour BM minimale CM=21.36
donc BM=36.245
d'ou X=72.4919cm
@bientôt
Bonjour.
je crois avoir trouvé la réponse à se problème d'abat-jour.
En le "dépliant", il suffit de considerer la longueur du segment qui va de M à A.
comme résultat, je propose donc: (24*20)/racine(73) comme valeur exacte, soit environ 56,18 cm (en arrondissant au centième comme demandé...)
Bonjour !
Voici ma réponse :
La longueur du trajet le plus court entre ces deux points ? Vous me donnerez la réponse avec une précision au centième de centimètre (donc en centimètres avec 2 chiffres après la virgule si vous préférez).
Excusez-moi pour ce qui précède !
La longueur du trajet le plus court entre ces deux points est : 56,61 cm
Merci !
Clôture de l'énigme
La bonne réponse était : 56,61 cm.
Pour trouver la bonne réponse de ce genre d'exercice très classique, il suffit :
- de dessiner le patron du solide ;
- une fois le solide "à plat", de tirer un trait entre les deux points ;
- de calculer la longueur en utilisant des méthodes assez simples (Pythagore, trigo, etc ...) ;
- et surtout d'éviter les erreurs de calculs et d'unités !
programaths >> ok, j'ai corrigé, je n'avais pas vu ta réponse.
Comme je l'ai déjà dit plusieurs fois, il serait préférable de commencer votre texte en donnant la réponse de manière claire.
Ensuite, si vous voulez détailler, faites-le.
Mais ne donnez pas la réponse noyée au milieu d'une démonstration, ça me fait gagner du temps.
Bonsoir Jamo,
d'ailleurs, à ce sujet, peut-on poster déjà la réponse sans autre explication, et ensuite poster un deuxième message donnant la démonstration (qui est bien plus longue à taper que la simple réponse)...
car c'est quand même plus satisfaisant de donner une méthode (cela permet de les comparer et de voir les plus astucieuses)...
cordialement,
alain
Bien sûr.
Je ne vérifie que la réponse, et je ne note que le 1er message.
Il est donc tout à fait possible de donner la réponse le plus vite possible, puis de prendre son temps à rédiger la démonstration et la poster plus tard, même plusieurs jours après.
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