Fiche de mathématiques
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Concours externe de recrutement de professeurs certifiés
et Concours d'accès à la liste d'aptitude
et troisième concours

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Durée : 5 heures
Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable, alphanumérique ou à écran graphique - à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.

Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale très lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement.

Notations

Si K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}, pour un polynôme P(X) \in K[X], on notera P la fonction polynôme associée à P(X).
Si deux suites numériques (u_n)_n \text{ et } (v_n)_n sont équivalentes, on notera u_n \sim_n v_n. De même, si f et g sont deux applications réelles définies au voisinage d'un point x_0 et équivalentes en x_0, on notera f(x) \sim_{x_0} g(x). Quand le voisinage sera un voisinage à droite en x_0, on précisera f(x) \sim_{x_0^+} g(x).
On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux séries (réelles ou complexes) \displaystyle \sum u_n et \displaystyle \sum v_n, est la série \displaystyle \sum w_n où le terme général w_n est défini pour n \geq 0 par w_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_n v_{n-k}. On rappelle aussi que si les séries \displaystyle \sum u_n et \displaystyle \sum v_n sont absolument convergentes, alors la série produit \displaystyle \sum w_n est aussi absolument convergente et l'on a
\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \right) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} w_n


Objectifs du problème

Ce sujet aborde une série de résultats et de propriétés relatifs à la formule de Stirling1 ainsi qu'aux polynômes et nombres dits de Bernoulli2. Il se compose en quatre parties.
Dans la partie I, on établit la formule de Stirling qui donne un équivalent simple de la suite (n!)_n. Ce travail utilise les intégrales de Wallis3, qui sont étudiées au début de la partie. La fin de la partie I est une application des intégrales de Wallis et de la formule de Stirling à l'étude du volume des boules dans \mathbb{R}^n.
La partie II s'intéresse aux polynômes et nombres de Bernoulli. On y étudie certaines de leurs propriétés et l'on donne deux applications de cette étude. La première, arithmétique, s'intéresse au calcul des sommes du type \displaystyle \sum_{k=0}^N k^p. La deuxième est consacrée au développement en série entière de la fonction \dfrac{te^{xt}}{e^t - 1}.
Dans la partie III, on introduit la fonction \zeta de Riemann4 et l'on explique ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule de Stirling, d'expliciter un équivalent simple pour la suite des nombres de Bernoulli.
Dans la partie IV, on revient à la formule de Stirling et l'on décrit une méthode pour obtenir un raffinement asymptotique de la formule.
Les parties de ce sujet ne sont pas indépendantes, chacune d'elles pouvant utiliser des résultats établis dans celles de la précédente. Aussi pourra-t-on utiliser pour traiter certaines questions, les résultats établis dans les questions précédentes sans les démontrer. Il est toutefois vivement conseillé aux candidats d'aborder linéairement ce sujet.

1 James, mathématicien anglais, Garden 1692 - Edimbourg 1770.
2 Jakob (francisé en Jacques), mathématicien suisse, premier d'une longue lignée de mathématiciens. Bâle 1654 - Bâle 1705.
3 John, mathématicien anglais, Ashford 1616 - Oxford 1703.
4 Georg Friedrich Bernhard, mathématicien allemand, Breselenz 1826 - Selasca 1866.


I. Intégrales de Wallis et formule de Stirling

I. 1. Intégrales de Wallis

Pour tout entier n\geq 0, on pose W_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n (x) dx

I. 1. a. Montrer que, pour tout n \geq 0, on a :   W_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n (x) dx
(Indication. On pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.)

I. 1. b. Montrer que la suite (W_n)_n est strictement décroissante.
(Indication. Pour la décroissance, on pourra comparer les fonction x \mapsto \cos^n(x) et x \mapsto \cos^{n+1}(x). Pour la stricte décroissance, on pourra raisonner par l'absurde.)

I. 1. c. A l'aide d'une intégration par parties montrer que, pour n \geq 0, on a W_{n+2} = \left( \dfrac{n+1}{n+2} \right) W_n

I. 1. d. En déduire que, pour tout entier p \geq 0, on a :
\left \lbrace \begin{array}{l} W_{2p} = \dfrac{(2p)!}{2^{2p} (p!)^2} \dfrac{\pi}{2} \\ W_{2p+1} = \dfrac{2^{2p} (p!)^2}{(2p+1)!} \\ \end{array} \right.

