Niveau : Collège (4^ème - 3^ème) (En 4^ème, on se limite à la définition du cosinus)
(mais alors les preuves doivent s'effecteur sans le produit scalaire (niveau 1^ère)

Prérequis :
i) Notion de distances et notion d'orthogonalité (à l'équerre)
ii) Notion d'angles géométriques (en particulier angles aigus, obtus et complémentaires)
iii) Triangles : Droites remarquables : hauteurs (médianes, médiatrices et bissectrices)
Cercle circonscrit à un triangle
Somme des angles (les angles considérés étant géométriques i.e. appartenant à [0, ] ou [0, 180°])
Cas particulier du triangle équilatéral
iv) Caractérisation d'un parallélogramme par ses diagonales (sécantes en leur milieu) : carré et rectangle
v) (Aire d'un rectangle)

On se place dans plan affine (associé au plan vectoriel ) muni d'une distance.
On considérera, dans toute la leçon, un triangle ABC non aplati (i.e. A, B et C non alignés).

I. Relations métriques

Démonstration : Soit A' le symétrique de A par rapport à I.
Par construction, BACA' est un parallélogramme (car les diagonales se coupent en leur milieu).
Ainsi, ABC est rectangle en A ssi BACA' est un rectangle (un rectangle étant un parallélogramme ayant un angle droit)
donc ABC est rectangle en A ssi 2AI = BC (un rectangle étant un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur)
Démonstration : On a, avec I milieu de [BC], BC = BI + IC = 2BI.
Ainsi, ABC est rectangle en A ssi AI = BI
i.e. ssi A(I, BI), cercle de diamètre [BC].

Remarque : Via le produit scalaire, la démonstration est immédiate avec :

Démonstration :
i) Si ABC est rectangle en A :
On considère un carré de côté AB + AC tel que A, B, C
Puis le carré CBC'B' inscrit dans
Le calcul de l'aire de par 2 méthodes différentes nous donne :
(somme des aires du carré inscrit et des 4 triangles rectangles)
Ainsi, en développant le membre de droite, il vient par identification AB² +AC² = BC² et le résultat.
ii) Réciproquement, si BC² = AB² +AC²
Soit H le pied de la hauteur issue de A et A' le point d'intersection de [HA) et du cercle de diamètre [BC].
Le triangle A'BC est rectangle en A' d'après la proposition 1, donc on a BC² = A'B² + A'C².
Or ABH, ACH et A'BH, A'CH sont rectangles en H, ainsi en appliquant le théorème de Pythagore, l'égalité AB² + AC² = A'B² +A'C² se résume à 2AH² = 2A'H².
D'où AH = A'H, i.e. A = A' et ABC rectangle en A (Proposition 2).

Remarque : Ici encore, la démonstration est plus simple via le produit scalaire.
En effet, on a (par symétrie du produit scalaire)
Ainsi, i.e. ABC rectangle en A.


Remarque :
i) Le théorème de Pythagore nous permet en connaissant deux longueurs des côtés d'en déterminer la troisième.
ii) De plus, l'hypothénuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle
Démonstration :
i) L'aire de ABC est S = Base × hauteur = BC × AH (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle)
Et si ABC est rectangle en A, S = AB × AC (car (AB) est la hauteur issue de B ou (AC) celle issue de C)
Ainsi, par identification, on a bien BC × AH = AB × AC (Formules des aires).
Réciproquement, si BC × AH = AB × AC, l'aire du triangle ABC est donc S = BC × AH = AB × AC
Mais on a également, S = AB × CH' où H' est le pied de la hauteur issue de C.
D'où nécessairement, AC = H'C i.e. H' = A avec A, B, H' alignés
donc (AC)(AB) et ABC est rectangle en A.
ii) Si ABC est rectangle en A, on a :
BA² = BC² - AC² par le théorème de Pythagore
BA² = BC² - (AH² + HC²) avec ACH rectangle en H et Pythagore
BA² = BC² - (AB² - BH² + HC²) avec ABH rectangle en H
D'où 2AB² = BC² + BH² - CH²
Or B,C et H étant alignés, on a BC² = (BH + HC)² où H ]BC[

donc, il vient 2AB² = 2BH² + 2BH × HC = 2BH(BH + HC) = 2BH × HC > 0
(Les mesures algébriques nous assurant que H ]BC[)
La réciproque s'obtient alors en remontant les calculs (avec H ]BC[)
De plus, B et C jouant des rôles arbitraires, on obtient par permutation la seconde équivalence.
iii) Semblable à ii)
Si ABC est rectangle en A, on a BC² = AB² + AC² par le théorème de Pythagore
avec ABH et ACH rectangles en H

De même, on a BC² =(BH + HC)² = BH² + HC² + 2BH × HC (avec B, C et H alignés)
D'où par identification AH² = BH × HC
Et réciproquement, en remontant les calculs.

Remarque : Les propriétés sont encore vraies avec des mesures algébriques (Hors-programme Collège). Démonstration identique par le produit scalaire en remplaçant les mesures algébriques par des vecteurs avec ssi et sont colinéaires.

II. Trigonométrie

Démonstration : Posons BC = xBC' et AB = yBA'
Par Pythagore, on a BC² = AB² + AC² d'où x²BC'² = y²BA'² + AC²
et BC'² = A'B² + A'C'² d'où x²BC'² = x²BA'² + x²A'C'²
et l'égalité y²BA'² + AC² = x²BA'² + x²A'C'² (*)
D'autre part, en calculant l'aire du triangle ABC de deux manières, on a :

d'où A'C' × AB = AC × A'B i.e. A'C' × yBA' = AC × A'B et AC = yA'C'
Enfin, avec (*), on obtient y²BA'² + y²A'C'² = x²BA'² + x²A'C'², i.e. x = y
Ainsi, .
D'où le résultat.
En particulier,
ce qui prouve que le rapport est indépendant de la longueur des côtés.
Donc les rapports sont indépendants de la longueur des côtés et ne dépendent que de l'angle .
(l'angle étant lui-même fonction de l'angle , avec = 180° i.e. = 90° puisque par hypothèse l'angle est droit).
Remarques :
i) La définition est légitimée par la proposition 4 (les rapports sont indépendants de la longueur des côtés et ne dépendent que de l'angle)
ii) Ainsi, dans un triangle rectangle la connaissance d'une longueur et d'un angle ou de deux longueurs nous permet de déterminer les trois longueurs et les trois angles, i.e. de déterminer complètement un (unique) triangle.
Démonstration :
i) Par définition, dans un triangle rectangle en A, on
ii) Dans ABC rectangle en A, on a
avec BC² = AB² + AC² d'après le théorème de Pythagore
iii) Dans ABC rectangle en A, on a
et en échangeant les rôles de B et C, on a d'où le résultat.
Démonstration :
i) On se place dans un triangle équilatéral de côté 1, puis on considère le triangle ABH rectangle en H où H est le pied de la hauteur issue de A.
On a et
et
Ce qui nous donne la 1^ère et la 3^ème colonne (par complémentarité).
ii) On se place dans un carré ABCD de côté 1, puis on considère le triangle isocèle ABC rectangle en B.
On a = 45° et
Ce qui prouve la seconde colonne.

III. Applications

1. Spirale des racines des entiers

Le Théorème de Pythagore permet de construire à la règle et au compas la racine d'un entier donné (de proche en proche).

2. Construction de (à la règle et au compas) pour une longueur x donnée

(en utilisant la proposition 3-iii), i.e. AH² = BH × HC)
On considère trois points B, H, C alignés dans cet ordre tel que BH = 1 et HC = x.
Soit le point A tel que ABC est un triangle rectangle et H est le projeté de A sur [BC],
i.e. A est situé à l'intersection du cercle de diamètre [BC] et de la perpendiculaire à (BC) passant par H.
On a alors AH² = BH × HC (d'après la proposition 3-iii)), d'où AH =

Remarque : Ce résultat se démontre également, en appliquant trois fois le théorème de Pythagore dans ABH, ACH et ABC avec la même configuration.

Application : Construction d'un carré de même aire qu'un rectangle donné.
On considère les mêmes données avec BH = L et HC = l.
D'où AH² = L × l et c = AH est la longueur du côté du carré cherché.

3. Topographie

Déterminer la hauteur d'un immeuble (ou d'un phare) par des mesures de longueurs et d'angles.
On considère la figure ci-contre avec , et AB connus.
Par définition de la tangente, on a (dans AIH)

Or A,B et H étant alignés dans cet ordre, on a AH = AB + BH,
donc
d'où
i.e.

4. Construction d'une tangente à un cercle passant par un point donné extérieur au cercle

On se donne un cercle de centre O et un point M extérieur au cercle.
On construit le cercle de diamètre [OM]
et on considère les points T et T' intersection de ces deux cercles (non vide).
La proposition 2 nous assure alors que les triangles OMT et OMT' sont rectangles en T et T' car inscrits dans le cercle de diamètre [OM].
Ainsi, (OT)(TM) et (OT')(T'M)
i.e. (TM) et (T'M) sont les deux tangentes au cercle passant par M.

IV. Compléments

Remarque : On a défini dans la partie II, le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu (0 < < 90°).
On va étendre maintenant la notion de sinus pour un angle nul, droit (90°), obtus ( 90° < < 180°) et plat.

Remarques :
i) On a immédiatement sin(180°) = sin 0° = 0, i.e. le sinus d'un angle plat est nul.
ii) On peut également définir le cosinus d'un angle obtus par
ou encore le cosinus et le sinus d'un angle obtus avec et
Démonstration :
i) Soit H le pied de la hauteur issue de A.
On a vu que S_ABC = BC × AH = a × AH
Deux cas se présentent alors :
Si l'angle est aigu
On a par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC
D'où S_ABC =
Si l'angle est obtus
On a par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC.
Or par définition du sinus d'un angle obtus, on a
D'où S_ABC =
Enfin, par permutation circulaire, on obtient : S_ABC = et le résultat.
ii) C'est un corollaire du i), en effet en divisant les égalités précédentes par abc,
on obtient directement .
D'où le résultat
iii) Les égalités précédentes élevées au carré nous donnent : .
D'où (car )
Donc si le triangle est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a BC² = AB² + AC²
d'où
Réciproquement, l'égalité entraîne BC² = AB² + AC²
d'où ABC rectangle en A par la réciproque du théorème de Pythagore.

Remarques :
i) Si ABC est rectangle en A, alors et sont complémentaires i.e. = 90°.
(car la somme des angles d'un triangle est égale à 180°), donc d'après la propostion 3-iii),
Ainsi, d'après la propostion 3-ii) et avec
Ce qui justifie la définition donnée du sinus d'un angle droit.
ii) On peut en déduire que ABC est rectangle ssi (cf Application 5)

V. Applications (compléments)

5. Caractérisation angulaire d'un triangle rectangle

Démonstration :
i) : Si ABC est rectangle en A (par exemple), on a
Puis, par définition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle,
Ainsi
ii) : Si
On sait que le rayon du cercle circonscrit vérifie
D'où i.e. 8R² = a² + b² + c²
On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit A' le point diamétralement opposé à A.
Le triangle AA'B est rectangle en B, donc par le théorème de Pythagore, on a AA'² = A'B² + AB²
De même, pour AA'C, où l'on a AA'² = A'C² + AC²
D'autre part, on a (Al Kashi)
d'où et
Ainsi

Et, de même, on a
Donc,
Enfin, si A', B et C sont alignés :
Comme A', B et C appartiennent au cercle circonscrit et que B C (ABC non aplati),
on a nécessairement A' = B ou A' = C.
Or A' = B [AB] est un diamètre de ABC est rectangle en C
et A' = C [AC] est un diamètre de ABC est rectangle en B
et si A',B et C ne sont pas alignés :
La réciproque du théorème de Pythagore nous donne A'BC rectangle en A'
donc [BC] est un diamètre de ABC est rectangle en A.

6. Bissectrices

Démonstration :
C'est une application de la formule des sinus.
On sait que deux triangles ayant une hauteur commune ont des aires proportionnelles à leur base ; ainsi
Or et
D'où le résultat par identification

7. Rayon du cercle circonscrit

Démonstration :
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (point de concours des médiatrices)
On introduit le point D diamétralement opposé à B.
Le triangle BCD étant rectangle en C, on a par définition du sinus.
Deux cas sont alors à distinguer :
i) 1^er cas : l'angle est aigu.
Le théorème de l'angle inscrit (i.e. dans un cercle, l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc) nous donne :
D'où
ii) 2^ème cas : l'angle est obtus.
Le théorème de l'angle inscrit nous donne :

D'où
Ainsi avec
Et le résultat, à l'aide de la formule des sinus.