Fiche de mathématiques

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Sujet de type Brevet

Remarque : Les notions suivantes sont nécessaires pour l'étude de ce sujet : développement, factorisation, identité remarquable, équations, le théorème de Thalès et sa réciproque et la trigonométrie

Travaux numériques (12 points)

exercice 1

1. On donne A = $\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$ . Ecrire A sous forme d'une fraction.
2. Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des nombres entiers naturels, $b$ étant le plus petit possible :
B = $2\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{20}$
3. Calculer l'expression suivante C et donner son écriture scientifique :
C = $\dfrac{150 \times 10^3 \times 8 \times 10^5}{6 \times 10^7}$

exercice 2

On considère l'expression : D = (2 $x$ + 5)² - ( $x$ + 3)(2 $x$ + 5).
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Résoudre l'équation : (2 $x$ + 5)( $x$ + 2) = 0.
4. Calculer l'expression D pour $x = -\dfrac23$ .

exercice 3

Trois enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette et le second le quart.
Le troisième prend les deux cinquièmes de ce qui reste après que le premier et le second se soient servis.
1. Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième ?
$\text{A} = 1 - \dfrac13 - \dfrac14 \times \dfrac25 \hspace{20pt} \text{B} = \left(1 - \dfrac13 - \dfrac14\right) \times \dfrac25 \hspace{20pt} \text{C} = \left(1 - \dfrac13 - \dfrac14\right) \div \dfrac25 \hspace{20pt} \text{D} = 1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14\right) \times \dfrac25$
2. Effectuer le calcul choisi.

Travaux géométriques (12 points)

exercice 1

La figure de cet exercice n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.
L'unité est le centimètre.
Sur la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne : DE = 6 AE = 10 AB = 20 et BE = 16.

1. Calculer la distance CD.
2. Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BE] et [AB]. Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16.
Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.

exercice 2

1. Effectuer avec soin les différentes constructions suivantes.
Tracer un demi-cercle ( $\mathcal{C}$ ) de centre O et de diamètre [AB] sachant que AB = 10 cm.
Placer sur ( $\mathcal{C}$ ) le point C tel que l?angle $\widehat{BAC}$ mesure 40°.
Tracer la tangente ( $\mathcal{D}$ ) à ( $\mathcal{C}$ ) en B. Celle-ci coupe la droite (AC) au point D.
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
3. Calculer les distances AC et BC (arrondir les valeurs au millimètre).
4. Déterminer les mesures exactes des angles $\widehat{ADB}$ et $\widehat{DBC}$ en justifiant vos réponses.
5. Calculer les distances CD, BD et AD (arrondir les valeurs au millimètre).

Problème (12 points)

ABC est un triangle tel que AB = 6, BC = 10 et $\widehat{ABC}$ = 120°.
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.
La figure ci-dessous est donnée à titre indicatif, on ne demande pas de la reproduire.

1. a) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{HBA}$ . En déduire BH.
    b) Calculer AH, puis l'aire du triangle ABC (on donnera les valeurs exactes).
    c) Prouver que AC = 14.
    d) Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{HCA}$ (arrondir au degré).

2. M est un point quelconque du segment [BC]. On pose CM = $x$ . ( $x$ est compris entre 0 et 10).
La parallèle à (AB) passant par M coupe [AC] en N.
    a) Exprimer en fonction de $x$ les distances suivantes : NM et NC, puis BM et AN.
    b) Déduire de la question précédente que le périmètre P₁ du triangle NMC vaut $3x$ et que le périmètre P₂ du trapèze ABMN vaut $-\dfrac95 x + 30$ .
    c) En utilisant les questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $x$ le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre. Quelle est alors la valeur de ce périmètre ?

Voir la correction

- Travaux numériques -

exercice 1

1. Écrivons A sous la forme d'une fraction :
$\text{A} = \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}\\ \text{A} = \dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{\sqrt{3^2}}\\ \text{A} = \dfrac23$

2. Écrivons B sous la forme $a\sqrt{b}$ :
$\text{B} = 2\sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{20}\\ \text{B} = 2\sqrt{9 \times 5} - 3\sqrt{5} + \sqrt{4 \times 5}\\ \text{B} = 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + \sqrt{4} \times \sqrt{5}\\ \text{B} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2 \times \sqrt{5}\\ \text{B} = 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\\ \text{B} = 5\sqrt{5}$

3. Calculons l'expression C et donnons son écriture scientifique :
$\text{C} = \dfrac{150 \times 10^3 \times 8 \times 10^5}{6 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{150 \times 8 \times 10^3 \times 10^5}{6 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{150 \times 8 \times 10^{3+5}}{6 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{150 \times 8 \times 10^8}{6 \times 10^7}\\ \text{C} = \dfrac{150 \times 8 \times 10^{8-7}}{6}\\ \text{C} = \dfrac{3 \times 5 \times 10 \times 2 \times 4 \times 10^{1}}{3 \times 2}\\ \text{C} = 5 \times 4 \times 10^{1+1}\\ \text{C} = 20 \times 10^{2}\\ \text{C} = 2 \times 10 \times 10^{2}\\ \text{C} = 2 \times 10^{3}$

exercice 2

1. Développons et réduisons D :
$\text{D} = (2x + 5)^2 - (x + 3)(2x + 5)\\ \text{D} = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 - (x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5)\\ \text{D} = 4x^2 + 20x + 25 - (2x^2 + 11x + 15)\\ \text{D} = 4x^2 + 20x + 25 - 2x^2 - 11x - 15\\ \text{D} = 2x^2 + 9x + 10$

2. Factorisons D :
$\text{D} = (2x + 5)^2 - (x + 3)(2x + 5)\\ \text{D} = (2x + 5)[(2x + 5) - (x + 3)]\\ \text{D} = (2x + 5)(2x + 5 - x - 3)\\ \text{D} = (2x + 5)(x + 2)$

3. Résolvons l'équation proposée :
(2 $x$ + 5)( $x$ + 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est égal à 0, et réciproquement.
2 $x$ + 5 = 0     ou     $x$ + 2 = 0
2 $x$ = -5     ou     $x$ = -2
$x = - \dfrac52$     ou     $x$ = -2
Les solutions de l'équation sont $-\dfrac52$ et -2.

4. Calculons l'expression D pour $x = -\dfrac23$ :
On a montré que $\text{D} = 2x^2 + 9x + 10$ , donc pour $x = -\dfrac23$ , on a :
$\text{D} = 2\left(-\dfrac23\right)^2 + 9 \times \left(-\dfrac23\right) + 10\\ \text{D} = 2 \times \dfrac49 - \dfrac{18}{3} + 10\\ \text{D} = \dfrac{8}{9} - \dfrac{54}{9} + \dfrac{90}{9}\\ \text{D} = \dfrac{44}{9}$

exercice 3

Trois enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette, soit $\dfrac13$ . Le second en prend le quart c'est-à-dire $\dfrac14$ . A eux deux, ils ont pris $\dfrac13 + \dfrac14$ de la tablette. Il reste donc $1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14\right)$ de la tablette.
Le troisième prend les deux cinquièmes de ce qui reste après que le premier et le second se soient servis, il prend donc les deux cinquièmes de $1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14\right)$ , soit $\left[1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14\right)\right] \times \dfrac25 = \left(1 - \dfrac13 - \dfrac14\right) \times \dfrac25$ .
La bonne réponse est donc la B.

2. Effectuons le calcul choisi :
$\text{B} = \left(1 - \dfrac13 - \dfrac14\right) \times \dfrac25\\ \text{B} = \left(\dfrac{12}{12} - \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12}\right) \times \dfrac25\\ \text{B} = \dfrac{5}{12} \times \dfrac25\\ \text{B} = \dfrac{1}{6}$

- Travaux géométriques -

exercice 1

1. Distance CD :
Les droites (BC) et (AD) se coupent en E et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{\text{EC}}{\text{EB}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}}$
Donc : $\dfrac{\text{EC}}{16} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{\text{CD}}{20}}$ .
De l'égalité, $\dfrac{6}{10} = \dfrac{\text{CD}}{20}$ , on déduit que : 10 × CD = 6 × 20, soit CD = $\dfrac{6 \times 20}{10}$
D'où : CD = 12 cm

2. Montrons que les droites (FG) et (AE) sont parallèles :
On a : $\dfrac{\text{BF}}{\text{BE}} = \dfrac{12,8}{16} = \dfrac{128}{160} = \dfrac45$ et $\dfrac{\text{BG}}{\text{BA}} = \dfrac{16}{20} = \dfrac45$ .
Donc : $\dfrac{\text{BF}}{\text{BE}} = \dfrac{\text{BG}}{\text{BA}}$ .
Les droites (FE) et (GA) ont sécantes en B, les points B, F, E d'une part et B, G et A d'autre part sont alignés dans le même ordre.
Comme $\dfrac{\text{BF}}{\text{BE}} = \dfrac{\text{BG}}{\text{BA}}$ , alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (AE) sont parallèles.

exercice 2

2. Montrons que le triangle ABC est rectangle :
Comme C est un point du demi-cercle de diamètre [AB], alors le triangle ABC est rectangle en C.

3. Calculons AC :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
$\cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$
Donc : $\text{AC} = \text{AB} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$ = 10 cos 40°.
D?où : AC $\approx$ 7,7 cm.

Calculons BC :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
$\sin \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$
Donc : $\text{BC} = \text{AB} \times \sin \widehat{\text{BAC}}$ = 10 sin 40°.
D'où : BC $\approx$ 6,4 cm.

4. Mesure de l'angle $\widehat{ADB}$ :
Comme la droite ( $\mathcal{D}$ ) est la tangente à ( $\mathcal{C}$ ) au point B, alors les droites (AB) et (BD) sont perpendiculaires en B. L?angle $\widehat{\text{ABD}}$ est un angle droit.

