CAPES externe de mathématiques
Première composition
Session 2010

Durée : 5 heures

Introduction

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite réelle définie par : $a_n = \dfrac{1}{n} - \displaystyle \int_{n}^{n+1} \dfrac{\text{d}t}{t}.$
On étudie la série de terme général $a_n.$ On montre qu'elle est convergente et on donne différentes représentations de sa somme, notée $\gamma,$ et appelée Constante d'Euler. Pour cela on commence par étudier la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*$ définie par : $S_n = \displaystyle \sum_{p=1}^n a_p = \displaystyle \sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p} - \displaystyle \int_1^{n+1} \dfrac{\text{d}t}{t} = \displaystyle \sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p} - \ln(n+1).$
On s'intéresse également à la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $H_0 = 0$ et pour tout entier $n \geq 1,$ $H_n = \displaystyle \sum_{p=1}^n \dfrac{1}{p}.$

Partie I : Première approche de la constante d'Euler

1. Soit $p \in \mathbb{N}^*.$ En encadrant l'intégrale $\displaystyle \int_{p}^{p+1} \dfrac{\text{d}t}{t},$ montrer que $0 \leq a_p \leq \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1}.$

2. En déduire que la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est majorée, puis qu'elle est convergente et que sa limite $\gamma$ appartient à l'intervalle [0,1].

3. Vérifier que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ on a : $a_p = \dfrac{1}{p} \displaystyle \int_0^1 \dfrac{t}{t+p} \text{d}t,$ puis montrer que pour tout entier $p \geq 2$ on a : $\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1} \right) \leq a_p \leq \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{p-1} - \dfrac{1}{p} \right).$

4. En déduire un encadrement de $S_m - S_n$ pour $m$ et $n$ des entiers vérifiant $m > n \geq 1.$ Puis montrer que pour tout entier $n \geq 1$ on a : $\dfrac{1}{2n+2} \leq \gamma - S_n \leq \dfrac{1}{2n}.$

5. Conclure qu'on a le développement asymptotique suivant pour la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^* :$ $H_n \stackrel{=}{n \to \infty} \ln n + \gamma + \dfrac{1}{2n}} + o \left( \dfrac{1}{n} \right).$

6. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose $T_n = S_n + \dfrac{1}{2n+2}.$ Montrer que $0 \leq \gamma - T_n \leq \dfrac{1}{2n(n+1)}.$

7. Déterminer un entier $n \in \mathbb{N}^*$ pour lequel $T_n$ est une valeur approchée de $\gamma$ à 10^-2 près. Donner alors un encadrement de $\gamma$ à 10^-2 près.

Partie II : Deux représentations intégrales de la constante d'Euler

Soit I un intervalle non vide de $\mathbb{R},$ borné ou non et soit $f : I \to \mathbb{R]$ une fonction continue par morceaux. On dira que $f$ est intégrale sur $I$ si l'intégrale impropre de $f$ sur $I$ est absolument convergente.

On admettra le résultat suivant : Soit $I$ un intervalle non vide de $\mathbb{R},$ borné ou non et soit $\sum u_n$ une série de fonctions réelles positives, définies, continues par morceaux et intégrables sur l'intervalle $I.$

Publié par Cel/ le 26-08-2016

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