Bonjour à tous,
Prenons le rectangle de 1 mètre sur 3 ci-dessous dont le motif intérieur est symétrique suivant les 2 axes de symétrie du rectangle (la figure n'est pas forcément à l'échelle).
La longueur des segments bleus est notée a et la longueur des segments rouges est notée b. Ces 2 longueurs sont des nombres entiers de millimètres.
Les segments ne sont pas plus longs que le bord où ils se trouvent.
Il faut par ailleurs que la surface du losange central ainsi formé soit égale au sixième de la surface du rectangle.
Question : Quelles sont les valeurs de a et b ?
Bonjour
Plusieurs solutions : (sous la forme a b en mm)
1600 625
2000 500
1000 1000 (1000mm "n'est pas plus long" que 1000mm)
2500 400
1250 800
Bonjour godefroy,
Les valeurs de a et b sont données par
a = 2000 mm
b = 250 mmm
Merci pour cette énigme géométrique !
Bonjour
je propose a=2000 et b=250
(et je pense que c'est la seule réponse possible)
merci pour cette belle joute !
Bonjour,
Il y a des couples de solution a et b
qui donnent des valeurs très approchées.
Je donne a=2000 et b=250 qui donnent exactement le 1/6 de la surface du rectangle
Bonjour Godefroy,
a=625 (mm) et b=160 (mm)
-------------------------------------
(625,160), (600,0), (1000,1000).
Merci pour la joute
Et comme j'aime bien les démos, la voici !
Toutes les unités de la démo seront en mètres.
Caclul de l'aire du losange central en fonction de a et de b
Cacul de h et h2 en fonction de a et b
Calcul de l'aire de Al
Un petit tour de moulinette et Mapple nous donne l'expression (assez élégante) du losange en fonction de a et b :
Caclul de a et de b
Il s'agit donc de résoudre avec a et b des nombres entiers naturels non nuls de millimètres et strictement inférieurs à respectivement 3 et 1.
Puisque a et b sont des nombres entiers de millimètres, un programme peut répondre.
Il faudra regrouper deux boucles itératives : une pour a allant de 1mm à 2,999m et l'autre pour b allant de 1mm à 0,999m, le pas de ces boucles étant donc de 1mm.
Ainsi on peut tester les 3 millions de possibilités jusqu'à tomber (en utilisant l'expression de Al calculée) sur Al=0,5 pile.
Mais les nombres décimaux n'étant vraiment pas le fort de Python, il m'a sorti comme valeurs :
a = 1.9999999999998905
b = 0.25000000000000017
On en déduit évidemment qu'en fait :
Et en vérifiant grâce à la formule :
C'est confirmé, conclusion .
À bientôt !
Bonjour,
je propose a=2000 mm et b = 250 mm.
Zéro finesse chez moi comme d'habitude (repère, coordonnées, équation de droites, points, aire du losange, résolution d'une équation à deux inconnues à solutions entières donc recherche quand le discriminant d'un trinôme est un carré parfait avec boucle for...). Ca aurait pu être pire, j'étais parti pour faire du calcul intégral .
Donc merci Maple et merci à ceux qui ne gâcheront pas l'énigme comme moi !
Merci pour l'énigme !
Je remarque maintenant qu'en utilisant le théorème de Thalès, j'aurais pu trouver h et h2 beaucoup plus rapidement et facilement !
Bonjour Godefroy.
a = 2000; b = 250
hauteur d'un triangle à base bleue : 0,5a*(1+b)/(3+a)
diagonale verticale du losange : (3-ab)/(3+a)
hauteur d'un triangle à base rouge : 0,5b*(3+a)/(1+b)
diagonale horizontale du losange : (3-ab)/(3+a)
formule dans un tableau de 3000 lignes et de 1000 colonnes à partir de A1 :
=(LIGNE()*COLONNE()*0,000001-3)^2/((3+LIGNE()/1000)*(1+COLONNE()/1000))
Le résultat 1 se trouve en IP2000; IP est la 250ième colonne.
Selon moi :
* a = 3-3
* b = 1 - 1/(3)
Soit, en arrondissant au millimètre :
* a = 1268 mm
* b = 423 mm
Petite interrogation quant à l'énoncé. Il est écrit que :
Bonjour,
Après pas mal de calculs je trouve que la surface du losange est :
(H*L-a*b)2/(2*(H+b)*(L+a))
où:
H la hauteur du rectangle
L la largeur du rectangle
a et b les paramètres définis dans l'énoncé.
Je trouve une unique réponse où :
a=2000mm et b=625mm
Étonnamment, les seules valeurs de a et b sont ceux de la paire (2000,250).
En résolvant, on obtient l'équation dont la seule solution entière dans l'intervalle est (2000,250).
Bonjour,
Ci dessous ma réponse pour l'énigme "Losangeless" :
J' exprime la surface du losange en fonction de a et b, en utilisant le théorème de Thalès (Je ne développe pas les détails) : on obtient :
S=(3-ab)^2/((3+a)(2+2b))
(Avec S en m2, a et b en m)
On recherche les valeurs de a et b entières en mm qui solutionnent S=0,5m2 (le sixième de la surface du rectangle 1x3)
Pour ce faire j'utilise un programme qui passe en revue toutes les combinaisons de a (0 à 3000) et b (0 à 1000).
J'obtiens rapidement a=25cm et b=2m.
Il n'y a que cette solution, avec a et b entiers en mm.
Cordialement
Re-bonjour,
Je viens de m'apercevoir que j'ai lamentablement inversé a et b dans ma réponse ;
Néanmoins, comme il est précisé dans l'énoncé, "la figure n'est pas forcément à l'échelle", a et b sont interchangeable, ce qui me sauve la vie...
Cordialement...
Bonjour
ma réponse pour cette belle énigmes :
a=2000mm et b=250mm
qui est la seule réponse entière
merci
Bonsoir,
Les valeurs en mm des segments respectivement bleus et rouges sont :
a=2000 et b=250
Merci pour cette énigme.
Pour cette 1ère participation, c'est un échec
Je trouve bien une formule qui détermine l'aire du losange en fonction de a et b
Mais pas de couple (a,b) qui répondent à la contrainte d'être des entiers en mm tels que l'aire soit égale à 0,5 (1/6 de 3, l'aire du rectangle)
je poste néanmoins ma formule :
si L est le grand côté et l le petit côté
en posant a' = a + L et b' = b+L
L'aire du losange est donnée par S = (4a'2b'2 - 4a'2b' - 12a'b'2 + a'2 + 9b'2 + 6a'b') / 2a'b'
Cette formule tombe juste pour les cas limites :
a=0 et b=0 => S = 1,5
a=3 et b=0 => S = 0,75
a=0 et b=1 => S=0,75
a=3 et b=1 => S=0
mais je ne trouve pas solutions avec a et b entiers en mm [url][/url]
Après avoir utilisé les théorèmes de Thalès et Pythagore, on a trouvé les longueurs des segments :
Segment bleu : 2000 mm
Segment rouge : 250 mm
Dans ce cas, on aura des diagonales de longueur respective 2m et 0.5m, et le losange aura pour aire 0.5m2 qui est le sixième de l'aire du rectangle.
Je réponds tard après le post ^^'
Mais b = 10 mm et a = 4 mm permettent d'obtenir le résultat cherché
Arg mal lu l'énoncé, c'était des mètres, j'ai résolu avec des centimètres...
J'espère que sa marche quand même :
b = 1 000 mm et a = 400 mm
Clôture de l'énigme :
Pas mal de réponses un peu disparates. Merci Thalès !
J'en profite pour souhaiter de bonnes vacances à certains et une bonne rentrée à d'autres.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :