Concours externe de recrutement de professeurs certifiés
et Concours d'accès à la liste d'aptitude
et troisième concours
Durée : 5 heures
Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable, alphanumérique ou à écran graphique - à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale très lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement.
Notations
Si
, pour un polynôme
, on notera
la fonction polynôme associée à
.
Si deux suites numériques
sont équivalentes, on notera
. De même, si
et
sont deux applications réelles définies au voisinage d'un point
et équivalentes en
, on notera
. Quand le voisinage sera un voisinage à droite en
, on précisera
.
On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux séries (réelles ou complexes)
et
, est la série
où le terme général
est défini pour
par
. On rappelle aussi que si les séries
et
sont absolument convergentes, alors la série produit
est aussi absolument convergente et l'on a
Objectifs du problème
Ce sujet aborde une série de résultats et de propriétés relatifs à la formule de Stirling
1 ainsi qu'aux polynômes et nombres dits de Bernoulli
2. Il se compose en quatre parties.
Dans la partie I, on établit la formule de Stirling qui donne un équivalent simple de la suite
. Ce travail utilise les intégrales de Wallis
3, qui sont étudiées au début de la partie. La fin de la partie I est une application des intégrales de Wallis et de la formule de Stirling à l'étude du volume des boules dans
.
La partie II s'intéresse aux polynômes et nombres de Bernoulli. On y étudie certaines de leurs propriétés et l'on donne deux applications de cette étude. La première, arithmétique, s'intéresse au calcul des sommes du type
. La deuxième est consacrée au développement en série entière de la fonction
.
Dans la partie III, on introduit la fonction
de Riemann
4 et l'on explique ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule de Stirling, d'expliciter un équivalent simple pour la suite des nombres de Bernoulli.
Dans la partie IV, on revient à la formule de Stirling et l'on décrit une méthode pour obtenir un raffinement asymptotique de la formule.
Les parties de ce sujet ne sont pas indépendantes, chacune d'elles pouvant utiliser des résultats établis dans celles de la précédente. Aussi pourra-t-on utiliser pour traiter certaines questions, les résultats établis dans les questions précédentes sans les démontrer. Il est toutefois vivement conseillé aux candidats d'aborder linéairement ce sujet.
1 James, mathématicien anglais, Garden 1692 - Edimbourg 1770.
2 Jakob (francisé en Jacques), mathématicien suisse, premier d'une longue lignée de mathématiciens. Bâle 1654 - Bâle 1705.
3 John, mathématicien anglais, Ashford 1616 - Oxford 1703.
4 Georg Friedrich Bernhard, mathématicien allemand, Breselenz 1826 - Selasca 1866.
I. Intégrales de Wallis et formule de Stirling
I. 1. Intégrales de Wallis
Pour tout entier
, on pose
I. 1. a. Montrer que, pour tout
, on a :
(Indication. On pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.)
I. 1. b. Montrer que la suite
est strictement décroissante.
(Indication. Pour la décroissance, on pourra comparer les fonction
et
. Pour la stricte décroissance, on pourra raisonner par l'absurde.)
I. 1. c. A l'aide d'une intégration par parties montrer que, pour
, on a
I. 1. d. En déduire que, pour tout entier
, on a :
I. 1. e. Montrer que, pour tout
, on a :
.
(Indication. On pourra utiliser la question précédente en distinguant suivant la parité de l'entier
.)
I. 1. f. Prouver que, pour tout
, on a :
et en déduire que
.
(Indication. On pourra utiliser la question I. 1. b.)
I. 1. g. Montrer finalement que
. En déduire
.
I. 2. Formule de Stirling
On considère la suite
définie, pour
par :
et la suite auxiliaire
définie, pour
, par :
.
I. 2. a. Exprimer simplement
en fonction de
et donner un développement limité à l'ordre 2 en
de la suite
.
I. 2. b. En déduire que la série
est convergente. Montrer alors que les suites
et
convergent et donc qu'il existe un réel
tel que :
I. 2. c. En utilisant cet équivalent, calculer un équivalent simple de la suite
. En déduire que
et, par suite, que :
(Formule de Stirling).
I. 3. Une autre application des intégrales de Wallis
[
Rappel sur les intégrales multiples et généralisation. (Ce rappel n'est utile que pour les sous-questions I.3.a. et I.3.c. de cette question I.3.)
