Fiche de mathématiques
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Exercices sur les dérivées

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exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, \vec{i}, \vec{j}).
(C1), (C2) et (C3) désignent respectivement les courbes représentatives des fonctions f, g et h définies par :
f(x)=x^2+1 , g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{1}{2} , h(x)=-x^2+4x-1


1. Établir les tableaux de variations de f, g et h.

2. Montrer que le point A(1; 2) est commun aux trois courbes (C1), (C2) et (C3) et que ces trois courbes admettent en A la même tangente (T).

3. Écrire une équation de (T) et étudier la position de chacune des courbes par rapport à (T).

4. Tracer (T), (C1), (C2) et (C3).

5. Chacune des courbes (C1), (C2) et (C3) admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=-2x ? Si oui, préciser en quel point et écrire leur équation.




exercice 2

On se propose d'étudier la fonction numérique f dont on donne ci-dessous le tableau de variation :
3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 1


1. Préciser les ensembles de définition de f et de f'.

2. Quelles sont les limites de f aux bornes des intervalles de son ensemble de définition ?
Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative (C) de f.

3. Écrire les équations des tangentes à (C) que le tableau de variation permet de connaître.

4. Préciser les extrema de f.

5. Ébaucher la courbe (C) dans un repère (0, \vec{i}, \vec{j}).

6. Indiquer le nombre de solutions de l'équation : f(x) = 0 .

7. Trouver un réel m tel que l'équation : f(x) = m n'admette qu'une seule solution.




exercice 3

1. Étudier suivant les valeurs de x le signe de l'expression P(x)=(x-2)^2(x^2+4x+36)

2. f est la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\dfrac{x^3+x^2+12x+76}{x^2+12} .
Déterminer les 3 réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait : f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+12}

3. Calculer la dérivée de la fonction f ; vérifier que l'on a : f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^2+12)^2}
En déduire le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variation de f.

4. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, \vec{i}, \vec{j}), on désigne par (D) la droite d'équation y=x+1 et par (C) la courbe représentative de f. Étudier la position de (C) par rapport à (D).
Calculer \displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)] et interpréter graphiquement le résultat.

5. Construire (D) et (C)


Guides


GUIDE exercice 1

1. f,g, h sont des fonctions polynômes du second degré.
2. On vérifie que f(1) = g(1) = h(1) = 2 et que f'(1) = g'(1) = h'(1).
3. La position relative de 2 courbes d'équations y = k(x) et y = l(x) se fait en étudiant le signe de k(x) - l(x).
5. À quelle condition (portant sur les coefficients directeurs) deux droites sont elles parallèles ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point ?

GUIDE exercice 2

2. Si \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = a alors la droite d'équation y = a est asymptote horizontale à (C).
Si \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \infty alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à (C).
6. Le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 est le nombre de points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.



exercice 1

1. Les fonctions f, g et h sont dérivables sur \mathbb{R} car polynomiales.

f'(x) = 2x
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 0 & & +\infty \\ \hline f & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}

g'(x) = x+1
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & -1 & & +\infty \\ \hline g & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}

h'(x) = -2x+4
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 2 & & +\infty \\ \hline h & \niveau{1}{2} -\infty & \croit & \niveau{2}{2} 3 & \decroit & \niveau{1}{2} -\infty \\ \hline \end{tabvar}

2. Le point A(1;2) appartient aux courbes (C_1), (C_2) et (C_3) puisque f(1) = g(1) = h(1) = 2.
Définition :
La tangente à la courbe représentative de f au point A(a;f(a)) a pour équation :
y = f'(a)(x-a)+f(a)



On a : f'(1) = g'(1) = h'(1) = 2 , les trois courbes ont même tangente au point A(1;2).

3. La tangente (T) a pour équation : y = 2(x-1)+2, soit : y = 2x.
On étudiera pour chacune des fonctions f,g, h le signe de la différence avec cette équation de tangente afin de déterminer la position de (C_1) (respectivement (C_2) et (C_3)) par rapport à (T).
x^2 + 1 - 2x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.
(x-1)^2 = 0
x = 1.

La courbe (C_1) est toujours au dessus de la tangente.

\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{1}{2} - 2x = \dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{1}{2} =  \frac{1}{2} (x^2-2x+1) = \frac{1}{2}(x-1)^2.

La courbe (C_2) est toujours au dessus de la tangente.

-x^2+4x-1-2x = -x^2+2x-1 = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2.

La courbe (C_3) est toujours en dessous de la tangente.

4.
3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 2


5. S'il existe des tangentes parallèles à la droite d'équation y = -2x alors elles ont même coefficient directeur, c'est à dire -2, qui est le nombre dérivé.

