leçon 56 : suites monotones, suites adjacentes...
Suites monotones, suites adjacentes.
Application à l'approximation et au développement décimal d'un nombre réél.
Utilisation de la calculatrice.
Prérequis : suites numériques et suites convergentes
I. Suites monotones.
Définition :
i) (u
n)
n est (strictement) croissante si,
n
, U
n+1 u
n (U
n+1 > u
n).
ii) (u
n)
n est (strictement) décroissante si,
n
, U
n+1 u
n (U
n+1 < u
n).
iii) (u
n)
n est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Exemple : monotonie de
Théorème :
Soit (un)n une suite réelle croissante (respectivement décroissante).
Elle converge si et seulement si elle est majorée (respectivement minorée).
Démonstration : Soit l=sup(u
n). Montrons que (u
n) converge vers l.
On a :
i)
n
, U
n+1 u
n
ii)
n
, U
n+1 l
Comme l=sup(u
n) alors l-
n'est pas un majorant de (u
n).
Donc
N
0 tel que l-
U
N0
Or, d'après i) on a
n
N
0, u
n U
N0
Donc,
n > N
0, l-
U
N0 u
n l < l+
>0,
N
0,
n
U
N0, |u
n-l| <
CQFD.
Exemple : ,
(croissante, majorée par 2).
II. Suites adjacentes.
Définition :
(u
n) et (v
n) sont dites adjacentes si :
- (un) croissante
- (vn) décroissante
- lim (un-vn) = 0
Théorème :
Deux suites adjacentes sont convergentes, et ont même limite l
et, si (u
n)
et (v
n)
alors
(p,q)
², U
p l
V
q
(et même,
n
, u
nU
n+1l
V
n+1v
n)
Démonstration :
convergence : Supporsons que (u
n) et (v
n) divergent.
Comme (u
n)
, (u
n)
+
, de même (v
n)
-
donc (u
n-v
n)
+
contradiction
elles convergent.
même limite : On suppose (u
n)
l et (v
n)
l'
alors (u
n-v
n)
l-l', or (u
n-v
n)
0
l=l'
ou u
n=v
n+(u
n-v
n), en passant à la limite
l=l'
l l' 0
2èmedémo :
u
, v
(v-u)
, et cv vers 0.
minorée par 0
u
nv
n
Or v
nv
0 u
nv
0
et majorée
converge
Remarque : Si (u
n) et (v
n) sont adjacentes, ce sont des valeurs approchées de la limite commune l, avec une erreur inférieure à
n=(u
n-v
n)
Exemple : et
III. Application à l'approximation d'un réél.
1°) Approximation du nombre e.
n
,
On montre que cette suite converge vers l
3
((u
n) est clairement croissante, et on vérifie que
n
1, on a :
n!
2
n-1, d'où u
n3
car
)
Soit maintenant (v
n) la suite de terme général v
n=u
n+
On montre que (u
n) et (v
n) sont adjacentes, et
n
, u
n l
v
n
Le nombre l est en fait le nombre e, base du logarithme népérien.
Démonstration : laissée au lecteur
Si on veut une valeur approchée de e à 10
-3 près, il suffit de choisir n tel que (v
n-u
n)
10
-3, c'est à dire :
, soit n
6
ce qui donne : 2,718
l
2,719
2°) Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Soit f : I
une application continue, a et b appartiennent à I, avec a < b, w un réél compris entre f(a) et f(b).
Alors
c
[a,b] tel que w=f(c)
Démonstration : f(a)<f(b)
On construit par récurrence 2 suites (u
n) et (v
n) en posant
u
0=a, v
0=b
On montre que ces 2 suites sont adjacentes, elles convergent vers l.
Par construction, f(u
n)
w
f(v
n)
f(l)=w.
Application : approximation de
.
On définit (u
n) et (v
n) en posant :
u
0=1, v
0=2,
,
si
et
sinon.
Ces 2 suites sont adjacentes, et convergent vers l qui vérifie l²=2.
On a,
n
, u
n l
v
n
et
Par exemple, il suffit de choisir n tel que
pour avoir une approximation (un encadrement) de
avec une amplitude de 10
-5.
n=17
u
17=1,4142074585 et v
17=1,414215...
IV. Approximation d'un réél.
Lemme :
Pour tout réel x, et tout entier naturel n, il existe un unique entier relatif p
n tel que :
Démonstration : p
n=E(10
nx) avec E(x)
x < E(x)+1
p
n 10
nx p
n p
n+1
Définition : Les décimaux
et
sont appelées valeurs décimales approchées de x.
Théorème : (d
n)
n et (e
n)
n sont adjacents, de limite x.
+ Calculatrice