Bonjour,
Dans un parc carré de 100 mètres de côté, une brebis est reliée à l'aide d'une corde au milieu d'un côté.
Question : Quelle est la longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré ?
Je veux la réponse en mètres avec une précision au millimètre.
Bonne recherche !
Bonjour dominical,
Nofutur2 a triché! Il a répondu avant 13 h!
Bon heureusement que la valeur exacte n'est pas exigée...
Un peu de trigo et un peu de Pythagore pour décomposer l'aire du disque (j'ai pas voulu intégrer!),
puis l'approximation de la solution de l'horrible équation (avec Acos) obtenue et hop, on obtient une corde de 58,282 m (58,28221624...).
Merci pour l'Enigmo.
PS: J'attends impatiemment l'Enigmo 4 étoiles avec un bouc !
ma réponse est : 52.054454m environ ^^ , soit au mm près 52.0544
mon calcul est :
5000= (x²)/2 - 2 ((arccos(50/x) X (x²)) / (180X2)) + 100x tan ( arccos ( 50/x))
ainsi pour x= 52.054454 on obtient 4999.999291
négligeons la tète de la brebis ^^, sinon elle brouterait bien 30cm plus loin XD
Je pense que la solution est la suivante.
On divise le carré initial en 2.
On obtient 2 carré de même aire donc de même mesure (50m)
On trace dans un des carré sa diagonale. On la calcule grâce au théorème de Pythagore. Une fois l'hypoténuse trouvée on calcule l'aire du triangle.
On la multiplie par 4 et on obtient bien l'aire du triangle initiale mais /2.
La réponse est50.24 m pour la longueur de la corde.
Je pense avoir bon =) mais on est jamais trop sûr.
Bonjour.
La longueur de la corde doit être 58,282 m.
Soit h la longueur en mètres que peut parcourir la brebis sur chaque côté latéral.
La surface que peut brouter la chèvre mesure : 50h + (2500+h³)*arctan(50/h).
On trouve h à l'aide du solveur.
La longueur de la corde est (h²+2500).
Bonjour
===== Réponse proposée =====
58282 mm
===== Méthode suivie=====
On peut poser AB=BC=a et chercher R
Surface broutée vert clair = moitié du pré de côté a
Surface broutée = demi-cercle de centre I et rayon R - 2 surfaces (BFG)
Surface_BFG = secteur IFG - triangle IBG = R²(t/2) - IB.BG/2 = R²t/2 - (a/2)(racine(R²-a²/4))/2
t = arccos(a/2R)
Surface_BFG = secteur IFG - triangle IBG = R².arccos(a/2R)/2 - a.racine(R²-a²/4)/4
Surface broutée = pi.R²/2 - R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4)/2
pi.R²/2 - R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4)/2 = a²/2
pi.R² - 2R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4) = a²
en posant x = a/2R, on arrive à l'équation :
(pi - 2arccos(x)) + 2x.racine(1-x²) -4x² = 0
dont la solution, à l'aide d'un grapheur, est x = 0,857895
ce qui fournit R = a/2x = 58,282 m
Sauf erreur de calcul ou de raisonnement
Rudy
Bonjour Jamo,
Je propose 58,282 m.
Si on appelle x la longueur de la corde, la surface est égale à x2Arcsin(50/x) + 50(x2-2500)
Merci encore une fois.
salut
on obtient une équation transcendante mais mon esclave me propose
58.282
sauf erreur je n'ai pas tord
Bonjour jamo ,
La longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré = 56,419 m.
Bonjour , je tiens a m'excusez si c''est une gourde , chui qu'en 3e ^^
serais-ce (100²)/2 = 5000 5000/= 1591.549 ??
j'ai pas l'imprésion mais bon , qui ne tente rien , n'a rien ^^
Bonjour à tous,
Ma réponse est de 58,282 m
Pour la mise en équation, j'obtiens que l'aire A broutée, en fonction de L la longueur de corde, avec L50:
J'avoue que j'ai utilisé Matlab ensuite pour trouver rapidement la valeur approchée de L qui fonctionne
Merci pour l'énigme !
(décidément, les chèvres sont sujets à beaucoup de calculs... Tu en cherches une pour tondre ton jardin Jamo ? )
Ptitjean
si le terrain(ABCD) fait 10 000 m²
et que l'on veuille que le mouton puisse en brouter la moitié : 5000 m² ( la droite (MN) passe par le milieu de (AC) et le milieu de (BD) )
donc (MN)=100m
(MC)=(1/2)AC en m
(MD)=(1/2)BD en m
(CD)=100m
le point K est le milieu de (CD) et est le point d'intersection des droites (MK) et (NK) .
D'aprés le théoreme de Pythagore :
MK²=MC²+CK²
MK²=50²+50²
MK²=5000
MK= 70,711" alt="\sqrt{5000} 70,711" class="tex" />
donc la longe doit être comprise entre 70.711 m et plus pour que la brebis puisse brouter la moitié du terrain .
Bonsoir jamo,
Étourdi hier , je me suis trompé de résultat, je devais écrire 58,282m.
La longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré = 58,282 m.
Un grand merci pour toutes les énigmes.
bonjour Jamo,
la longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré est de:
merci pour l'énigme et @ +
juste pour le fun la valeur exacte est m
Bonjour,
Soit L la longueur de la corde. La brebis broutera alors un demi-cercle de rayon L soit une aire de L²
Comme on veut que =
Bonjour Jamo,
pas de solution
Bonjour,
La corde doit mesurer 58,282 m.
Démonstration :
aire du parc carré = 100*100=10 000 m²
1. si la corde mesure 50m alors la brebis peut brouter un demi-disque de rayon 50m, soit 39,3% du parc.
La corde mesure donc plus de 50m et la surface que la brebis peut brouter est alors un demi-disque tronqué par les bords du parc.
2. soit r la longueur de la corde (=donc le rayon du disque), on peut diviser la zone broutée en un portion de disque et 2 triangles rectangles :
Aire(zone broutée)=
La résolution de Aire(zone broutée)=5000m² nous donne le résultat arrondi au millième inférieur : 58,282 m
Bonsoir,
je propose une longueur de corde de 58,282 mètres.
Merci pour l'énigme
(PS : j'ai utilisé un solveur, je suis curieux de savoir comment ce problème pouvait être résolu analytiquement)
Bonjour,
Après des calculs farfelus, longs et périlleux, la réponse...
Il suffit que la brebis puisse atteindre le sommet situé sur le côté parallèle au côté où elle est attachée. La longueur de la corde sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les autres côtés mesurent 50 m et 100 m.
Cette corde mesurera (100²+50²)= 111,803 m.
Ouf !
L = 58.282 m
Surface = (pi*L2*alpha)/360 + (racine(L2-2500)*50)
avec alpha : angle d'ouverture du 'camembert' en degrès
et
L = 50 / sin (alpha/2)
On part de alpha pour trouver L, que l'on teste progressivement pour s'approcher de S = 5000.
Fabrice
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