I. 1. e. Montrer que, pour tout n \geq 0, on a :   W_n W_{n+1} = \dfrac{\pi}{2(n+1)}.
(Indication. On pourra utiliser la question précédente en distinguant suivant la parité de l'entier n.)

I. 1. f. Prouver que, pour tout n \geq 0, on a :   1 - \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{W_{n+1}}{W_n} < 1 et en déduire que W_n \sim_n W_{n+1}.
(Indication. On pourra utiliser la question I. 1. b.)

I. 1. g. Montrer finalement que W_n \sim_n \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}. En déduire \displaystyle \lim_n W_n.

I. 2. Formule de Stirling

On considère la suite (u_n)_n définie, pour n \geq 1 par :   u_n = \dfrac{n! e^n}{n^n \sqrt{n}}   et la suite auxiliaire (v_n)_n définie, pour n \geq 2, par :   v_n = \ln u_n - \ln u_{n-1}.

I. 2. a. Exprimer simplement v_n en fonction de n et donner un développement limité à l'ordre 2 en 1/n de la suite (v_n)_n.

I. 2. b. En déduire que la série \displaystyle \sum v_n est convergente. Montrer alors que les suites (\ln u_n)_n et (u_n)_n convergent et donc qu'il existe un réel K > 0 tel que :   n! \sim_n K\left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}

I. 2. c. En utilisant cet équivalent, calculer un équivalent simple de la suite (W_{2p})_p. En déduire que K = \sqrt{2\pi} et, par suite, que :   n! \sim_n \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n} (Formule de Stirling).

I. 3. Une autre application des intégrales de Wallis

[Rappel sur les intégrales multiples et généralisation. (Ce rappel n'est utile que pour les sous-questions I.3.a. et I.3.c. de cette question I.3.)
Les notions d'intégrales doubles et triples ainsi que la méthode de calcul par intégrations successives de ces dernières (présentes au programme), se généralisent à toute dimension finie de la manière suivante : étant donné un entier n \geq 1, une partie A_n \subset \mathbb{R}^n sera dite continûment paramétrable si n = 1 et A_1 est un segment ou si n \geq 2 et s'il existe une partie A_{n-1} \subset \mathbb{R}^{n-1} continûment paramétrable et deux fonctions continues f, ~g ~:~ A_{n-1} \longrightarrow \mathbb{R} telles que
A_n = \lbrace (x_1, \ldots , x_n) \in \mathbb{R}^n / (x_, , \ldots , x_{n-1}) \in A_{n-1} \text{ et } f(x_1, \ldots , x_{n-1}) \leq x_n \leq g(x_1, \ldots , x_{n-1}) \rbrace
Avec ces notations, pour une fonction continue \varphi : A_n \longrightarrow \mathbb{R}, on définit l'intégrale multiple de \varphi sur A_n par la formule suivante :
\displaystyle \int \ldots \displaystyle \int_{A_n} \varphi(x_1 , \ldots , x_n) d_{x_n} \ldots d_{x_1} = \displaystyle \int \ldots \displaystyle \int_{A_{n-1}} \left( \displaystyle \int_{f(x_1, \ldots, x_{n-1})}^{g(x_1, \ldots, x_{n-1})} \varphi(x_1, \ldots, x_n) d_{x_n}\right) d_{x_{n-1}} \ldots d_{x_1}
On admettra, sans démonstration, qu'à l'instar des intégrales doubles et triples, le réel ainsi obtenu ne dépend que de la partie A_n et de la fonction \varphi. Le volume de la partie A_n sera alors, par définition, le réel \displaystyle \int \ldots \displyastyle \int_{A_n} d_{x_n} \ldots d_{x_1}.]

On se propose d'étudier ici le comportement du volume d'une boule de rayon fixé quand on fait varier la dimension de l'espace. Plus précisément, on se fixe un réle R > 0 et pour tout entier n \geq 1 on considère dans \mathbb{R}^n la boule \mathfrak{B}_n de centre O et de rayon R :
\mathfrak{B}_n = \lbrace (x_1 , \ldots , x_n) \in \mathbb{R}^n / x_1^2 + \ldots + x_n^2 \leq R^2 \rbrace
On note V_n son volume.

I. 3. a. Montrer que, pour n \geq 2, pour tout (x_1 , \ldots , x_n) \in \mathbb{R}^n, on a
(x_1 , \ldots , x_n) \in \mathfrak{B}_n \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} (x_1 , \ldots , x_{n-1}) \in \mathfrak{B}_{n-1} \\ -\sqrt{R^2 - x_1^2 - \ldots - x_{n-1}^2} \leq x_n \leq \sqrt{R^2 - x_1^2 - \ldots - x_{n-1}^2} \\ \end{array} \right.
En déduire par récurrence sur n \geq 1, que \mathfrak{B}_n est continûment paramétrable.

