Fiche de mathématiques

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Exercices sur les dérivées

exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).
(C₁), (C₂) et (C₃) désignent respectivement les courbes représentatives des fonctions $f$ , $g$ et $h$ définies par :
$f(x)=x^2+1$ , $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{1}{2}$ , $h(x)=-x^2+4x-1$

1. Établir les tableaux de variations de $f$ , $g$ et $h$ .

2. Montrer que le point A(1; 2) est commun aux trois courbes (C₁), (C₂) et (C₃) et que ces trois courbes admettent en A la même tangente (T).

3. Écrire une équation de (T) et étudier la position de chacune des courbes par rapport à (T).

4. Tracer (T), (C₁), (C₂) et (C₃).

5. Chacune des courbes (C₁), (C₂) et (C₃) admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation $y=-2x$ ? Si oui, préciser en quel point et écrire leur équation.

exercice 2

On se propose d'étudier la fonction numérique f dont on donne ci-dessous le tableau de variation :

3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 1

1. Préciser les ensembles de définition de f et de f'.

2. Quelles sont les limites de f aux bornes des intervalles de son ensemble de définition ?
Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative (C) de f.

3. Écrire les équations des tangentes à (C) que le tableau de variation permet de connaître.

4. Préciser les extrema de f.

5. Ébaucher la courbe (C) dans un repère (0, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

6. Indiquer le nombre de solutions de l'équation : f(x) = 0 .

7. Trouver un réel m tel que l'équation : f(x) = m n'admette qu'une seule solution.

exercice 3

1. Étudier suivant les valeurs de $x$ le signe de l'expression $P(x)=(x-2)^2(x^2+4x+36)$

2. $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x^3+x^2+12x+76}{x^2+12}$ .
Déterminer les 3 réels $a$ , $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ , on ait : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+12}$

3. Calculer la dérivée de la fonction $f$ ; vérifier que l'on a : $f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^2+12)^2}$
En déduire le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$ .

4. Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ), on désigne par (D) la droite d'équation $y=x+1$ et par (C) la courbe représentative de $f$ . Étudier la position de (C) par rapport à (D).
Calculer $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement le résultat.

5. Construire (D) et (C)

Guides

GUIDE exercice 1

1. $f$ , $g$ , $h$ sont des fonctions polynômes du second degré.
2. On vérifie que $f(1) = g(1) = h(1) = 2$ et que $f'(1) = g'(1) = h'(1)$ .
3. La position relative de 2 courbes d'équations $y = k(x)$ et $y = l(x)$ se fait en étudiant le signe de $k(x) - l(x)$ .
5. À quelle condition (portant sur les coefficients directeurs) deux droites sont elles parallèles ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point ?

GUIDE exercice 2

2. Si $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = a$ alors la droite d'équation $y = a$ est asymptote horizontale à (C).
Si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \infty$ alors la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à (C).
6. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ est le nombre de points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.

Voir la correction

exercice 1

1. Les fonctions f, g et h sont dérivables sur $\mathbb{R}$ car polynomiales.

$f'(x) = 2x$
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 1 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

$g'(x) = x+1$
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ \hline g & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

$h'(x) = -2x+4$
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline h & \niveau{1}{2} -\infty & \croit & \niveau{2}{2} 3 & \decroit & \niveau{1}{2} -\infty \\ \hline \end{tabvar}$

2. Le point $A(1;2)$ appartient aux courbes $(C_1)$ , $(C_2)$ et $(C_3)$ puisque $f(1) = g(1) = h(1) = 2$ .

Définition :

La tangente à la courbe représentative de f au point A(a;f(a)) a pour équation :
y = f'(a)(x-a)+f(a)

On a : $f'(1) = g'(1) = h'(1) = 2$ , les trois courbes ont même tangente au point A(1;2).

3. La tangente (T) a pour équation : $y = 2(x-1)+2$ , soit : $y = 2x$ .
On étudiera pour chacune des fonctions $f$ , $g$ , $h$ le signe de la différence avec cette équation de tangente afin de déterminer la position de $(C_1)$ (respectivement $(C_2)$ et $(C_3)$ ) par rapport à (T).
$x^2 + 1 - 2x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ .
$(x-1)^2 = 0$
$x = 1$ .

La courbe $(C_1)$ est toujours au dessus de la tangente.

$\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{1}{2} - 2x = \dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{1}{2} = \frac{1}{2} (x^2-2x+1) = \frac{1}{2}(x-1)^2$ .

La courbe $(C_2)$ est toujours au dessus de la tangente.

$-x^2+4x-1-2x = -x^2+2x-1 = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$ .

La courbe $(C_3)$ est toujours en dessous de la tangente.

4.

3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 2

5. S'il existe des tangentes parallèles à la droite d'équation $y = -2x$ alors elles ont même coefficient directeur, c'est à dire -2, qui est le nombre dérivé.