Les notions d'intégrales doubles et triples ainsi que la méthode de calcul par intégrations successives de ces dernières (présentes au programme), se généralisent à toute dimension finie de la manière suivante : étant donné un entier
, une partie
sera dite continûment paramétrable si
et
est un segment ou si
et s'il existe une partie
continûment paramétrable et deux fonctions continues
telles que
Avec ces notations, pour une fonction continue
, on définit l'intégrale multiple de
sur
par la formule suivante :
On admettra, sans démonstration, qu'à l'instar des intégrales doubles et triples, le réel ainsi obtenu ne dépend que de la partie
et de la fonction
. Le volume de la partie
sera alors, par définition, le réel
.]
On se propose d'étudier ici le comportement du volume d'une boule de rayon fixé quand on fait varier la dimension de l'espace. Plus précisément, on se fixe un réle
et pour tout entier
on considère dans
la boule
de centre
et de rayon
:
On note
son volume.
I. 3. a. Montrer que, pour
, pour tout
, on a
En déduire par récurrence sur
, que
est continûment paramétrable.
I. 3. b. Soient
un réel et
un entier. Montrer, en se servant par exemple d'un changement de variable utilisant la fonction
, que :
I. 3. c. En déduire que pour tout entier
et tout
on a :
(Indication. On pourra, pour
fixé, faire une récurrence finie sur
.)
I. 3. d. Prouver finalement que, pour tout entier
, on a :
et par suite, que pour
:
et que pour
:
Expliciter
.
I. 3. e. En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples des suites
et
.
I. 3. f. En déduire que
I. 3. g. Montrer que, soit la suite
est décroissante, soit il existe un rang
tel que la suite
soit croissante jusqu'au rang
, puis décroissante.
(Indication. On pourra calculer simplement le rapport
grâce à la question I.3.d. et utiliser les questions I.1.b. et I.1.g.)
I. 3. h. Donner les valeurs de
pour lesquelles la suite
est décroissante.
I. 3. i. Que vaut le rang
de la question I.3.g. quand
?
II. Polynômes et nombres de Bernoulli
II. 1. Définitions
II. 1. a. Soit
. Montrer qu'il existe un unique polynôme
tel que
et
II. 1. b. En déduire qu'il existe une unique suite de polynômes réels
vérifiant :
On appelle
la suite des polynômes de Bernoulli. Pour tout
, on pose
La suite de réels
est appelée suite des nombres de Bernoulli.
II. 1. c. Expliciter
et
pour
I. 2. Premières propriétés
II. 2. a. Quel est le degré de
pour
?
II. 2. b. Montrer que, pour tout
, on a :
.
II. 2. c. Prouver par récurrence que, pour tout
et tout
, on a :
où
désigne le coefficient binômial :
II. 2. d. En déduire, pour
, une expression de
en fonction de
. Calculer
et
.
II. 2. e. Montrer que la suite
est une suite de rationnels et que, pour
, les polynômes
sont à coefficients rationnels.
II. 2. f. Pour tout
, on pose :
Montrer, en utilisant la définition des polynômes de Bernoulli, que pour tout
on a
II. 2. g. En déduire que :
II. 3. Etude des variations de Bn sur [0 , 1]
II. 3. a. Soit
. Etablir que, si
est non nul et de signe constant sur [0 , 1], alors on a :
II. 3. b. Montrer, par récurrence sur
, que
vérifie :
et que
vérifie :
il existe deux réels
et
tels que la fonction
soit strictement décroissante sur
puis strictement croissante sur
puis strictement décroissante sur
(Indication. Il pourra être judicieux d'aborder en même temps la récurrence sur ces six propriétés.)
II. 3. c. En déduire que le signe du réel
est
.
II. 3. d. Pour tout
, on pose
. Pour
, donner l'allure générale des courbes représentatives des fonctions
sur l'intervalle [0 , 1].
II. 4. Une application arithmétique
II. 4. a. Montrer, par récurrence sur
, que pour tout
on a :
II. 4. b. Soient
et
deux entiers. On pose
, montrer en utilisant la question II.4.a. que :
II. 4. c. Calculer explicitement, en fonction de l'entier
, les sommes
pour
.
II. 5. Une application analytique
II. 5. a. Montrer que le rayon de convergence de la série entière
est égal à
.
