CAPES externe de mathématiques
Deuxième composition
Session 2010
Durée : 5 heures
Notations
Dans tout le problème,
désigne
ou
. L'ensemble des suites d’éléments de
est noté
.
Une suite
d’éléments de
sera noté plus simplement
. On note
la suite constante dont tous les termes sont nuls et on rappelle que deux suites
et
sont égales si et seulement si, pour tout entier
on a
.
Soient
et
deux éléments de
, on définit leur somme
, leur produit
et le produit d’une suite par un élément
respectivement par :
où, pour tout entier
:
On admet que
est un groupe commutatif d’élément nul
.
Pour tout
, on notera
la suite
définie par :
On écrira aussi
et
respectivement 1 et
.
Pour tout
tel que
; le coefficient binomial
est égal à
.
Partie I : série génératrice d'une suite
1. Propriétés algébriques
1. a) Montrer que
est un anneau commutatif dont on précisera l’élément neutre.
1. b) Montrer que
est intègre. (Indication : si
est un élément non nul de
, on pourra considérer le plus petit entier
tel que
.)
1. c) Montrer qu’un élément
de
est inversible dans
si et seulement si
.
1. d) Montrer que
est un
-espace vectoriel.
Les résultats précédents montrent que toute suite
peut s’écrire formellement sous la forme
.
Lorsqu’on note
ou
,
alors
ou
sera appelée série génératrice de la suite
. On remarque que par définition
du produit des suites on a
pour tout
. D’autre part, si
est
une série génératrice, pour tout entier
,
désigne le produit
On remarquera aussi que s’il existe un entier
tel que
et tel que pour tout entier
on a
alors la série génératrice de la suite
n’est autre qu’un polynôme
de degré
qu’on notera
D’après la question
1. c) ci-dessus, la série génératrice
est inversible si et seulement
si
Dans toute la suite, si la série génératrice
est inversible, on écrira son inverse sous la forme
Plus généralement si la série génératrice
est inversible et si
est une série génératrice quelconque, le produit
sera
noté
: Si de plus
et
sont des séries génératrices sous la forme de polynômes alors
peut être assimilée à une fraction rationnelle sur
et on admet que
les techniques de décomposition en éléments simples sur
restent valables pour
2. Éléments inversibles
2. a) Montrer que la série génératrice inversible
a pour inverse
c'est-à-dire que :
2. b) Soit
montrer que :
2. c) Soient
avec
montrer que :
3. L’opérateur de dérivation
L'opérateur de dérivation,
est défini par :
3. a) Montrer que D est un endomorphisme du
-espace vectoriel
Soient
et
deux séries génératrices. Montrer que :
3. b)
(on pourra commencer par traiter le cas où
et
où
).
3. c) Si
est inversible
4. Quelques exemples
4. a) Montrer que la suite
dont la série génératrice est :
est définie pour tout entier
par
4. b) Monter que, pour tout
la suite
dont la série génératrice est
est définie pour tout entier
par :
4. c) Soit
la série génératrice d’une suite
Montrer que
est la série
génératrice de la suite
définie par :
4. d) En déduire que, pour tout entier
on a :
Partie II : séries génératrices et suites récurrentes
1) On considère la suite
définie par :
On se propose de déterminer la formule explicite de
en fonction de
On note
la série génératrice de la suite
1. a) Montrer que :
1. b) Déterminer la décomposition en éléments simples sur
de la fraction rationnelle
1. c) En déduire l’expression de
en fonction de
2) On considère la suite de Fibonacci
définie par :
et on note
la série génératrice de la suite
2. a) Montrer que :
où
et
2. b) En déduire l’expression de
en fonction de
3) Suites récurrentes linéaires d’ordre
Soit
avec
On considère l’ensemble
des suites complexes
définies par la donnée de
et par la relation de récurrence
(On utilisera, sans le démontrer, le fait que
est un
-espace vectoriel).
Soit
On note
la série génératrice de
et
l’équation caractéristique de
:
3. a) Montrer que
est un isomorphisme de
dans
3. b) On pose
et
Montrer que
est un polynôme de degré au plus
à coefficients dans
3. c) On note
les racines dans
de l’équation
et
les ordres de multiplicité respectifs de
Montrer qu’il existe des nombres complexes
tels que :
3. d) Montrer alors qu'il existe des polynômes
tels que pour tout
où
3. e) On note
l’ensemble des suites
dont le terme général s’écrit v_n = \displaystyle \sum_{i=1}^p P_i(n) z_i^n[/tex]
où pour tout
est un polynôme tel que
Démontrer que
est un
-espace vectoriel dont la dimension vérifie l'inégalité
et déduire que
Partie III : nombre de partitions d’un ensemble
Partie IV : nombre de dérangements
Partie V : nombres de Catalan