On résout alors :

f'(x) = -2, g'(x) = -2 et h'(x) = -2

On trouve respectivement x=-1, x=-3 et x=3

Puis on calcule f(-1), g(-3) et h(3)

f(-1) = 2, g(-3) = 2, h(3) = 2

On a en somme les équations des tangentes :
Tangente à (C_1) au point (-1;2) : y = -2(x+1)+2, soit y = -2x.
Tangente à (C_2) au point (-3;2) : y = -2(x+3)+2, soit y = -2x - 4.
Tangente à (C_3) au point (3;2) : y = -2(x-3)+2, soit y = -2x + 8.


exercice 2.

L'ensemble de définition de f est \mathcal{D}_f=\R\setminus\ \left\lbrace{-1\right\rbrace}

L'ensemble de définition de f' est \mathcal{D}_{f'}=\R\setminus\left\lbrace{-1\right\rbrace}

Donc ne pas oublier la présence d'une double barre en -1

Les limites

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1\qquad \lim_{\stackrel{x\to-1}{x<-1}} f(x)=-\infty\qquad \lim_{\stackrel{x\to-1}{x>-1}} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=2
Il y a donc 3 asymptotes ,

deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses :

une au voisinage de -\infty d'équation   y=1
une au voisinage de +\infty d'équation  y=2

enfin, une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées :
d'équation  x=-1 car f n'est pas définie en ce point et les limites quand x tend vers -1 sont infinies

3) Tangentes aux points où la dérivée est donnée y=f'(a)(x-a)+f(a)

tangente en \dfrac{-5}{2}\quad y=4 la dérivée est nulle et f(-\frac{5}{2})=4

tangente en  0  y=-x on a f'(0)=-1 \quad f(0)=0 on a alors  y=-1(x-0)+0

tangente en 1\quad y=-1 la dérivée est nulle et f(1)=-1

tangente en \dfrac{7}{2}\quad y=1 la dérivée est nulle et f(\frac{7}{2})=1

4) Extrema locaux

fadmet un maximum local en -\dfrac{5}{2} égal à 4 et un minimum local en 1 égal à-1.
En ces points la dérivée s'annule en changeant de signes.

5) Courbe
3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 3


6)L'équation f(x)=0 admet trois solutions

une entre -\dfrac{5}{2} et -1 la fonction décroît de 4 à -\infty on passe donc par 0

une en 0

une entre 1 et \dfrac{7}{2} la fonction croît de -1 à +\infty

7) L'équation f(x)=m admet une seule solution pour m\in]-\infty~;~-1[ \cup]4~;~+\infty[

Graphiquement la droite d'équation y=m ne doit couper la courbe représentative de f qu'une seule fois


exercice 3.


1. On a : (x-2)^2(x^2+4x+36) = (x-2)^2\left((x+2)^2+32\right)

Donc  P(x) est toujours positif (et s'annule pour  x=2).

2. ax+b+\dfrac{c}{x^2+12}=\dfrac{(ax+b)(x^2+12)+c}{x^2+12}=\dfrac{ax^3+bx^2+12ax+12b+c}{x^2+12}

Par identification des coefficients du numérateur avec ceux du numérateur de f(x) on obtient :
 a = 1, b=1, 12b+c=76 et par conséquent c=64

Donc f(x)=x+1+\dfrac{64}{x^2+12}

3. f(x)=x+1+\dfrac{64}{x^2+12}=x+1+64\dfrac{1}{x^2+12}

- En utilisant les formules (u+v)'=u'+v', (ku)'=ku' et \left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}

on obtient f'(x)=1+64\dfrac{-2x}{(x^2+12)^2})=\dfrac{(x^2+12)^2-128x}{(x^2+12)^2}

Et donc f'(x)=\dfrac{x^4+24x^2-128x+144}{(x^2+12)^2}

- Par ailleurs P(x)=(x-2)^2(x^2-4x+36)=(x^2-4x+4)(x^2-4x+36)

donc P(x)= x^4+24x^2-128x+144

- Au final on a donc bien f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^2+12)^2}

De la première question on en déduit alors que f'(x) est toujours positive et ne s'annule que pour x=2.

Tableau de variations.
3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 4


4. La position de (C) par rapport à (D) dépend du signe de f(x)-(x+1)

Or f(x)-(x+1)= \dfrac{64}{x^2+12}, donc quel que soit x on a f(x)-(x+1)>0,

On en déduit que (C) est toujours au-dessus de (D).

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^2+12)=+\infty donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{64}{x^2+12}=0

On en déduit que (D) est asymptote à (C) au voisinage de + \infty

Remarque: on peut démontrer de la même façon que (D) est également asymptote à (C) au voisinage de -\infty

5.
3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 5
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