I. 3. b. Soient \lambda > 0 un réel et m \geq 0 un entier. Montrer, en se servant par exemple d'un changement de variable utilisant la fonction t \mapsto \lambda \sin t, que :   \displaystyle \int_{- \lambda}^{\lambda} \left( \lambda^2 - x^2 \right)^{\frac{m}{2}} dx = 2 \lambda^{m+1} W_{m+1}

I. 3. c. En déduire que pour tout entier n \geq 2 et tout k = 1, \ldots, n-1 on a :
V_n = 2^k \left( \displaystyle \prod_{i=1}^k W_i \right) \displaystyle \int \ldots \displaystyle \int_{\mathfrak{B_{n-k}}} \left(R^2 - x_1^2 - \ldots - x_{n-k}^2 \right)^{\frac{k}{2}} dx_{n-k} \ldtos dx_1
(Indication. On pourra, pour n fixé, faire une récurrence finie sur k.)

I. 3. d. Prouver finalement que, pour tout entier n \geq 1, on a :   V_n = \left( \displaystyle \prod_{i=1}^n W_i\right) (2R)^n
et par suite, que pour k \geq 1 :   V_{2k} = \dfrac{\pi^k}{k!} R^{2k}
et que pour k \geq 0 :   V_{2k+1} = 2^{2k+1} \dfrac{k!}{(2k+1)!} \pi^k R^{2k+1}
Expliciter V_1, ~V_2, ~V_3 \text{ et } V_4.

I. 3. e. En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples des suites (V_{2k})_k et (V_{2k+1})_k.

I. 3. f. En déduire que \lim_n V_n = 0.

I. 3. g. Montrer que, soit la suite (V_n)_n est décroissante, soit il existe un rang n_0 tel que la suite (V_n)_n soit croissante jusqu'au rang n_0, puis décroissante.
(Indication. On pourra calculer simplement le rapport V_{n+1}/V_n grâce à la question I.3.d. et utiliser les questions I.1.b. et I.1.g.)

I. 3. h. Donner les valeurs de R pour lesquelles la suite (V_n)_n est décroissante.

I. 3. i. Que vaut le rang n_0 de la question I.3.g. quand R = 1 ?


II. Polynômes et nombres de Bernoulli

II. 1. Définitions

II. 1. a. Soit P(X) \in \mathbb{R}[X]. Montrer qu'il existe un unique polynôme Q(X) \in \mathbb{R}[X] tel que Q' = P et \displaystyle \int_0^1 Q(x) dx = 0.

II. 1. b. En déduire qu'il existe une unique suite de polynômes réels (B_n(X))_n vérifiant :
      B_0(X) = 1
      \forall n \geq 1, \, B'_n = n B_{n-1}
      \forall n \geq 1, \, \displaystyle \int_0^1 B_n(x) dx = 0
On appelle (B_n(X))_n la suite des polynômes de Bernoulli. Pour tout n \geq 0, on pose b_n = B_n(0). La suite de réels (b_n)_n est appelée suite des nombres de Bernoulli.

II. 1. c. Expliciter B_n(X) et b_n pour n = 0, 1, 2, 3, 4.

I. 2. Premières propriétés

II. 2. a. Quel est le degré de B_n(X) pour n \geq 0 ?

II. 2. b. Montrer que, pour tout n \geq 2, on a :   B_n(0) = B_n(1).

II. 2. c. Prouver par récurrence que, pour tout n \geq 0 et tout x \in \mathbb{R}, on a :   B_n(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l} n \\k \\ \end{array}\right) b_{n-k} x^k   où \left(\begin{array}{l} n \\k \\ \end{array}\right) désigne le coefficient binômial :    \left(\begin{array}{l} n \\k \\ \end{array}\right) = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}

II. 2. d. En déduire, pour n \geq 1, une expression de b_n en fonction de b_0, \ldots , b_{n-1}. Calculer b_5 et b_6.

II. 2. e. Montrer que la suite (b_n)_n est une suite de rationnels et que, pour n \geq 0, les polynômes B_n(X) sont à coefficients rationnels.

II. 2. f. Pour tout n \geq 0, on pose :   C_n(X) = (-1)^n B_n(1 - X)
Montrer, en utilisant la définition des polynômes de Bernoulli, que pour tout n \geq 0 on a C_n(X) = B_n(X).

II. 2. g. En déduire que :
\left \lbrace \begin{array}{l}  \bullet \forall n \geq 1, \, b_{2n+1} = 0 \\ \bullet \forall n \geq 0, \, B_{2n+1} \left(\dfrac{1}{2} \right) = 0 \\ \end{array} \right.

II. 3. Etude des variations de Bn sur [0 , 1]

II. 3. a. Soit P(X) \in \mathbb{R}[X]. Etablir que, si P est non nul et de signe constant sur [0 , 1], alors on a :   \displaystyle \int_0^1 P(x) dx \neq 0.

II. 3. b. Montrer, par récurrence sur n \geq 1, que B_{2n} vérifie :
\left \lbrace \begin{array}{l} \bullet (-1)^n B_{2n}(0) < 0 \\ \bullet (-1)^n B_{2n}(1) < 0 \\ \bullet (-1)^n B_{2n} \left(\dfrac{1}{2} \right) > 0 \\ \bullet \text{ la fonction } (-1)^nB_{2n} \text{ est strictement croissante sur } \left[0, \dfrac{1}{2}\right]\\ \text{ et strictement décroissante sur } \left[\dfrac{1}{2}, 1\right]\\ \end{array} \right.
et que B_{2n+1} vérifie :
    (-1)^n B_{2n+1}(0) = (-1)^n B_{2n+1}(1) = (-1)^n B_{2n+1} \left(\dfrac{1}{2}\right) = 0
    il existe deux réels \alpha_{2n+1} \in ]0 , \dfrac{1}{2} [ et \beta_{2n+1} \in ] \dfrac{1}{2} , 1 [ tels que la fonction (-1)^nB_{2n+1} soit strictement décroissante sur [0 , \alpha_{2n+1}] puis strictement croissante sur [\alpha_{2n+1} , \beta_{2n+1}] puis strictement décroissante sur [\beta_{2n+1} , 1]
(Indication. Il pourra être judicieux d'aborder en même temps la récurrence sur ces six propriétés.)

II. 3. c. En déduire que le signe du réel b_{2p} est (-1)^{p+1}.

II. 3. d. Pour tout n \geq 0, on pose B_n^*(X) = B_n(X) - b_n. Pour n \geq 1, donner l'allure générale des courbes représentatives des fonctions B_{4n-2}^*, ~B_{4n-1}^*, ~B_{4n}^*, ~ B_{4n+1}^* sur l'intervalle [0 , 1].

II. 4. Une application arithmétique

II. 4. a. Montrer, par récurrence sur n \geq 1, que pour tout x \in \mathbb{R} on a :   B_n(x+1) - B_n(x) = nx^{n-1}

II. 4. b. Soient p \geq 1 et N \geq 0 deux entiers. On pose S_p(N) = \displaystyle \sum_{k=0}^N k^p, montrer en utilisant la question II.4.a. que :   S_p(N) = \dfrac{B_{p+1}(N+1) - b_{p+1}}{p+1}

II. 4. c. Calculer explicitement, en fonction de l'entier N, les sommes S_p(N) pour p = 1, 2, 3.

II. 5. Une application analytique

II. 5. a. Montrer que le rayon de convergence de la série entière \displaystyle \sum \dfrac{b_n}{n!} t^n est égal à 2\pi.
(Indication. On pourra, par exemple, déterminer les réels t > 0 pour lesquels la suite \left(\dfrac{|b_n|}{n!} t^n \right)_n reste bornée. A cet effet, on pourra utiliser la formule de Stirling et admettre pour cette question que l'on a l'équivalent b_{2p} \sim_p (-1)^{p+1} \left(\dfrac{p}{\pi e} \right)^{2p} \sqrt{16 \pi p}. Ce dernier résultat sera établi dans la question II.2.e à venir.)

II. 5. b. Calculer le produit au sens de Cauchy des séries entières :   \left(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{t^n}{n!}\right) \cdot \left(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{b_n}{n!} t^n\right)
et en déduire que, pour tout t \in ]-2\pi \, , \, 2\pi[, on a :   \dfrac{t}{e^t - 1} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{b_n}{n!} t^n.

II. 5. c. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R} et tout t \in ]-2\pi, 2\pi[, on a :   \dfrac{te^{xt}}{e^t - 1} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{B_n(x)}{n!} t^n

II. 5. d. Justifier que, pour tout x \in \mathbb{R}, le rayon de convergence de la série entière \displaystyle \sum \dfrac{B_n(x)}{n!} t^n est bien 2 \pi.
(Indication. On pourra regarder dans \mathbb{C} le comportement de la série entière au voisinage du cercle |z| = 2\pi.)


III. Fonction \zeta de Riemann et nombres de Bernoulli

III. 1. Fonction \zeta

On appelle fonction \zeta de Riemann (réelle) la fonction de la variable s \in \mathbb{R} définie par la formule :   \zeta(s) = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^s}

III. 1. a. Soit s > 0. Montrer que, pour tout entier k \geq 1, on a :   \dfrac{1}{(k+1)^s} < \displaystyle \int_k^{k+1} \dfrac{dx}{x^s} < \dfrac{1}{k^s}.
En déduire que la nature (divergence ou convergence) de l'intégrale généralisée \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^s} est la même que celle de la série \displaystyle \sum_{n\geq1} \dfrac{1}{n^s}.

III. 1. b. Donner le domaine de définition de \zeta et prouver qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.

III. 1. c. Montrer que \zeta(s) \sim_{1^+} \dfrac{1}{s-1} et en déduire \displaystyle \lim_{s \to 1^+} \zeta(s).

III. 1. d. Soit a > 1 un réel. Montrer que la série \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^s} est normalement convergente sur [a , +\infty[. En déduire que \zeta est continue sur son domaine de définition et que \displaystyle \lim_{s \to +\infty} \zeta(s) = 1.

III. 1. e. Montrer que, pour tout s > 0, la série \theta(s) = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^s} converge. Prouver que, pour tout s > 1, on a :   \theta(s) = \left(1 - \dfrac{1}{2^{s-1}} \right) \zeta(s)

III. 2. Calcul de \zeta(2p)

Pour toute fonction continue f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{C} et tout k \in \mathbb{Z}, on note :   c_k(f) = \displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-2ik\pi x} dx   le k-ième coefficient de Fourier de la fonction f. On rappelle sans démonstration que, si f et g sont deux fonctions continues de [0 , 1] dans \mathbb{C}, alors on a :   \displaystyle \int_0^1 \overline{f(x)}g(x) dx = \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \overline{c_k(f)} c_k(g)   (où z \mapsto \bar{z} désigne la conjugaison complexe).

III. 2. a. Calculer, pour tout k \in \mathbb{Z} et tout n \in \mathbb{N}, le coefficient c_k(B_n).
(Indication. Pour k \neq 0 et n \geq 2, on cherchera une relation entre c_k(B_n) et c_k(B_{n-1}).)

III. 2. b. Soient n, m \geq 1 deux entiers. Montrer que :   \displaystyle \int_0^1 B_n(x) B_m(x) dx = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} [c_{-k}(B_n) c_k(B_m) + c_k(B_n) c_{-k}(B_m)]   et en déduire la valeur de cette intégrale au moyen de valeurs de la fonction \zeta.
(Indication. On distinguera les cas n+m pair et n+m impair.)

III. 2. c. Pour p \geq 1, calculer \displaystyle \int_0^1 B_1(x) B_{2p-1}(x) dx en intégrant par parties. En déduire que :   \zeta(2p) = (-1)^{p+1} \dfrac{b_{2p}}{2} \dfrac{(2 \pi)^{2p}}{(2p)!}

III. 2. d. Donner les valeurs de \zeta(2),~\zeta(4) \text{ et } \zeta(6). En déduire les valeurs des sommes :   \displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2},~\displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^4}, ~\displaystyle \sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^6}
et des sommes   \displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{(2n+1)^2}, ~\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{(2n+1)^4}, ~\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{(2n+1)^6}

III. 2. e. En utilisant les questions III.1.d. et III.2.c. ainsi que la formule de Stirling, montrer que :   b_{2p} \sim_p (-1)^{p+1} \left( \dfrac{p}{\pi e} \right)^{2p} \sqrt{16 \pi p}

III. 3. Application numérique

III. 3. a. Soient s > 1 et N \geq 1. Montrer que :   \displaystyle \sum_{n \geq N + 1} \dfrac{1}{n^s} \leq \dfrac{N^{1-s}}{s - 1}

III. 3. b. Etant donné un réel \epsilon > 0, expliciter un entier N_0 tel que \displaystyle \sum_{n=1}^{N_0} \dfrac{1}{n^s} soit une approximation à \epsilon près de \zeta(s).

