Fiche de mathématiques
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leçon 56 : suites monotones, suites adjacentes...

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Suites monotones, suites adjacentes.
Application à l'approximation et au développement décimal d'un nombre réél.
Utilisation de la calculatrice.
Prérequis : suites numériques et suites convergentes

I. Suites monotones.

Définition :
i) (un)n est (strictement) croissante si, quelquesoitnappartientN, Un+1 supegal un (Un+1 > un).
ii) (un)n est (strictement) décroissante si, quelquesoitnappartientN, Un+1 infegal un (Un+1 < un).
iii) (un)n est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.

Exemple : monotonie de (2^n-n)_{n \in \mathbb{N}}
Théorème :
Soit (un)n une suite réelle croissante (respectivement décroissante).
Elle converge si et seulement si elle est majorée (respectivement minorée).

Démonstration : Soit l=sup(un). Montrons que (un) converge vers l.
On a :
i) quelquesoitnappartientN, Un+1 supegal un
ii) quelquesoitnappartientN, Un+1 infegal l
Comme l=sup(un) alors l-epsilon n'est pas un majorant de (un).
Donc ilexisteN0appartientN tel que l-epsilon infegal UN0
Or, d'après i) on a quelquesoitn supegal N0, un supegal UN0
Donc, quelquesoit n > N0, l-epsilon infegal UN0 infegal un infegal l < l+epsilon
implique quelquesoit epsilon>0, ilexisteN0appartientN, quelquesoitnsupegalUN0, |un-l| < epsilon
CQFD.

Exemple : U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n + 1,      U_0=1
(croissante, majorée par 2).

II. Suites adjacentes.

Définition :
(un) et (vn) sont dites adjacentes si :
  • (un) croissante
  • (vn) décroissante
  • lim (un-vn) = 0

Théorème :
Deux suites adjacentes sont convergentes, et ont même limite l
et, si (un) \nearrow et (vn) \searrow alors quelquesoit(p,q) appartient N², Up infegal l infegal Vq
(et même, quelquesoitn appartient N, uninfegalUn+1infegallinfegalVn+1infegalvn)

Démonstration :
convergence : Supporsons que (un) et (vn) divergent.
Comme (un)\nearrow, (un)fleche+infini, de même (vn)fleche-infini
donc (un-vn)fleche+infini implique contradiction implique elles convergent.
même limite : On suppose (un)flechel et (vn)flechel'
alors (un-vn)flechel-l', or (un-vn)fleche0 implique l=l'
ou un=vn+(un-vn), en passant à la limite implique l=l'
      l    l'      0

2èmedémo :
u \nearrow, v \searrow
implique(v-u) \searrow, et cv vers 0.
impliqueminorée par 0
impliqueuninfegalvn
Or vninfegalv0 implique uninfegalv0
implique\nearrow et majorée implique converge

Remarque : Si (un) et (vn) sont adjacentes, ce sont des valeurs approchées de la limite commune l, avec une erreur inférieure à epsilonn=(un-vn)

Exemple : u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} et v_n = u_n + \frac{1}{n}

III. Application à l'approximation d'un réél.

1°) Approximation du nombre e.

quelquesoitn appartient N, u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}
On montre que cette suite converge vers linfegal3
((un) est clairement croissante, et on vérifie que quelquesoitnsupegal1, on a :
n!supegal2n-1, d'où uninfegal1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}infegal3
car \frac{1}{n!}\leq\frac{1}{2^{n-1})

Soit maintenant (vn) la suite de terme général vn=un+\frac{1}{n.n!}
On montre que (un) et (vn) sont adjacentes, et
quelquesoitn appartient N, un infegal l infegal vn
Le nombre l est en fait le nombre e, base du logarithme népérien.
Démonstration : laissée au lecteur

Si on veut une valeur approchée de e à 10-3 près, il suffit de choisir n tel que (vn-un) infegal 10-3, c'est à dire : \frac{1}{n.n!} \leq 10^{-3}, soit n supegal 6
ce qui donne : 2,718 infegal l infegal 2,719

2°) Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème :
Soit f : I fleche R une application continue, a et b appartiennent à I, avec a < b, w un réél compris entre f(a) et f(b).
Alors ilexistecappartient[a,b] tel que w=f(c)

Démonstration : f(a)<f(b)
On construit par récurrence 2 suites (un) et (vn) en posant
u0=a, v0=b
  • u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} et v_{n+1} = v_n si f(\frac{u_n+v_n}{2}) \leq w
  • u_{n+1} = u_n et v_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} sinon.

On montre que ces 2 suites sont adjacentes, elles convergent vers l.
Par construction, f(un) infegal w infegal f(vn)
implique f(l)=w.


Application : approximation de \sqrt{2}.
On définit (un) et (vn) en posant :
u0=1, v0=2,
u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} , v_{n+1} = v_n si (\frac{u_n+v_n}{2})^2 \leq 2
u_{n+1} = u_n et v_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2} sinon.

Ces 2 suites sont adjacentes, et convergent vers l qui vérifie l²=2.
On a, quelquesoitn appartient N, un infegal l infegal vn
et |v_n-u_n| = |\frac{v_0-u_0}{2^n}| = \frac{1}{2^n}

Par exemple, il suffit de choisir n tel que \frac{1}{2^n} \leq 10^{-5} pour avoir une approximation (un encadrement) de \sqrt{2} avec une amplitude de 10-5.
implique n=17 implique u17=1,4142074585 et v17=1,414215...

IV. Approximation d'un réél.

Lemme :
Pour tout réel x, et tout entier naturel n, il existe un unique entier relatif pn tel que :
\frac{p_n}{10^n} \leq x \leq \frac{p_{n+1}}{10^n}

Démonstration : pn=E(10nx) avec E(x)infegal x < E(x)+1
impliquepn infegal 10nx pn pn+1

Définition : Les décimaux d_n = \frac{p_n}{10^n} et e_n = \frac{p_{n+1}}{10^n} sont appelées valeurs décimales approchées de x.

Théorème : (dn)n et (en)n sont adjacents, de limite x.

+ Calculatrice
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