CAPES externe de mathématiques
Première composition
Session 2010
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Durée : 5 heures
Introduction
Soit la suite réelle définie par :
On étudie la série de terme général On montre qu'elle est convergente et on donne différentes représentations de sa somme, notée et appelée Constante d'Euler.
Pour cela on commence par étudier la suite définie par :
On s'intéresse également à la suite définie par et pour tout entier
Partie I : Première approche de la constante d'Euler
1. Soit En encadrant l'intégrale montrer que
2. En déduire que la suite est majorée, puis qu'elle est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle [0,1].
3. Vérifier que pour tout on a :
puis montrer que pour tout entier on a :
4. En déduire un encadrement de pour et des entiers vérifiant
Puis montrer que pour tout entier on a :
5. Conclure qu'on a le développement asymptotique suivant pour la suite
6. Pour tout on pose Montrer que
7. Déterminer un entier pour lequel est une valeur approchée de à 10-2 près.
Donner alors un encadrement de à 10-2 près.
Partie II : Deux représentations intégrales de la constante d'Euler
Soit I un intervalle non vide de borné ou non et soit une fonction continue par morceaux.
On dira que est intégrale sur si l'intégrale impropre de sur est absolument convergente.
On admettra le résultat suivant : Soit un intervalle non vide de borné ou non et soit une série de fonctions réelles positives, définies, continues par morceaux et intégrables sur l'intervalle
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_{n \in \mathbb{N}^*})
la suite réelle définie par :
On montre qu'elle est convergente et on donne différentes représentations de sa somme, notée 
et appelée Constante d'Euler.
Pour cela on commence par étudier la suite _{n \in \mathbb{N}^*)
définie par :
.)
_{n \in \mathbb{N}})
définie par 
et pour tout entier 
En encadrant l'intégrale 
montrer que
_{n \in \mathbb{N}^*})
est majorée, puis qu'elle est convergente et que sa limite 
appartient à l'intervalle [0,1].
on a :
on a :
 \leq a_p \leq \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{p-1} - \dfrac{1}{p} \right).)
pour 
et 
des entiers vérifiant 
Puis montrer que pour tout entier 
on a :
_{n \in \mathbb{N}^* :)
.)
on pose 
Montrer que
}.)
est une valeur approchée de 
borné ou non et soit ![f : I \to \mathbb{R]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f : I \to \mathbb{R])
une fonction continue par morceaux.
On dira que 
est intégrale sur 
si l'intégrale impropre de 
une série de fonctions réelles positives, définies, continues par morceaux et intégrables sur l'intervalle 
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