Niveau : Première S

Prérequis :
i) Produit scalaire : Définitions (par distances et angles et par projections) et Propriétés
ii) Angles géométriques (conservation par une symétrie centrale)
iii) Définition du cosinus et du sinus : dans un triangle rectangle (angle aigu) et dans le cercle trigonométrique
iv) Théorème de Pythagore (avec réciproque) et formules de trigonométrie élémentaires
iv) Droites remarquables d'un triangle : hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices
iv) Théorème de l'angle inscrit

On se place dans plan affine euclidien (associé au plan vectoriel )
On considérera, dans toute la leçon, un triangle ABC non aplati et on notera :
a = BC, b = AC et c = AB les longueurs des côtés et les angles géométriques ()

But : Déterminer dans un triangle les trois longueurs et les trois angles géométriques.

I. Relations métriques

1. Théorème de la médiane

Démonstration :

Or et donc
D'où le résultat.
ii) et iii) On a
et
D'où
et

2. Formule des aires

Démonstration : Rappel : L'aire d'un triangle rectangle en A est S = AB × BC (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle)
i) 1^er cas : H [BC] (i.e. l'angle est aigu)
On a S_ABC = S_ABH + S_AHC

ii) 2^ème cas : H [BC] ( i.e. l'angle est obtus)
On a S_ABC = S_ABH - S_AHC


Remarques :
i) Par permutation circulaire (sur A, B, C), on obtient les deux autres formules suivantes :
S_ABC = BH_B × AC et S_ABC = CH_C × AB où H_B (resp. H_C) est le pied de la hauteur issue de B (resp. C)
ii) En particulier, deux triangles ayant une hauteur commune ont des aires proportionnelles à leur base.
Démonstration :
C'est un corollaire de la proposition 1.
Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, intersection des 3 bissectrices intérieures.
On sait que les points de la bissectrice intérieure issue du sommet A sont équidistants de (AB) et (AC) (c'est une caractérisation métrique des bissectrices).
On a donc S_ABC = S_AIB + S_BIC + S_CIA = cr + ar + br = (a + b + c)r = pr

II. Relations trigonométriques

1. Somme des angles d'un triangle

Démonstration :
i) On considère B' et C' les images respectives de B et C par la symétrie centrale de centre A.
On mène en A la parallèle à (BC) et on note A' = (BC') et A" = (CB').
On a alors :

(les symétries centrales conservant les angles orientés)
i.e. qui est un angle plat.
ii) Autre démonstration (par les angles orientés)
Si on oriente le plan tel que ABC soit un triangle direct, on a :

Donc :

D'où
Or donc i.e. k = 0 et le résultat.

2. Formules d'Al Kashi

Démonstration :
On a (symétrie du produit scalaire)
(par définition du produit scalaire)

Remarques :
i) Par permutation circulaire (sur A, B, C), on obtient les deux autres formules suivantes :

ii) Si ABC est rectangle (en A, i.e. ), on retrouve le théorème de Pythagore.
On appelle aussi ces formules, les relations de Pythagore généralisé.
iii) On retrouve également l'inégalité triangulaire : |b - c| a b + c (avec égalité ssi est nul ou plat).
En effet, on a d'où puis et le résultat.

3. Aire d'un triangle

Démonstration :
Soit H le pied de la hauteur issue de A.
On a vu que S_ABC = BC × AH = a × AH
Deux cas se présentent alors :
i) 1^er cas : l'angle est aigu
On a
par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC
ii) 2^ème cas : l'angle est obtus.
On a
par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC
D'où le résultat, i.e. S_ABC =

Remarque :
De même, par permutation circulaire, on obtient : S_ABC =

4. Formule des sinus

Démonstration :
C'est un corollaire de la proposition 3.
En effet, on a : S_ABC =
donc après multiplication de cette égalité par , on obtient :
D'où le résultat en prenant l'inverse, avec , i.e. (ABC non aplati)

5. Rayon du cercle circonscrit

Démonstration :
Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (point de concours des médiatrices)
- Si le triangle est rectangle en A, alors [BC] est un diamètre de donc a = BC = 2R et
d'où et le résultat avec la formule des sinus.
- Sinon, on introduit le point D diamétralement opposé à B.
Le triangle BCD étant rectangle en C, on a par définition du sinus.
Deux cas sont alors à distinguer :
i) 1^er cas : l'angle est aigu.
Le théorème de l'angle inscrit (i.e. dans un cercle, l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc) nous assure que les angles inscrits sont égaux (i.e. )
D'où
ii) 2^ème cas : l'angle est obtus.
Le théorème de l'angle inscrit nous assure que les angles inscrits sont supplémentaires :

D'où
Ainsi avec
Et le résultat, à l'aide de la formule des sinus.


