Fiche de mathématiques
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Raccordement de courbes sans cassure

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L'un des intérêts des tangentes est de permettre de raccorder deux courbes en un point sans « cassure » : il suffit que ces deux courbes aient la même tangente en ce point.

exercice 1

Un toboggan en résine doit être construit au bord d'un plan d'eau.
Par mesure de sécurité, aucun creux et aucune bosse ne doivent perturber la glissade des enfants qui l'utilise
Raccordements de courbes : image 8

La figure représente une vue en coupe de ce tobboggan. Sa hauteur est de 5m, la longueur de 7m.
La courbe admet une tangente horizontale au sommet ainsi qu'à l'arrivée sur le sol
On modélise le toboggan à l'aide de deux arcs de paraboles :
Sur [0;2], f(x)=-0.25x^2+5
sur [5;7], g(x)=0.25(x-7)^2
et un segment de la droite (AB) qui raccorde les deux arcs de parabole.

1) Justifier que les arcs de paraboles présentent des tangentes horizontales en D(0;5) et F(7;0)

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente en A à la courbe Cf
Le raccordement de la droite (AB) donne t-il un bon raccordement ?

3) On considère la fonction h du troisième degré définie sur [0;7] par h(x)=+0.03x^3-0.31x^2+5
a) La courbe Ch de cette fonction passe t-elle par les points D et F ?
b) Calculer sa dérivée
La courbe Ch a t-elle des tangentes horizontales en ses points d'abscisse 0 et 7 ?
c) Cette fonction peut-elle modéliser le toboggan ?

exercice 2

Le problème du raccordement est de joindre par une courbe plane un troçon origine et un tronçon extrémité, en voici un exemple :
Le tronçon origine est une demi- droite [Ax)et le tronçon extremité est ici l'arc de cercle BC de cente O.
Le raccordement doit être tangent à chacun des deux tronçons préexistants.

Raccordements de courbes : image 3
1. On choisit comme tracé une courbe representant une fonction polynome du 3eme degré f, dans un repere orthonormal (A;vecti;vectj) (échelle 1cm pour 1km)
a. Quelles sont les coordonnées de O , B, C dans ce repère ?
b.Expliquer pourquoi f(0)=0 et f'(0)=0
c.(T) est la tangente en B à l'arc de cercle BC
Quel est le coefficient directeur de (T) ?
En deduire que f(4)=3 et f'(4)=1/2 je comprend f(4)=3 vu que celui est les coordonées de B mais pas f'(4)

d. Le polynôme recherché s'écrit : f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Ecrire le système de quatre équations à quatre inconnues qui traduit les égalités trouvées au b. et c. , puis déterminer f .

2. Soit g la fonction définie par g(x) = -\dfrac{x^3}{16}+\dfrac{7x^2}{16} sur [0;4].
Démontrer que la courbe representative de g vérifie les contraintes du problème.

exercice 3

Un bureau d'études est chargé de trouver une solution dont le profil sera donné par la courbe d'une fonction.
On choisit le repère orthonormé dans lequel A et B ont pour coordonnées respectives (0;0) et (4;1).
La courbe doit respecter les contraintes suivantes :
- elle doit passer par les points A et B
- Les tangentes à la courbe en ces points doivent être horizontales.

1) Soit f une fonction definie et derivable sur [0;4] On note f' sa dérivée.
Traduire les contraintes que doit respecter la courbe de f à l'aide de f et de f'.

2) Déterminer les réels a, b, c et d tels que la courbe de f définie par f(x)=ax^3+bx^2+cx+d sur [0;4] respecte les contraintes.

Raccordements de courbes : image 1




exercice 1

1. Sur [0 ; 2] f'(x)=-0,5x donc f'(0)=0
La courbe admet en D d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur nul, donc une tangente "horizontale"
Sur [5 ; 7] f'(x)=0,25\times 2(x-7) donc f'(7)=0 et
en F, la courbe admet donc également une tangente "horizontale".

2 Pour x\in [0 ; 2] , f'(2)=-1

Or, le coefficient directeur de la droite (AB) vaut \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-4}{5-2}=-1

donc la droite (AB) est un bon raccordement à Cf au point A.
Une équation de la tangente en A à Cf est y=-x+b avec b réel
En écrivant que A(2;4) est un point de cette droite, on obtient 4=-2+b soit b=6
Une équation de cette tangente à Cf en A est donc : y=-x+6

Au point B d'abscisse 5, f'(5)=0,25\times 2(5-7)=-1
qui est égal au coefficient directeur de (AB). On en déduit à nouveau que (AB) est un bon raccordement à la courbe Cf en B.

3.a On a h(x)=0,03x^3-0,31x^2+5
h(0)=5 donc D appartient à Cf
h(7)=0,1 donc Ch ne passe pas par F.

b h'(x)=0,09x^2-0,62x
h'(0)=0 et h'(7)=0,07 donc Ch admet une tangente horizontale en D mais pas en F.
c Ou bien on pense qu'arriver à 0,1 m soit 10 cm au dessus de l'eau avec une infime remontée (+0,07 de dérivée ) n'est pas ennuyeux vu qu'on arrive au dessus d'un plan d'eau et on peut dire que cette fonction peut modéliser le toboggan, ou bien les contraintes doivent être strictement respectées, et la réponse sera que cette fonction ne modélise pas le toboggan.

exercice 2

a. Les coordonnées : O(3 ; 5) ; B(4 ; 3)
OB=OC ; calculons OB.
OB=\sqrt{(4-3)^2+(3-5)^2}=\sqrt 5 donc C(3+\sqrt 5 ; 5)

b. La courbe passe par le point A (0;0) donc f(0)=0
(Ax) est tangente à la courbe donc f'(0)=0

c. \overrightarrow{OB}(1;-2) donc (T) qui lui est perpendiculaire a un coefficient directeur de 1/2. Ce qui donne f'(4)=\dfrac 1 2
B(4;3) est un point de la courbe soit f(4)=3

d. f(x)=ax^3+bx^2+cx+d donc f'(x)=3ax^2+2bx+c
Les quatre conditions trouvées précedemment permettent d'écrire le système suivant.

\left\lbrace\begin{matrix} f(0) & =&0 \\ f'(0)&= &0 \\ f(4)& = &3 \\ f'(4) &= &\dfrac 1 2 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d &= &0 \\ c& = &0 \\ 64 a+16b+4c+d&= &3 \\ 48a+8b+c& =& \dfrac 12 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d &= &0 \\ c& = &0 \\ 64 a+16b&= &3 \\ 48a+8b& =& \dfrac 12 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d &= &0 \\ c& = &0 \\ 4 a+b&= &\dfrac{3}{16} \\ \\6a+b& =& \dfrac {1}{16}  \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d &= &0 \\ c& = &0 \\ 2a&= &\dfrac{-2}{16} \\ \\6a+b& =& \dfrac {1}{16}  \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} a &= &-\dfrac{ 1}{16}\\ \\ b& = &\dfrac{7}{16} \\ \\ c& = &0 \\ d &= &0 \end{matrix}\right.

Conclusion : f(x)=-\dfrac{1}{16}x^3+\dfrac{7}{16}x^2

La fonction f vérifie toutes les contraintes

2. Les fonctions f et g étant égales, on peut affirmer que g vérifie toutes les contraintes.

Raccordements de courbes : image 5


exercice 3

1. A(0;0) appartientCf signifie f(0)=0
B(4;1) appartientCf signifie f(4)=1
La tangente en A à [/smb]Cf est horizontale signifie f'(0)=0
La tangente en B à [/smb]Cf est horizontale signifie f'(4)=0

2. f(x)=ax^3+bx^2+cx+d donc f'(x)=3ax^2+2bx+c
En reprenant les quatre conditions trouvées en 1. on obtient

\left\lbrace\begin{matrix} f(0) &= &0 \\ f(4)& = &1 \\ f'(0) &= &0 \\ f'(4) &= &0 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d&= &0 \\ 64a+16b+4c+d &= &1 \\ c&= &0 \\ 48a+8b+c& = & 0 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} d &= &0 \\ c& = &0 \\ a&= &-\dfrac{1}{32} \\ \\ b&= &\dfrac{3}{16} \end{matrix}\right.

Conclusion : f(x)=-\dfrac{1}{32}x^3+\dfrac{3}{16}x^2

Raccordements de courbes : image 9
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