Fiche de mathématiques

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CAPES externe de mathématiques
Deuxième composition
Session 2010

Durée : 5 heures

Notations

Dans tout le problème, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . L'ensemble des suites d’éléments de $\mathbb{K}$ est noté $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ . Une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $\mathbb{K}$ sera noté plus simplement $(a_n)$ . On note $(0)$ la suite constante dont tous les termes sont nuls et on rappelle que deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont égales si et seulement si, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ on a $a_k = b_k$ .
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux éléments de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ , on définit leur somme $(a_n)+(b_n)$ , leur produit $(a_n) \times (b_n)$ et le produit d’une suite par un élément $\lambda \in \mathbb{K}$ respectivement par :
$(a_n) + (b_n) = (a_n + b_n)$
$(a_n) \times (b_n) = (c_n)$ où, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ : $c_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$
$\lambda \cdot (a_n) = (\lamda a_n)$
On admet que $\left( \mathbb{K}^{\mathbb{N}} , + \right)$ est un groupe commutatif d’élément nul $(0)$ .
Pour tout $p \in \mathbb{N}$ , on notera $X^p$ la suite $(x_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ définie par :
$\left \lbrace \begin{array}{l} x_p = 1 \\ x_n = 0 \text{ si } n \neq p \end{array} \right.$
On écrira aussi $X^0$ et $X^1$ respectivement 1 et $X$ .

Pour tout $(k \, , \, n) \in \mathbb{N}$ tel que $0 \leq k \leq n$ ; le coefficient binomial $\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$ est égal à $\dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ .

Partie I : série génératrice d'une suite $(a_n)$

1. Propriétés algébriques

1. a) Montrer que $\left( \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \, , \, + \, , \, \times \right)$ est un anneau commutatif dont on précisera l’élément neutre.
1. b) Montrer que $\left( \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \, , \, + \, , \, \times \right)$ est intègre. (Indication : si $(a_n)$ est un élément non nul de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ , on pourra considérer le plus petit entier $k$ tel que $a_k \neq 0$ .)
1. c) Montrer qu’un élément $(a_n)$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ est inversible dans $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ si et seulement si $a_0 \neq 0$ .
1. d) Montrer que $\left( \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \, , \, + \, , \, \cdot \right)$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.

Les résultats précédents montrent que toute suite $(a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ peut s’écrire formellement sous la forme $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n X^n$ . Lorsqu’on note $A(X) = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_nX^n$ ou $A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_nX^n$ , alors $A(X)$ ou $A$ sera appelée série génératrice de la suite $(a_n)$ . On remarque que par définition du produit des suites on a $X^p \times X^q = X^{p+q}$ pour tout $(p , q) \in \mathbb{N}^2$ . D’autre part, si $A$ est une série génératrice, pour tout entier $k \geq 2$ , $A^k$ désigne le produit $\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k \text{ facteurs}}.$
On remarquera aussi que s’il existe un entier $p$ tel que $a_p \neq 0$ et tel que pour tout entier $n > p$ on a $a_n = 0$ alors la série génératrice de la suite $(a_n)$ n’est autre qu’un polynôme de degré $p$ qu’on notera $\displaystyle \sum_{n=0}^p a_n X^n.$
D’après la question 1. c) ci-dessus, la série génératrice $\displaystyle \sum_{n \geq 0} a_nX^n$ est inversible si et seulement si $a_0 \neq 0.$ Dans toute la suite, si la série génératrice $A(X)$ est inversible, on écrira son inverse sous la forme $\dfrac{1}{A(X)}.$ Plus généralement si la série génératrice $A(X)$ est inversible et si $B(X)$ est une série génératrice quelconque, le produit $B(X) \times \dfrac{1}{A(X)}$ sera noté $\dfrac{B(X)}{A(X)}$ : Si de plus $B(X)$ et $A(X)$ sont des séries génératrices sous la forme de polynômes alors $\dfrac{B(X)}{A(X)}$ peut être assimilée à une fraction rationnelle sur $\mathbb{K}$ et on admet que les techniques de décomposition en éléments simples sur $\mathbb{K}$ restent valables pour $\dfrac{B(X)}{A(X)}.$

2. Éléments inversibles

2. a) Montrer que la série génératrice inversible $\displaystyle \sum_{n \geq 0} X^n$ a pour inverse $1 - X,$ c'est-à-dire que : $\dfrac{1}{1 - X} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} X^n$
2. b) Soit $a \in \mathbb{K} - \lbrace 0 \rbrace,$ montrer que : $\dfrac{1}{1 - aX} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a^nX^n$
2. c) Soient $a \in \mathbb{K} - \lbrace 0 \rbrace, \, b \in \mathbb{K} - \lbrace 0 \rbrace$ avec $a \neq b,$ montrer que : $\dfrac{1}{(1 - aX) \times (1 - bX)} = \left( \dfrac{a}{a - b} \right) \dfrac{1}{1 - aX} + \left( \dfrac{b}{b - a} \right) \dfrac{1}{1 - bX}$

3. L’opérateur de dérivation

L'opérateur de dérivation, $D : \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \longrightarrow \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ est défini par : $D : A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_nX^n \mapsto D(A) = \displaystyle \sum_{n \geq 1}^{+\infty} n a_n X^{n-1} = \displaystyle \sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} X^n$ 3. a) Montrer que D est un endomorphisme du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}.$
Soient $A$ et $B$ deux séries génératrices. Montrer que :
3. b) $D(A \times B) = D(A) \times B + A \times D(B)$
(on pourra commencer par traiter le cas où $A = X^p$ et $B = X^q$ où $(p ; q) \in \mathbb{N}^2$ ).
3. c) Si $B$ est inversible $D \left( \dfrac{A}{B} \right) = \dfrac{D(A) \times B - A \times D(B)}{B^2}$

4. Quelques exemples

4. a) Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont la série génératrice est : $A(X) = \dfrac{1}{(1 - X)^2}$ est définie pour tout entier $n$ par $a_n = n + 1.$
4. b) Monter que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*,$ la suite $(a_{p,n})_{n \in \mathbb{N}}$ dont la série génératrice est $A_p(X) = \dfrac{1}{(1 - X)^p}$ est définie pour tout entier $n$ par : $a_{p,n} = \left( \begin{array}{c} n + p - 1 \\ n \end{array} \right)$ 4. c) Soit $A(X)$ la série génératrice d’une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}.$ Montrer que $\dfrac{A(X)}{1 - X}$ est la série génératrice de la suite $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $b_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k$ 4. d) En déduire que, pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ on a : $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} k+p-1 \\ k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n+p \\ n \end{array} \right)$

Partie II : séries génératrices et suites récurrentes

1) On considère la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left \lbrace \begin{array}{l} a_0 = 0\\ \forall n \in \mathbb{N}, a_{n+1} = 2a_n + n \end{array} \right.$ On se propose de déterminer la formule explicite de $a_n$ en fonction de $n.$ On note $A(X)$ la série génératrice de la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
1. a) Montrer que : $A(X) = 2X \times A(X) + X^2 \times \displaystyle \sum_{n \geq 0} (n + 1)X^n$ 1. b) Déterminer la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{K}$ de la fraction rationnelle $\dfrac{X^2}{(1 - X)^2 \times (1 - 2X)}.$ 1. c) En déduire l’expression de $a_n$ en fonction de $n.$

2) On considère la suite de Fibonacci $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\left \lbrace \begin{array}{l} F_0 = 0 \\ F_1 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \end{array} \right.$ et on note $F(X)$ la série génératrice de la suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
2. a) Montrer que : $F(X) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\dfrac{1}{1 - \alpha_1 X} - \dfrac{1}{1 - \alpha_2 X} \right)$ où $\alpha_ 1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\alpha_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 2. b) En déduire l’expression de $F_n$ en fonction de $n.$

3) Suites récurrentes linéaires d’ordre $k (k \geq 1).$
Soit $(a_1, \cdots , a_k) \in \mathbb{C}^k,$ avec $a_k \neq 0.$ On considère l’ensemble $\amthcal{U}$ des suites complexes $(u_n)$ définies par la donnée de $(u_0 , \cdots , u_{k-1}) \in \mathbb{C}^k$ et par la relation de récurrence $\forall n \geq k, \, u_n = a_1 u_{n-1} + a_2 u_{n-2} + \cdots + a_k u_{n-k}.$ (On utilisera, sans le démontrer, le fait que $(\mathcal{U}, + , \cdot )$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel).
Soit $(u_n) \in \mathcal{U}.$ On note $S$ la série génératrice de $(u_n),$ et $(E)$ l’équation caractéristique de $(u_n)$ : $z^k = a_1z^{k-1} + a_2z^{k-2} + \cdots + a_k \, \, \, (E).$ 3. a) Montrer que $\phi : (u_n) \in \mathcal{U} \mapsto (u_0 , u_1 , \cdots , u_{k-1})$ est un isomorphisme de $\mathcal{U}$ dans $\mathbb{C}^k.$
3. b) On pose $Q(X) = 1 - a_1X - \cdots - a_kX^k$ et $P(X) = Q(X) \times S(X).$ Montrer que $P(X)$ est un polynôme de degré au plus $k - 1,$ à coefficients dans $\mathbb{C}.$
3. c) On note $z_1, \cdots , z_p$ les racines dans $\mathbb{C},$ de l’équation $(E)$ et $\alpha_1 , \cdots , \alpha_ p$ les ordres de multiplicité respectifs de $z_1, \cdots , z_p.$
Montrer qu’il existe des nombres complexes $b_{i,j}, \, 1 \leq i \leq p, \, 1 \leq j \leq \alpha_ i$ tels que : $\dfrac{P(X)}{Q(X)} = \displaystyle \sum_{i=1}^p \left( \displaystyle \sum_{j=1}^{\alpha_i} \dfrac{b_{i,j}}{(X - 1/z_i)^j} \right)$ 3. d) Montrer alors qu'il existe des polynômes $R_1 , \cdots , R_p$ tels que pour tout $n$ $u_n = \displaystyle \sum_{i=1}^p R_i(n) z^n_i$ où $\forall i, \, \deg(R_i) < \alpha_i.$ 3. e) On note $V$ l’ensemble des suites $(v_n)$ dont le terme général s’écrit v_n = \displaystyle \sum_{i=1}^p P_i(n) z_i^n[/tex] où pour tout $i \in \lbrace 1 , 2 , \cdots , p \rbrace,$ $P_i$ est un polynôme tel que $\deg(P_i) < \alpha_ i.$
Démontrer que $(V , + , \cdot)$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel dont la dimension vérifie l'inégalité $\dim V \leq k$ et déduire que $V = U.$

Partie III : nombre de partitions d’un ensemble

Partie IV : nombre de dérangements

Partie V : nombres de Catalan

Publié par Cel/ le 30-11--0001

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