Conclusion :
A l'orientation près, un triangle est entièrement déterminer par :
i) La donnée des trois longueurs
qui nous permet via les formules d'Al Kashi de déterminer les cosinus des angles
puis les angles géométriques eux-mêmes puisque le cosinus est bijectif de dans ]-1,1[
ii) La donnée de deux longueurs et d'un angle
qui nous permet le calcul de la 3^ème longueur, avec la formule d'Al Kashi faisant intervenir le cosinus de l'angle donné; puis les cosinus des deux autres angles, donc les angles eux-mêmes, via les deux autres formules d'Al Kashi.
iii) La donnée d'une longueur et de deux angles
qui nous fournit le 3^ème angle sachant que
puis les deux autres longueurs par la formule des sinus.

Remarques :
i) Par contre, la donnée de trois angles ne suffit pas !
On a avec les formules d'Al Kashi un système de trois équations en les longueurs a, b, c qui, avec la formule des sinus, admet une infinité de solutions (toutes proportionnelles) (où )
ii) Si on remplace la donnée des angles par la donnée de leur cosinus, le résultat reste vrai.
Si on remplace la donnée des angles par la donnée de leur sinus, le résultat n'est plus exact : on perd l'unicité !

III. Applications

1. Identité du parallélogramme

Démonstration :
C'est une application directe du théorème de la médiane - i)

D'où, par sommation,
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + 2(OB² + OD²) = AC² + BD², O [BD].

2. Lignes de niveau

Démonstration :
C'est une application du théorème de la médiane - i), ii) et iii).
i) Le théorème 1 - i) nous donne : . D'où et le résultat.
ii) Le théorème 1 - ii) nous donne : . D'où et le résultat.
iii) Le théorème 1 - iii) nous donne : D'où
On introduit alors H le projeté orthogonal de M sur (AB). On a
i.e. ; donc et

3. Formule de Héron

Démonstration :
C'est une application des formules d'Al Kashi et de la formule du sinus.
On a
Ainsi s'écrit, après multiplication par 4b²c² 0, (a² - (b² + c²))² + 16S² = 4b²c²
D'où : 16S² = 4b²c² - (a² - (b² + c²))² = (2bc - a² - (b² + c²))(2bc + a² - (b² + c²)) (identité remarquable)
     = ((b + c)² - a²)(a² - (b + c)²) = (b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c) (identités remarquables)
     = 2(p - a)2p(2p - b)(2p - c) = 16p(p - a)(p - b)(p - c) avec 2p = a + b + c

Remarque :
Conséquence : Avec S = pr, on obtient

4. Bissectrices

Démonstration :
C'est une application de la formule des sinus.
On a vu que deux triangles ayant une hauteur commune ont des aires proportionnelles à leur base; ainsi
Or
D'où, par identification,

5. Caractérisation angulaire d'un triangle rectangle

Démonstration :
i) : Si ABC est rectangle en A (par exemple), on a
Puis, par définition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle,
Ainsi
ii) : Si
On sait que le rayon du cercle circonscrit vérifie
D'où i.e. 8R² = a² + b² + c²
On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit A' le point diamétralement opposé à A.
Le triangle AA'B est rectangle en B, donc par le théorème de Pythagore, on a AA'² = A'B² + AB²
De même, pour AA'C, où l'on a AA'² = A'C² + AC²
D'autre part, on a (Al Kashi)
d'où et
Ainsi

Et, de même, on a
Donc,
Enfin, si A', B et C sont alignés :

Comme A', B et C appartiennent au cercle circonscrit et que B C (ABC non aplati),
on a nécessairement A' = B ou A' = C.
Or A' = B [AB] est un diamètre de ABC est rectangle en C
et A' = C [AC] est un diamètre de ABC est rectangle en B

et si A',B et C ne sont pas alignés :

La réciproque du théorème de Pythagore nous donne A'BC rectangle en A'
donc [BC] est un diamètre de ABC est rectangle en A.

6. Inégalité isopérimétrique

Démonstration :
Elle repose sur l'inégalité arithmético-géométrique : on a :
Démonstration : Première : Par récurrence sur n / Terminale : on a en utilisant n-1 fois la concavité de ln
On l'applique aux trois nombres p - a, p - b et p - c, d'où avec égalité ssi a = b = c.
Puis, d'après la formule de Héron, on obtient

IV. Compléments

1. Autres relations trigonométriques

i)
Démonstration : D'après la formule des sinus, on a
D'où le résultat par sommation avec
ii)
Démonstration : D'après la formule des sinus, on a
D'où le résultat par produit abc = 4RS.

2. Relations métriques avec les rayons des cercles exinscrit, inscrit et circonscrit

i) S = (p - a)r_a = (p - b)r_b = (p - c)r_c et S =
ii) 2Rr_a = , 2Rr_b = , 2Rr_c =
iii)
iv) r_a + r_b + r_c = r + 4R

3. Application (du théorème de la médiane)

Soit G isobarycentre du triangle.
Montrer que
puis que, , on a
En déduire que est minimale ssi M = G.