Fiche de mathématiques
> >

Probabilités sur ensemble fini

Partager :
Cours de mathématiques au programme de seconde.
Prérequis : Dans ce chapitre nous ferons appel à ce qui a déjà été vu sur ce chapitre en classe de troisième.

Enjeu : L'objectif de ce chapitre est d'être capable de maîtriser le vocabulaire sur les probabilités et de raisonner sur des situations faisant appel à des notions ensemblistes. Il faudra également être capable de fournir une représentation synthétique de la situation rencontrée afin de pouvoir facilement l'exploiter.



1. Vocabulaire


Nous allons définir dans cette partie les différents termes mathématiques qui vont seront utiles tout le long du lycée dans ce domaine.

On appelle expérience aléatoire toute expérience qu'on est capable de reproduire, pour laquelle tous les résultats possibles sont déterminés et sans pourtant jamais pouvoir déterminer à l'avance celui qui sera réalisé.

Ainsi, lancer une pièce de monnaie ou un dé, tirer une boule d'une urne,... sont des expériences aléatoires.

Les résultats de ces expériences sont appelées les issues ou éventualités et elles constituent l'univers des possibilités souvent noté U ou \Omega.

Exemple : Dans le cas d'un lancer de dé à 6 faces, les différentes issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 et l'univers est \Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lorsqu'on s'intéresse à une partie de l'univers on utilise alors des événements qui sont donc un ensemble d'issues.

Exemple : En reprenant l'exemple précédent, si l'événement A est « obtenir une face paire » alors on peut écrire : A={2, 4, 6}.

Certains événements sont prévisibles. Ainsi un événement est dit certain s'il est toujours réalisé et il est dit impossible lorsqu'il n'est jamais réalisé.

Exemple : En reprenant le cadre du premier exemple « obtenir un nombre inférieur à 10 » est un événement certain et « obtenir un nombre négatif » est un événement impossible. Remarque : L'ensemble \Omega est un événement certain et l'ensemble vide, noté \emptyset, est un événement impossible.


2. Opérations sur les événements



On considère 2 événements A et B d'un univers \Omega.

On appelle union de A et B, l'ensemble des issues qui appartiennent à A ou à B. Elle est donc constituée des issues appartenant à au moins un des deux événements. On note A \cup B

Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 1


On appelle intersection de A et B, l'ensemble des issues communes à A et B. On note A \cap B.

Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 2


Remarque : Lorsque l'intersection entre deux événements est vide, on dit qu'ils sont disjoints ou incompatibles.

L'événement contraire de A, noté \overline{A}, est constitué de toutes les issues n'appartenant pas à A.

Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 3


3. Calculs de probabilités


Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire la fréquence d'apparition de chacune des issues se stabilise autour d'un nombre qu'on appellera probabilité de l'issue.

Lorsqu'on associe à chacune des issues de l'univers sa probabilité on définit la loi de probabilité de l'expérience aléatoire.

Propriété
Soit p_1, p_2,...,p_n les probabilités de chacune des issues d'un univers \Omega.
1. Pour chacune des probabilités p_i \text{ on a : } 0 \le p_i \le 1
2. p_1 + p_2 + ... + p_n = 1
3. p(\emptyset) = 0
4. p(\Omega) = 1



Exemple : Ainsi, lors d'un lancer d'un dé à 6 faces, on a p(1)+p(2)+...+p(6)=1.

Pour calculer la probabilité d'un événement A, notée p(A), on additionne les probabilités de chacune des issues.

Ainsi, dans le cas d'un lancer de dé à 6 faces, la probabilité de l'événement A « obtenir un multiple de 3 » est p(A)=p(3)+p(6).

Lorsque toutes les issues d'un univers comportant n éventualités ont la même probabilité, on dit qu'on est présence d'une situation d'équiprobabilité. La probabilité de chacune d'entre-elles est alors égale à \frac{1}{n}.

Exemple : Lors d'un lancer d'un dé à 6 faces, la probabilité d'apparition de chacune d'entre-elles est de \frac{1}{6}.

D'une manière générale, quand on veut déterminer la probabilité d'un événement A, on utilise la formule suivante \frac{\text{nombre d'issues de A}}{\text{nombre total d'issues}}.

Par conséquent, la probabilité d'«obtenir un multiple de 3 » est \frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

On a vu dans la partie précédente des opérations sur les événements. Il existe également des calculs les concernant.


Propriété
On considère deux événements A et B
1. p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)
2. p(\overline{A})=1-p(A)



4. Représentation des données


Les informations fournies dans un exercice de probabilités peuvent être représentées de plusieurs façons mais deux sont particulièrement utilisées.

Les tableaux
Ils permettent de lister les probabilités de plusieurs événements et également d'indiquer le nombre d'éléments vérifiant deux conditions en même temps à l'aide de tableaux à double entrée.

Exemple 1 :
Voici les probabilités d'apparition des faces d'un dé truqué.
Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 6

On constate qu'ici les faces n'ont pas la même probabilité d'apparition. Il n'y a donc pas équiprobabilité comme c'est le cas dans un dé équilibré.


Exemple 2 :
Dans un collège, on s'est intéressé aux élèves pratiquant certaines activités sportives tout en regardant s'ils étaient demi-pensionnaires ou non. 132 élèves sont externes. Parmi eux 54 pratiquent le rugby et 46 jouent tennis. On sait qu'au total 80 élèves jouent au rugby, autant jouent au tennis et 50 font du badminton.

On peut obtenir le tableau suivant dans lequel on a calculé les données que l'énoncé ne fournissait pas.

Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 7


En effet, puisque 132 élèves sont externes et que 100 pratiquent le rugby ou le tennis, cela signifie donc que 132 - 100 = 32 élèves font du badminton.

Puisqu'on connaît le nombre total d'élèves pratiquant chacun des trois sports, on en déduit le nombre d'élèves demi-pensionnaires associés à ces sports.

On vérifie que le nombre total d'élèves, en ligne et en colonne, est bien le même.

Ainsi, par exemple, 34 élèves demi-pensionnaires pratiquent du tennis. La probabilité qu'un élève choisi au hasard parmi les demi-pensionnaires joue au tennis est donc de \frac{34}{78} mais la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit demi-pensionnaire et joue au tennis est de \frac{34}{210}.

Il faut donc bien faire attention au contexte dans lequel on se place quand on calcule des probabilités avec ce genre de tableau. S'intéresse-t-on à la population globale ou seulement à une catégorie particulière ?

Les arbres

Une société de sondage s'intéresse aux habitudes de clients concernant deux marques de céréales A et B. 70% des personnes indiquent préférer la marque A, les autres achètent la marque B.

Quelques semaines plus tard, la société recontacte les mêmes clients et constate que 40% des clients qui avaient choisi la marque A lui sont restés fidèles, les autres ont acheté la marque concurrente. Elle constate également qu'au sein des clients qui avaient acheté la marque B, ils ont ensuite acheté, à part égale, des céréales de chacune des deux marques.

On a représenté ici la probabilité d'apparition des événements A et B puis celles de A et B quand A ou B s'est déjà produit.

Probabilités sur un ensemble fini - Cours de seconde : image 5


En multipliant les probabilités présentent sur les branches d'un chemin, on peut calculer, par exemple, la probabilité qu'un client ait acheté deux fois la marque A : 0,7×0,4=0,28.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Moderateur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1285 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !