Fiche de mathématiques
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Exercices sur la dérivation

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Pensez à réviser le cours sur la dérivation pour ces exercices.

exercice 1

Calculer le nombre dérivé de f en a :

1. f : x \mapsto 2x - 3 ; a = 0

2. f : x \mapsto 3x^2 + 2x - 1 ; a = 2

3. f : x \mapsto \dfrac{x-2}{x-3} ; a = 2

4. f : x \mapsto \sqrt{5-x} ; a = 4




exercice 2

Déterminer la fonction dérivée f' de f :

1. f : x \mapsto 2x^3 - 5x^2 + x + 1

2. f : x \mapsto (2 - x)^3

3. f : x \mapsto \dfrac{4}{x}

4. f : x \mapsto \dfrac{-2}{x-1}

5. f : x \mapsto \dfrac{2x-1}{x+2}

6. f : x \mapsto 3x-5+\dfrac{3}{2x}

7. f : x \mapsto x^2+\sqrt{x}

8. f : x \mapsto \sqrt{5x-4}




exercice 3

Écrire une équation de la tangente à la courbe (C) représentative de f au point A d'abscisse a :

1. f : x \mapsto -x^2 + 2x + 3 ; a = -1

2. f : x \mapsto \dfrac{x+3}{x-2} ; a = 3

3. f : x \mapsto \dfrac{x^2+x+1}{x+2} ; a = 1




exercice 4

Étudier le sens de variation et établir le tableau de dérivation des fonctions f considérées dans l'exercice 3.



exercice 1

Cet énoncé, donné sans préciser les prérequis, peut être traité de deux manières.

Ou bien vous débutez la notion de dérivabilité en un point, et cette question va être traitée à l'aide du taux d'accroissement.
Dans tout ce qui suit, h est un réel non nul qui tend vers 0.

1. f(x)= 2x - 3 ; en a = 0
f(0)=-3 et f(0+h)=2(0+h)-3=2h-3
On calcule le taux de variation entre ces deux valeurs : \tau=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{2h-3-(-3)}{h}=\dfrac{2h}{h}=2
Une fois ce taux simplifié, on cherche si celui-ci a une limite finie lorsque h tend vers 0.
Or \displaystyle\lim_{h\to 0}(\tau)= \displaystyle\lim_{h\to 0}(2)=2
La limite de ce taux existe et est finie, donc f est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 vaut 2. On écrit f'(0)=2.

2. f(x)=3x^2 + 2x - 1 ; a = 2
f(2)=15 et f(2+h)=(3(2+h)^2+2(2+h)-1=3h^2+14h+15
On calcule le taux de variation : \tau=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(3h^2+14h+15)-15}{h}=\dfrac{3h^2+14h}{h}=\dfrac{h(3h+14)}{h}=3h+14
Or \displaystyle\lim_{h\to 0}(\tau)=\displaystyle\lim_{h\to 0}(3h+14)=14
On en conclut que la fonction est dérivable en 2 et que son nombre dérivé en 2 vaut 14 ; on peut écrire f'(2)=14.


3. f(x)=\dfrac{(x-2)}{(x-3)} ; a = 2 avec  x \neq 3
 f(2)=0 \text{ et } f(2+h)=\dfrac{(2+h-2)}{(2+h-3} = \dfrac{h}{(h-1)}
On calcule le taux de variation :
 \tau=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{ \dfrac{h}{(h-1)} }{h}=\dfrac{h}{h(h-1)}=\dfrac{1}{h-1}
Or \displaystyle\lim_{h\to 0}(\tau)=\displaystyle\lim_{h\to 0}(\dfrac{1}{h-1}) = -1
On en conclut que la fonction est dérivable en 2 et que son nombre dérivé en 2 vaut -1 ; on peut écrire f'(2)=-1.

4. f(x)= \sqrt{5-x} \; ; \;a = 4
f(4)=1 \text{ et  } f(4+h)=\sqrt{5-4-h} = \sqrt{1-h}
On calcule le taux de variation : \tau=\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{ \sqrt{1-h} - 1} {h}
On multiplie le numérateur et le dénominateur par  \sqrt{1-h}+1 qui est l'expression conjuguée de  \sqrt{1-h}-1 d'où :
 \tau=\dfrac{( \sqrt{1-h} - 1)(\sqrt{1-h}+1)} {h(\sqrt{1-h}+1)}
 \tau = \dfrac{1-h-1}{h( \sqrt{1-h}+1)} = \dfrac{-h}{h( \sqrt{1-h}+1)} = \dfrac{-1}{( \sqrt{1-h}+1)}
or \displaystyle\lim_{h\to 0}(\tau)=\displaystyle\lim_{h\to 0}(\dfrac{-1}{( \sqrt{1-h}+1)}) = \dfrac{-1}{2}
On en conclut que la fonction est dérivable en 4 et que son nombre dérivé en 4 est -1/2. On peut écrire f'(4)=\frac{-1}{2}.

Ou bien vous connaissez déjà les fonctions dérivées et il suffit alors de rédiger ainsi :
1. f(x)= 2x - 3 ; a = 0
Calculons la dérivée de f, on a :
f'(x)=2\times1-0=2
Donc la dérivée de cette fonction est constante, et le nombre dérivé de f en a=0 est donc:
f'(0)=2

2. f(x)=3x^2 + 2x - 1 ; a = 2
Calculons la dérivée de f, on a :
f'(x)=3\times2x+2-0=6x+2
Le nombre dérivé de f en a=2 est donc, 6\times2+2
f'(2)=14

3. f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}; a = 2
Calculons la dérivée de f, on a :
f'(x)=\dfrac{1\times(x-3)-(x-2)\times1}{(x-3)^2}=-\dfrac{1}{(x-3)^2}
Le nombre dérivé de f en a=2 est donc, -\dfrac{1}{(2-3)^2}=-1
f'(2)=-1

4. f(x)=\sqrt{5-x}; a = 4
Calculons la dérivée de f, on a :
f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{5-x}}
Le nombre dérivé de f en a=4 est donc, \dfrac{-1}{2\sqrt{5-4}}=-\dfrac{1}{2}
f'(4)=-\dfrac{1}{2}


Tracé de la tangente :
Lors de ce type d'exercice, il peut être demandé de tracer la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse a.
Pour cela il est inutile de chercher une équation de la tangente, il suffit de tracer un vecteur directeur de la tangente, en en connaissant son coefficient directeur;
Exemple : Soit f(x)=\dfrac{1}{x}, fonction dont la courbe est connue depuis la classe de seconde. On aimerait tracer la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. Il est facile de montrer que f'(2)=-\dfrac{1}{4}.
La tangente au point de la courbe d'abscisse 2 admet donc pour coefficient directeur -\dfrac{1}{4}
On place le point de la courbe A(2\,;\,\frac{1}{2}), et on trace à partir de A un vecteur directeur \overrightarrow{U}(1\,;\,-\dfrac{1}{4}) ou pour plus de commodité, un vecteur directeur colinéaire au précédent \overrightarrow{V}(4;\,-1)
Quatre exercices d'application sur la dérivation - première : image 11


exercice 2

1. f(x)=2x^3-5x^2+x+1
f'(x)=6x^2-10x+1

2. f(x)=(2-x)^3
On se sert de (u^n)'=nu^{n-1}.u' en posant u(x)=(2-x)
f'(x)=3(2-x)^2\times(-1)
f'(x)=-3(2-x)^2

3. f(x)=\dfrac{4}{x}
Cette expression peut s'écrire : 4\times\dfrac{1}{x}
De plus, \dfrac{1}{x} est une fonction usuelle. On sait que sa dérivée vaut \dfrac{-1}{x^2}.
Soit : f'(x)=4\times\dfrac{-1}{x^2}.
f'(x)=\dfrac{-4}{x^2}

4. f(x)=\dfrac{-2}{x-1}
On va se servir de \left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2} en posant v(x)=x-1
f'(x)=-2\times\dfrac{-1}{(x-1)^2}
f'(x)=\dfrac{2}{(x-1)^2}

5. f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}
On se sert donc de : \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} en posant u(x)=2x-1 et v(x)=x+2
Ce qui donne : f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}
f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}

6. f(x)=3x-5+\dfrac{3}{2x}
La dérivée de f est f'(x)=3-\dfrac{6}{4x^2}
f'(x)=3 - \dfrac{3}{2x^2}

7. f(x)=x^2+\sqrt{x}
f'(x)=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

8. f(x)=\sqrt{5x-4} . On va se servir de \left(\sqrt{u}\right)\,'=\dfrac{u\,'}{2\sqrt{u}} avec u(x)=5x-4
f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}}


\large\textbf{\red{EXERCICES 3 et 4}}

Pour étudier les variations d'une fonction, on peut en calculer la dérivée afin d'étudier le signe de cette dernière.

1. f(x) =-x^2+ 2x + 3 et a = -1.
La fonction f est une fonction ploynôme définie et dérivable sur R.
Calculons la dérivée de f, on a :
f'(x)=-2x+2
Une équation de la tangente peut s'écrire y= f'(a)(x-a )+f(a), calculons la pour a=-1, on a:
y= -(-1)^2 + 2 \times (-1) + 3 + (-2 \times (-1) + 2)(x + 1)
y = -1 - 2 + 3 + 4(x + 1)
On en déduit donc que la tangente à la courbe représentative de f au point de la courbe d'abscisse -1 est :
y = 4x + 4

Étudions le signe de la dérivée qui est f'(x) = -2x+2.
La dérivée est donc positive sur ]-\infty ; 1 [ et négative sur ] 1 ;+\infty[

\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} 4 & \decroit & \niveau{1}{2} \\ \hline \end{tabvar}
La fonction f est donc croissante sur ]-\infty ; 1 [ et décroissante sur ] 1 ;+\infty[.

2. f(x) =\dfrac{x+3}{x-2}
La fonction f est le quotient de deux fonctions polynômes. C'est une fonction rationnelle, définie et dérivable partout où elle est définie c'est à dire sur ]-\infty\;;\;2[ \text{ et sur } ]2\;;\;+\infty[
Calculons sa dérivée à l'aide de \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
On a donc:
f'(x)=\dfrac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^2}
f'(x)=\dfrac{x-2-x-3}{(x-2)^2}
f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}
Pour a=3 on a donc f'(a)=\dfrac{-5}{(3-2)^2}=-5
La tangente à la courbe (C) représentative de f au point A de la courbe d'abscisse a admet donc pour équation :

y=-5(x-3)+\dfrac{3+3}{3-2}=6-5x+15
y=-5x+21

Étudions le signe de la dérivée qui est f'(x) =\dfrac{-5}{(x-2)^2}
-5 ne s'annule jamais et (x-2)^2 s'annule en 2 en restant positif.

\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & &2 && & +\infty \\ \hline f'(x) & & - && \|& & - & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \decroit & \niveau{2}{2}& \|& \decroit & \niveau{1}{2}& \\ \hline \end{tabvar}
La dérivée est donc toujours négative, la fonction f est donc décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.



3. f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+2} et a = 1
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\setminus\lbrace -2\rbrace et est dérivable partout où elle est définie comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.
La fonction f est donc dérivable sur ]-\infty\;;\;-2[ \text{ et sur } ]-2\;;\;+\infty[

Calculons sa dérivée à l'aide de \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
On a donc :

f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+1}{(x+2)^2}
Une équation de la tangente peut s'écrire : y=f'(a)(x-a)+f(a). Déterminons la pour a=1, on a:
f'(1)=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}
y= 1+\dfrac{2}{3}(x-1)=1+\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{3}
y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}
On en déduit donc une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point de la courbe d'abscisse 1 , qui est : y =\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}

Étudions le signe de la dérivée :
Sur l'ensemble de définition de f , le dénominateur est strictement positif (carré non nul), donc la dérivée a le même signe que son numérateur qui est x^2+4x+1
Les racines de ce polynôme du second degré sont -2-\sqrt{3}\text{ et } -2+\sqrt{3}, et ce polynôme du second degré est donc du signe du coefficient de x^2 c'est à dire positif à l'extérieur des racines, et négatif entre les racines.
La dérivée est donc positive sur ]-\infty ; -2-\sqrt{3} [ \cup ]-2+\sqrt{3} ;+\infty[ et négative sur ]-2-\sqrt{3} ; -2+\sqrt{3}[.
On en déduit que la fonction f est croissante sur ]-\infty ; -2-\sqrt{3}[ \cup ]-2+\sqrt{3} ; +\infty[ et décroissante sur ]-2-\sqrt{3} ; -2+\sqrt{3}[.
On récapitule ces informations dans un tableau de variations (qui ici n'est pas complet car ne comporte pas les valeurs limites de f).

\begin{tabvar}{|c|CCCCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & -2-\sqrt{3} & & -2 & & -2+\sqrt{3} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline f & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} \niveau{2}{2} & \decroit & \niveau{1}{2} & \croit & \niveau{2}{2} \\ \hline \end{tabvar}
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