r = 58m 282mm

Preuve :

Pour la notation, se referer à la figure.

N.B. : Dans un premier temps on pose d comme une inconnue, afin d'étudier un cas général. Cependant, on poseras tout de même d0 et ]0;/2].

L'inconnue que nous cherchons à determiner est r.


On traduit la condition "la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré" par l'équation E.

E r² + da = 2d²
     r² est la portion en rose.
     da est la portion en gris
     2d² est une moitié du carré d'aire (2d)²=4d²

Avec les formule de trigo, on a les égalités suivantes :

a = d / tan()
r = d / sin()

E ( d² / sin²() ) + ( d² / tan() ) - 2d² = 0
E ( 1 / sin²() ) + ( cos() / sin() ) - 2 = 0
E + cos()sin() - 2sin²() = 0

En posant : F() = + cos()sin() - 2sin²(), rechercher les solutions de E revient à determiner une racine de F. On peut penser que cette racine est unique dans l'intervalle ]0;/2].

   F est continue sur ]0;/2]
   F(1.03) 0    et    1.03 ]0;/2]
   F(1.04) 0    et    1.04 ]0;/2]

   Donc F() = 0 a une solution.
   F admet une racine. Cette racine est notée A.

On va pouvoir utiliser la méthode itérative de Newton qui donne une aproximation de A.
En prenant une valeur de départ ₀, proche de A, on peut determiner :
₁ = ₀ - ( F(₀) / F'(₀) )

puis :
₂ = ₁ - ( F(₁) / F'(₁) )

Ainsi de suite...

On obtient :

   lim    ( _n ) = A
ⁿ⁺


Pour avoir une assez grande précision rapidement on prendra ₀ = 1.035 (voire la preuve de l'existance de A).
Grace à un simple programme de calculette de lycéen, on peut determiner A 1.0311580966851 dès ₃ , après quoi la précision à 10^-13 de la dite calculette ne permet pas de faire une différence.

On vas donc pouvoir determiner r avec une formule de trigonométrie :

r = d / sin()     pour d = 50   et   = A


r = 58m 282mm