leçon 56 : suites monotones, suites adjacentes...
Suites monotones, suites adjacentes.
Application à l'approximation et au développement décimal d'un nombre réél.
Utilisation de la calculatrice.
Prérequis : suites numériques et suites convergentes
I. Suites monotones.
Définition :
i) (u
n)
n est (strictement) croissante si,

n


, U
n+1 
u
n (U
n+1 > u
n).
ii) (u
n)
n est (strictement) décroissante si,

n


, U
n+1 
u
n (U
n+1 < u
n).
iii) (u
n)
n est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Exemple : monotonie de
Théorème :
Soit (un)n une suite réelle croissante (respectivement décroissante).
Elle converge si et seulement si elle est majorée (respectivement minorée).
Démonstration : Soit l=sup(u
n). Montrons que (u
n) converge vers l.
On a :
i)

n


, U
n+1 
u
n
ii)

n


, U
n+1 
l
Comme l=sup(u
n) alors l-

n'est pas un majorant de (u
n).
Donc

N
0

tel que l-

U
N0
Or, d'après i) on a

n

N
0, u
n 
U
N0
Donc,

n > N
0, l-

U
N0 
u
n 
l < l+

>0,

N
0

,

n

U
N0, |u
n-l| <
CQFD.
Exemple : 
,
(croissante, majorée par 2).
II. Suites adjacentes.
Définition :
(u
n) et (v
n) sont dites adjacentes si :
- (un) croissante
- (vn) décroissante
- lim (un-vn) = 0
Théorème :
Deux suites adjacentes sont convergentes, et ont même limite l
et, si (u
n)

et (v
n)

alors

(p,q)

², U
p 
l

V
q
(et même,

n

, u
n
U
n+1
l

V
n+1
v
n)
Démonstration :
convergence : Supporsons que (u
n) et (v
n) divergent.
Comme (u
n)

, (u
n)

+

, de même (v
n)

-
donc (u
n-v
n)

+

contradiction

elles convergent.
même limite : On suppose (u
n)

l et (v
n)

l'
alors (u
n-v
n)

l-l', or (u
n-v
n)

0

l=l'
ou u
n=v
n+(u
n-v
n), en passant à la limite

l=l'
l l' 0
2èmedémo :
u

, v

(v-u)

, et cv vers 0.

minorée par 0

u
n
v
n
Or v
n
v
0 
u
n
v
0


et majorée

converge
Remarque : Si (u
n) et (v
n) sont adjacentes, ce sont des valeurs approchées de la limite commune l, avec une erreur inférieure à
n=(u
n-v
n)
Exemple : 
et
III. Application à l'approximation d'un réél.
1°) Approximation du nombre e.

n

,
On montre que cette suite converge vers l

3
((u
n) est clairement croissante, et on vérifie que

n

1, on a :
n!

2
n-1, d'où u
n


3
car
)
Soit maintenant (v
n) la suite de terme général v
n=u
n+
On montre que (u
n) et (v
n) sont adjacentes, et

n

, u
n 
l

v
n
Le nombre l est en fait le nombre e, base du logarithme népérien.
Démonstration : laissée au lecteur
Si on veut une valeur approchée de e à 10
-3 près, il suffit de choisir n tel que (v
n-u
n)

10
-3, c'est à dire :

, soit n

6
ce qui donne : 2,718

l

2,719
2°) Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Soit f : I

une application continue, a et b appartiennent à I, avec a < b, w un réél compris entre f(a) et f(b).
Alors

c

[a,b] tel que w=f(c)
Démonstration : f(a)<f(b)
On construit par récurrence 2 suites (u
n) et (v
n) en posant
u
0=a, v
0=b
On montre que ces 2 suites sont adjacentes, elles convergent vers l.
Par construction, f(u
n)

w

f(v
n)

f(l)=w.
Application : approximation de

.
On définit (u
n) et (v
n) en posant :
u
0=1, v
0=2,

,

si

et

sinon.
Ces 2 suites sont adjacentes, et convergent vers l qui vérifie l²=2.
On a,

n

, u
n 
l

v
n
et
Par exemple, il suffit de choisir n tel que

pour avoir une approximation (un encadrement) de

avec une amplitude de 10
-5.

n=17

u
17=1,4142074585 et v
17=1,414215...
IV. Approximation d'un réél.
Lemme :
Pour tout réel x, et tout entier naturel n, il existe un unique entier relatif p
n tel que :
Démonstration : p
n=E(10
nx) avec E(x)

x < E(x)+1

p
n 
10
nx p
n p
n+1
Définition : Les décimaux

et

sont appelées valeurs décimales approchées de x.
Théorème : (d
n)
n et (e
n)
n sont adjacents, de limite x.
+ Calculatrice