(Indication. On pourra, par exemple, déterminer les réels
pour lesquels la suite
reste bornée. A cet effet, on pourra utiliser la formule de Stirling et admettre pour cette question que l'on a l'équivalent
. Ce dernier résultat sera établi dans la question II.2.e à venir.)
II. 5. b. Calculer le produit au sens de Cauchy des séries entières :
et en déduire que, pour tout
, on a :
.
II. 5. c. Montrer que, pour tout
et tout
, on a :
II. 5. d. Justifier que, pour tout
, le rayon de convergence de la série entière
est bien
.
(Indication. On pourra regarder dans
le comportement de la série entière au voisinage du cercle
.)
III. Fonction de Riemann et nombres de Bernoulli
III. 1. Fonction
On appelle fonction
de Riemann (réelle) la fonction de la variable
définie par la formule :
III. 1. a. Soit
. Montrer que, pour tout entier
, on a :
.
En déduire que la nature (divergence ou convergence) de l'intégrale généralisée
est la même que celle de la série
.
III. 1. b. Donner le domaine de définition de
et prouver qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
III. 1. c. Montrer que
et en déduire
.
III. 1. d. Soit
un réel. Montrer que la série
est normalement convergente sur
. En déduire que
est continue sur son domaine de définition et que
.
III. 1. e. Montrer que, pour tout
, la série
converge. Prouver que, pour tout
, on a :
III. 2. Calcul de
Pour toute fonction continue
et tout
, on note :
le k-ième coefficient de Fourier de la fonction
. On rappelle sans démonstration que, si
et
sont deux fonctions continues de [0 , 1] dans
, alors on a :
(où
désigne la conjugaison complexe).
III. 2. a. Calculer, pour tout
et tout
, le coefficient
.
(Indication. Pour
et
, on cherchera une relation entre
et
.)
III. 2. b. Soient
deux entiers. Montrer que :
et en déduire la valeur de cette intégrale au moyen de valeurs de la fonction
.
(Indication. On distinguera les cas
pair et
impair.)
III. 2. c. Pour
, calculer
en intégrant par parties. En déduire que :
III. 2. d. Donner les valeurs de
En déduire les valeurs des sommes :
et des sommes
III. 2. e. En utilisant les questions III.1.d. et III.2.c. ainsi que la formule de Stirling, montrer que :
III. 3. Application numérique
III. 3. a. Soient
et
. Montrer que :
III. 3. b. Etant donné un réel
, expliciter un entier
tel que
soit une approximation à
près de
.
III. 3. c. Déduire de ce qui précède, une approximation rationnelle
de
à 10
-2 près.
III. 3. d. Majorer l'erreur commise en prenant
comme approximation
. Combien de décimales de
cette approximation permet-elle de donner ? Les donner.
IV. Formule de Stirling généralisée
On considère la suite
définie, pour
, par
On sait, d'après la partie I, que l'on a
. On se propose ici de décrire une méthode pour obtenir un développement limité en
à un ordre donné de la suite
, autrement dit on veut raffiner la formule de Stirling.
IV. 1. On se fixe un entier
.
IV. 1. a. Montrer que
IV. 1. b. Montrer que la fonction
est développable en série entière en 0. Préciser son développement ainsi que le rayon de convergence de ce développement.
IV. 1. c. En déduire que :
IV. 1. d. Montrer que la série
est convergente.
(Indication. On pourra utiliser le critère des séries alternées.)
IV. 1. e. En déduire que :
où
.
IV. 2.
IV. 2. a. Prouver que, pour tout
et tout
, on a :
IV. 2. b. En déduire que, pour tout entier
, on a :
IV. 3.
IV. 3. a. Montrer que :
et que, pour tout
, on a :
IV. 3. b. Déduire de ce qui précède que, si les suites
possèdent des développements limités en
à l'ordre
, alors la suite
en possède aussi un et que celui-ci est égal à celui de la suite
IV. 3. c. Montrer que la suite
possède un développement limité en
à l'ordre 1. En déduire celui de la suite
à cet ordre.
IV. 4.
IV. 4. a. Montrer que, pour
, on a
IV. 4. b. En comparant cette dernière série à l'intégrale généralisée
, donner le développement limité de la suite
en
à l'ordre 2. En déduire le développement limité de la suite
puis de la suite
, en
à l'ordre 2.
IV. 4. c. En généralisant ce qui vient d'être fait, décrire brièvement les étapes à suivre pour trouver un développement limité de la suite
, en
à un ordre donné.