Fiche de mathématiques
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Exercices sur l'échantillonnage

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Exercice 1

Ce lot est-il conforme ?


Un grand collectionneur d'oeuvres d'art veut vendre sa collection de 10 000 oeuvres à un musée d'art antique. Il assure au directeur que 30% de sa collection date de l'antiquité. Le directeur ne peut vérifier l'intégralité de la collection dans le délai que lui laisse le vendeur. Il mandate donc un expert pour examiner 200 oeuvres tirées au sort. L'expert, supposé infaillible, déclare que 52 oeuvres datent bien de l'antiquité.


Question : Le directeur peut-il croire l'affirmation du vendeur ?

Exercice 2

Ce dé est-il truqué ?

Mon voisin de train me propose un jeu pour passer le temps : à chaque partie, on lance un dé à six faces et si le numéro sorti est strictement plus grand que 3 je lui donne un Euro, et sinon c'est lui qui me donne un Euro. Au bout de 100 parties je constate que je lui dois 30 Euros. Je me demande si son dé n'est pas truqué...

1. Si le dé n'est pas truqué, quelle est la probabilité p que je gagne une partie ?
2. Combien de parties ai-je gagnées sur les 100 jouées ?
3. Donner un intervalle de fluctuation à 95% pour la fréquence de mes victoires.
4. Ma fréquence de victoires sur les 100 parties est-elle dans cet intervalle ? Conclure.

Exercice 3

Evolution de la parité au sein des conseils d'administration

Le nouveau ministre de l'égalité des chances observe que 20% seulement des sièges des conseils d'administration des entreprises cotées en bourse sont occupés par des femmes. Il fait passer une loi incitant les entreprises à un meilleur équilibre et promet que grâce à cette loi, la présence féminine dans les conseils d'administration doublera dans les trois ans.

Trois ans après le passage de la loi, il souhaite savoir si sa loi a eu un effet et si sa promesse est tenue. Il fait procéder à une enquête sur 400 membres de conseils d'administration tirés au sort. D'après l'enquête, 108 de ces membres sont des femmes.

1. Peut-on dire que la proportion de femmes a changé en trois ans ?
2. La promesse du ministre a-t-elle été tenue ?




Rappel :
Au sein d'un échantillon de taille n \ge 25 l'intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% de la fréquence f d'un événement de probabilité 0,2 \le p \le 0,8 est :

\boxed{  IF_{95\%} = \left[\, p - \frac{1}{\sqrt{n}}  \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}} \,\right]  }

Exercice 1

Si l'affirmation du vendeur est vraie, chaque oeuvre expertisée a une probabilité p = 0,30 d'être antique. Donc sur l'échantillon aléatoire de n = 200 oeuvres, l'intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% est :
IF95 = [ 0,30 - 1/racine200 ; 0,30 + 1/racine200 ] = [ 0,30 - 0,07 ; 0,30 + 0,07 ] = [ 23% ; 37% ]

La fréquence d'oeuvres identifiées comme antiques par l'expert est f = 52/200 = 26%. Cette fréquence est bien dans l'intervalle de fluctuation. Le directeur peut donc faire confiance au vendeur au seuil de 95%.

Exercice 2

1. Si le dé n'est pas truqué, chaque face est équiprobable avec une probabilité 1/6 d'apparaître.
Pour gagner je dois faire 1, 2 ou 3. J'ai donc 3 chances sur 6, donc une probabilité de victoire p = 3/6 = 1/2

2. Si je dois 30 Euros après 100 parties, c'est que j'ai 35 victoires (et 65 défaites).

3. IF95 = [ 0,50 - 1/racine100 ; 0,50 + 1/racine100 ] = [ 0,50 - 0,10 ; 0,50 + 0,10 ] = [ 0,40 ; 0,60 ]

4. La fréquence de mes victoires est f = 35/100 = 0,35.
Cette fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation. Donc au seuil de 95%, je peux considérer que ma probabilité de victoire à chaque lancer n'est pas p=0,50 et donc que le dé est probablement truqué.

---
Remarque 1 : on considère ici les 100 parties jouées comme un échantillon aléatoire de n événements de probabilité constante p.
---
Remarque 2 : un dé peut être truqué en le lestant lors de sa fabrication. Les faces 1, 2 et 3 sont du même côté, opposées aux faces 4, 5 et 6. Donc si on alourdit le dé du côté des faces 4, 5 et 6... celles-ci sortiront plus souvent.

Exercice 3

Question 1. Peut-on dire que la proportion de femmes a changé en trois ans ?

Si rien n'a changé, la proportion de femmes dans les conseils d'administration est toujours : p = 20%
De plus n = 400 implique 1/racinen = 1/racine400 = 1/20 = 0.05 = 5%
Donc l'intervalle de fluctuation de la fréquence de femmes est :
IF95 = [ 20% - 5% ; 20% + 5% ] = [ 15% ; 25% ]

Or la fréquence observée dans l'échantillon est : f = 108/400 = 0,27 = 27%
Cette fréquence est en dehors de l'intervalle de fluctuation, elle est donc peu plausible.
On peut donc affirmer au seuil de 95% que la proportion de femmes a effectivement changé.

Question 2. La promesse du ministre a-t-elle été tenue ?

Si la promesse a été tenue, la proportion de femmes dans les conseils d'administration a doublé : p = 40%
On a toujours n = 400 implique 1/racinen = 5%
Donc l'intervalle de fluctuation de la fréquence de femmes devient :
IF95 = [ 40% - 5% ; 40% + 5% ] = [ 35% ; 45% ]

Donc la fréquence observée dans l'échantillon qui est f = 27% est en dehors de l'intervalle de fluctuation.
On peut donc affirmer au seuil de 95% que la promesse de doublement en trois ans de la proportion de femmes n'a pas été tenue.
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