Je possède un terrain plan en forme de triangle isocèle.
Soient A, B et C les sommets de ce triangle.
Le triangle est isocèle en A (A est le sommet principal).
J'ai planté un piquet P sur le coté [BC] de mon terrain.
La partie de terrain triangulaire de sommets B, A, et P est un triangle isocèle.
La partie de terrain triangulaire de sommets C, A, et P est aussi un triangle isocèle.
Pouvez-vous me donner les mesures des angles de mon terrain ABC ?
Si plusieurs possibilités existent, indiquez-les toutes.
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Bonne chance à tous.
Bonjour,
J'appelle a le côté AB=AC=a
Si P partage BC en b et c, les côtés égaux seront AP=BP=b et AP=PC=c => BP=PC => b=c
le point P doit être au milieu de BC
il faut donc que b=c=hauteur AP => les 2 triangles formés sont droits
donc  = 90° et ^B et ^C = 45°
J'oublie peut-être des cas (triangles plats ?) auquel cas !
Car si on admet qu'un triangle aplati est un triangle, il suffit de positionner P en B ou C avec ABC équilatéral et on répond au problème avec Â=^B=^C=60°.
Je ne conserve pas (peut-être à tort) cette solution et propose la précédente.
ça sent le !
Merci pour l'énigme,
Philoux
Le point P ne peut être situé en B (resp. C), puisque dans ce cas, les triangles ABP (resp.ACP) n'aurait pas d'existence car réduits à un segment.
Le point P est donc sur le segment BC, (extrémités exclues).
On a donc AP<AB, et AP<AC, les triangles APB (resp. APC) ne peuvent être isocèles en A ou B (resp.A ou C).
S'ils étaient isocèles en B et C, on aurait AB=AC=BP=CP, donc AB+AC = BC et le triangle ABC serait plat.
Ils sont donc isocèles en P.
PA=PB=PC, soit AP médiane issue de A de ABC.
A, B et C sont donc sur le cercle circonscrit de diamètre BC.
On a donc : angle (A) = 90°.
Comme ABC est isocèle : angle (B) = angle (C) = 45°.
NB : Si toutefois on admettait que P puisse être en B ou en C (on admettrait qu'un triangle soit plat, donc superficie nulle) , on aurait simplement les conditions liées à ABC isocèle, soit :
angle (B) = angle C et angle (A)+ angle (B) + angle C = 180°.
1ère sol : L'angle A = 90°, l'angle B = l'angle C = 45°
2e sol : l'angle A = 108°, l'angle B = l'angle C = 36°
remarque : si on admet que P peut être extérieur au segment [BC], il y a une 3e sol : Â = 36°, B = C = 72°
Si je ne me trompe pas (ce qui m'arrive souvent ces derniers temps) il y a deux solutions:
- le triangle isocèle rectangle (A=/2, B=C=/4 ou encore A=90° B=C=45°) P est alors le milieu de BC
- un triangle d'angle au sommet A=3/5 , B=C=/5 ou encore A=108° B=C=36° avec P à l'intersection de BC et de la médiatrice de AB (ou AC)
le triangle abc est isocele ssi l'angle b est egale a l'angle c.or si on plante p de tel sorte que apb bpc soient isocele il faut que l'angle abc st egale a 2fois l'angle abp or si abp est isocele en p cela implique que bap egale abp d'ou abc egale a 2fois pab hors 2abc egale 360-(bac).apres le reste sera du guateaux
On suppose déja le triangle ABC non aplati (sinon l'aire du terrain serait nulle)
Dans ce cas (si on exclu les cas où P=C ou P=B) deux possibilités
1er cas : P milieu de [BC] et (angle en A)=90° et (angle en B)=(angle en C)=45°
2ème cas: (angle en A)=108° et (angle en B)=(angle en C)=36°
La mesure des angles est :
A = 90°
B = 45°
C = 45°
Et P sera bien entendu au milieu de [BC]
Il y a cependant 2 cas supplémentaires et spéciaux. Ce sont les cas où le piquet P est confondu avec B ou C. Mais peut-on rééllement parler de triangles si deux des sommets sont confondus ?
La réponse est, je pense, â=90°, b=c=45°
les triangles ABP et APC sont isoceles en P (ceci se montre par un calcul d'angles rapide). P est sur la médiatrice de [AB] et sur celle de [AC], donc P est le milieu de [BC] (pour des raisons de symétrie, P doit être sur l'axe de symétrie de la figure). Par conséquent, l'angle APB=90°, et le résultat suit !
Je pense qu'il n'y a qu'une solution : un triangle rectangle isocèle.
Donc ma réponse sera : 45°, 45° et 90 °.
Je vois plusieurs possibilitées :
sois P est confondu à B ou à C auquel cas BÂC=ACB=ABC = 60°
sois P est le milieu de [BC] et ABC est plat auquel cas BÂC=180° et ABC=ACB=0°
Bonsoir,
Je ne trouve que deux solutions :
- Les triangles BAP et CAP sont isocèles de sommet principal P et, dans ce cas, les angles à la base mesurent 45°.
D'où et (le terrain est rectangle isocèle)
- P=B ou P=C i.e. l'un des triangles BAP et CAP est plat. Dans ce cas, le triangle ABC est équilatéral donc .
Merci pour l'énigme.
supposons que AB=AP on a 2B+180-2B-a=180 (B et a sont les mes d'angles avec a=mes PAC(angle)) -a=0 P=C ce qui est impossible ds ntre cas
supposons que BP=PA on a 3B+a=180
si a=B on a B=45=a
si a=mes APC=2B on a B=36; a=72
si c=p ABC ne peut exister
on fait de même pour BA=BP on trouve les memes résultats
solution
il existe deux solutions:
1-mesBAC(angle)=90 degré; mesABC(angle)=mesACB=45degrés
2-mesBAC(angle)=108 degré;mesABC(angle)=mesACB=36 degrés
NB il s'agit de l'angle ACB
L'air de rien, elle fait du mal celle-ci
Philoux
Bien joué J-P !!
Je m'étonnais aussi des deux étoiles pour l'énigme et de la petite phrase sur les solutions multiples....
Ce qui confirme bien l'adage, moultes fois répété,"Méfie toi de la facilité !".
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