III. 3. c. Déduire de ce qui précède, une approximation rationnelle A de \pi^6 à 10-2 près.

III. 3. d. Majorer l'erreur commise en prenant \sqrt[6]{A} comme approximation \pi. Combien de décimales de \pi cette approximation permet-elle de donner ? Les donner.


IV. Formule de Stirling généralisée

On considère la suite (\Omega_n)_n définie, pour n \geq 0, par \Omega_n = \dfrac{n!}{\left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{2 \pi n}}

On sait, d'après la partie I, que l'on a \Omega_n = 1 + o(1). On se propose ici de décrire une méthode pour obtenir un développement limité en 1/n à un ordre donné de la suite (\Omega_n)_n, autrement dit on veut raffiner la formule de Stirling.

IV. 1. On se fixe un entier N \geq 2.

IV. 1. a. Montrer que \ln \Omega_N = \ln \Omega_1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \left(1 - \left(n + \dfrac{1}{2} \right) \ln \left(1 + \dfrac{1}{n} \right) \right).

IV. 1. b. Montrer que la fonction t \mapsto \left( \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{2} \right) \ln(1 + t) est développable en série entière en 0. Préciser son développement ainsi que le rayon de convergence de ce développement.

IV. 1. c. En déduire que :   \ln \Omega_N = \ln \Omega_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} (-1)^{k+1} \dfrac{k-1}{2k(k+1)} \left( \zeta(k) - \displaystyle \sum_{n \geq N} \dfrac{1}{n^k}\right)

IV. 1. d. Montrer que la série \displaystyle \sum (-1)^{k+1} \dfrac{k-1}{2k(k+1)} \zeta(k) est convergente.
(Indication. On pourra utiliser le critère des séries alternées.)

IV. 1. e. En déduire que :   \ln \Omega_N = \ln \Omega_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} (-1)^{k+1} \dfrac{k-1}{2k(k+1)} \zeta(k) - \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} (-1)^{k+1} \dfrac{k-1}{2k(k+1)} R_k(N)   où R_k(N) = \displaystyle \sum_{n\geq N} \dfrac{1}{n^k}.

IV. 2.

IV. 2. a. Prouver que, pour tout k \geq 2 et tout N \geq 2, on a :   \dfrac{1}{k-1} \cdot \dfrac{1}{N^{k-1}} \leq R_k(N) \leq \dfrac{1}{k-1} \cdot \dfrac{1}{N^{k-1}} + \dfrac{1}{N^k}

IV. 2. b. En déduire que, pour tout entier p \geq 2, on a :   \displaystyle \sum_{k=p}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{(k-1)}{2k(k+1)}R_k(N) = 0 \left( \dfrac{1}{N^{p-2}} \right)

IV. 3.

IV. 3. a. Montrer que :   \displaystyle \sum_{k=2}^{+ \infty} (-1)^k \dfrac{(k-1)}{2k(k+1)} \zeta(k) = 1 - \dfrac{1}{2} \ln 2\pi
et que, pour tout N \geq 2, on a :   \ln \Omega_N = \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{k-1}{2k(k+1)} R_k(N)

IV. 3. b. Déduire de ce qui précède que, si les suites (R_2(N))_N, \ldots , (R_{p+1}(N))_N possèdent des développements limités en 1/N à l'ordre p, alors la suite (\ln \Omega_N)_N en possède aussi un et que celui-ci est égal à celui de la suite \left(\displaystyle \sum_{k=2}^{p+1} (-1)^k \dfrac{k-1}{2k(k+1)} R_k(N)\right)_N.

IV. 3. c. Montrer que la suite (\ln \Omega_N)_N possède un développement limité en 1/N à l'ordre 1. En déduire celui de la suite (\Omega_N)_N à cet ordre.

IV. 4.

IV. 4. a. Montrer que, pour N \geq 1, on a R_2(N) - \dfrac{1}{N} = \displaystyle \sum_{n \geq N} \dfrac{1}{n^2(n+1)}.

IV. 4. b. En comparant cette dernière série à l'intégrale généralisée \displaystyle \int_N^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2(x+1)}, donner le développement limité de la suite (R_2(N))_N en 1/N à l'ordre 2. En déduire le développement limité de la suite (\ln \Omega_N)_N puis de la suite (\Omega_N)_N, en 1/N à l'ordre 2.

IV. 4. c. En généralisant ce qui vient d'être fait, décrire brièvement les étapes à suivre pour trouver un développement limité de la suite (\Omega_N)_N, en 1/N à un ordre donné.
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