On résout alors :

$f'(x) = -2$ , $g'(x) = -2$ et $h'(x) = -2$

On trouve respectivement $x=-1$ , $x=-3$ et $x=3$

Puis on calcule $f(-1)$ , $g(-3)$ et $h(3)$

$f(-1) = 2$ , $g(-3) = 2$ , $h(3) = 2$

On a en somme les équations des tangentes :
Tangente à $(C_1$ ) au point (-1;2) : $y = -2(x+1)+2$ , soit $y = -2x$ .
Tangente à $(C_2)$ au point (-3;2) : $y = -2(x+3)+2$ , soit $y = -2x - 4$ .
Tangente à $(C_3)$ au point (3;2) : $y = -2(x-3)+2$ , soit $y = -2x + 8$ .

exercice 2.

L'ensemble de définition de $f$ est $\mathcal{D}_f=\R\setminus\ \left\lbrace{-1\right\rbrace}$

L'ensemble de définition de $f'$ est $\mathcal{D}_{f'}=\R\setminus\left\lbrace{-1\right\rbrace}$

Donc ne pas oublier la présence d'une double barre en $-1$

Les limites

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1\qquad \lim_{\stackrel{x\to-1}{x<-1}} f(x)=-\infty\qquad \lim_{\stackrel{x\to-1}{x>-1}} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$
Il y a donc 3 asymptotes ,

deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses :

une au voisinage de $-\infty$ d'équation $y=1$
une au voisinage de $+\infty$ d'équation $y=2$

enfin, une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées :
d'équation $x=-1$ car $f$ n'est pas définie en ce point et les limites quand $x$ tend vers $-1$ sont infinies

3) Tangentes aux points où la dérivée est donnée $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

tangente en $\dfrac{-5}{2}\quad y=4$ la dérivée est nulle et $f(-\frac{5}{2})=4$

tangente en $0 y=-x$ on a $f'(0)=-1 \quad f(0)=0$ on a alors $y=-1(x-0)+0$

tangente en $1\quad y=-1$ la dérivée est nulle et $f(1)=-1$

tangente en $\dfrac{7}{2}\quad y=1$ la dérivée est nulle et $f(\frac{7}{2})=1$

4) Extrema locaux

$f$ admet un maximum local en $-\dfrac{5}{2}$ égal à 4 et un minimum local en 1 égal à $-1$ .
En ces points la dérivée s'annule en changeant de signes.

5) Courbe

3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 3

6)L'équation $f(x)=0$ admet trois solutions

une entre $-\dfrac{5}{2}$ et $-1$ la fonction décroît de 4 à $-\infty$ on passe donc par 0

une en 0

une entre $1$ et $\dfrac{7}{2}$ la fonction croît de $-1$ à $+\infty$

7) L'équation $f(x)=m$ admet une seule solution pour $m\in]-\infty~;~-1[ \cup]4~;~+\infty[$

Graphiquement la droite d'équation $y=m$ ne doit couper la courbe représentative de $f$ qu'une seule fois

exercice 3.

1. On a : $(x-2)^2(x^2+4x+36) = (x-2)^2\left((x+2)^2+32\right)$

Donc $P(x)$ est toujours positif (et s'annule pour $x=2$ ).

2. $ax+b+\dfrac{c}{x^2+12}=\dfrac{(ax+b)(x^2+12)+c}{x^2+12}=\dfrac{ax^3+bx^2+12ax+12b+c}{x^2+12}$

Par identification des coefficients du numérateur avec ceux du numérateur de $f(x)$ on obtient :
$a = 1$ , $b=1$ , $12b+c=76$ et par conséquent $c=64$

Donc $f(x)=x+1+\dfrac{64}{x^2+12}$

3. $f(x)=x+1+\dfrac{64}{x^2+12}=x+1+64\dfrac{1}{x^2+12}$

- En utilisant les formules $(u+v)'=u'+v'$ , $(ku)'=ku'$ et $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$

on obtient $f'(x)=1+64\dfrac{-2x}{(x^2+12)^2})=\dfrac{(x^2+12)^2-128x}{(x^2+12)^2}$

Et donc $f'(x)=\dfrac{x^4+24x^2-128x+144}{(x^2+12)^2}$

- Par ailleurs $P(x)=(x-2)^2(x^2-4x+36)=(x^2-4x+4)(x^2-4x+36)$

donc $P(x)= x^4+24x^2-128x+144$

- Au final on a donc bien $f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^2+12)^2}$

De la première question on en déduit alors que $f'(x)$ est toujours positive et ne s'annule que pour $x=2$ .

Tableau de variations.

3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 4

4. La position de $(C)$ par rapport à $(D)$ dépend du signe de $f(x)-(x+1)$

Or $f(x)-(x+1)= \dfrac{64}{x^2+12}$ , donc quel que soit x on a $f(x)-(x+1)>0$ ,

On en déduit que $(C$ ) est toujours au-dessus de $(D)$ .

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(x^2+12)=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{64}{x^2+12}=0$

On en déduit que $(D)$ est asymptote à $(C)$ au voisinage de $+ \infty$

Remarque: on peut démontrer de la même façon que $(D)$ est également asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$

5.

3 exercices de dérivation avec des guides - 1ère : image 5

Publié par Tom_Pascal le 13-01-2020

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