La somme des mesures des angles du triangle ABD est égale à 180°, donc :
$\widehat{\text{DAB}} + \widehat{\text{ABD}} + \widehat{\text{ADB}} = 180$ °
Or, $\widehat{\text{DAB}}$ = 40°, $\widehat{\text{ABD}} = 90$ °, donc : $\widehat{\text{ADB}}$ = 180 ? (40 + 90) = 180 ? 130 D?où : $\widehat{\text{ADB}}$ = 50°.

Mesure de l'angle $\widehat{\text{DBC}}$ :
Dans le triangle DCB, on a : $\widehat{\text{DCB}} + \widehat{\text{DBC}} + \widehat{\text{BDC}}$ = 180°
Or, $\widehat{\text{BDC}}$ = 50° et $\widehat{\text{DCB}}$ = 90°, donc : $\widehat{\text{DBC}}$ = 180 ? (50 + 90) = 180 ? 140
D'où : $\widehat{\text{DBC}}$ = 40°.

5. Calculons CD :
Dans le triangle DCB rectangle en C, on a : $\tan \widehat{\text{CBD}} = \frac{\text{CD}}{\text{BC}}$
Donc : $\text{CD} = \text{BC} \times \tan \widehat{\text{CBD}} \approx$ 6,4 × tan 40°.
D'où : CD $\approx$ 5,4 cm

Calculons BD :
Dans le triangle DCB rectangle en C, on a : $\cos \widehat{\text{CBD}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BD}}$
Donc : $\text{BD} = \dfrac{\text{BC}}{\cos \widehat{\text{CBD}}} \approx \dfrac{6,4}{\cos 40^o}$
D'où : BD $\approx$ 8,4 cm

Calculons AD :
C appartient au segment [AD], donc : AD = AC + CD $\approx$ 7,7 + 5,4
D'où : AD $\approx$ 13,1 cm.

- Problème -

1. a) Déterminons la mesure de l'angle $\widehat{\text{HBA}}$ :
On a : $\widehat{\text{HBA}} = \widehat{\text{HBC}}-\widehat{\text{ABC}}$
Or, les points H, B et C sont alignés, donc $\widehat{\text{HBC}}$ = 180° et on sait que $\widehat{\text{ABC}}$ = 120°.
D'où : $\widehat{\text{HBA}}$ = 180 - 120 = 60°.

Distance BH :
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a :
$\cos \widehat{\text{HBA}} = \dfrac{\text{HB}}{\text{AB}}$
Donc : BH = AB × $\cos \widehat{\text{HBA}}$ = 6 × cos 60°.
D'où : BH = 3 cm.

1. b) Calculons AH :
Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
AH² + HB² = AB²
Donc : AH² = AB² - HB² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27
D?où : AH = $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ cm.

Aire du triangle ABC :
$\mathcal{A} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{10 \times 3\sqrt{3}}{2}$
Donc : l'aire du triangle ABC est de $15\sqrt{3}$ cm².

1. c) Prouvons que AC = 14 :
Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
AH² + HC² = AC²
Donc : AC² = 27 + 13² = 196
D'où : AC = = 14 cm.

1. d) Déterminons la mesure de l'angle $\widehat{\text{HCA}}$ :
Dans le triangle AHC rectangle en H, on a :
$\cos \widehat{\text{HCA}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AC}} = \dfrac{13}{14}$ .
D?où : $\widehat{\text{HCA}} \approx$ 22°.

2. a) Exprimons en fonction de $x$ les distances NM et NC :
Les droites (BM) et (AN) sont sécantes en C et les droites (AB) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{\text{CM}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CN}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}$ , donc : $\dfrac{x}{10} = \dfrac{\text{CN}}{14} = \dfrac{\text{MN}}{6}$ .
De l'égalité $\dfrac{x}{10} = \dfrac{\text{CN}}{14}$ , on déduit que CN = $\dfrac{14x}{10} = \dfrac{7x}{5}$ .
De l'égalité $\dfrac{x}{10} = \dfrac{\text{MN}}{6}$ , on déduit que MN = $\dfrac{6x}{10} = \dfrac{3x}{5}$ .

Exprimons en fonction de $x$ les distances BM et AN :
M appartient au segment [BC], donc : BM = BC - CM = $10 - x$
N appartient au segment [AC], donc : AN = AC - CN = $14 - \dfrac{7x}{5}$

2. b) Périmètre du triangle NMC :
$\mathcal{P}_1$ = MN + NC + MC = $\dfrac{3x}{5} + \dfrac{7x}{5} + x = \dfrac{15x}{5} = 3x$ .

Périmètre du trapèze ABMN :
$\mathcal{P}_2$ = AB + BM + MN + NA = $6 + (10 - x) + \dfrac{3x}{5} + \left(14 - \dfrac{7x}{5}\right) = 6 + 10 - \dfrac{5x}{5} + \dfrac{3x}{5} + 14 - \dfrac{7x}{5} = 30 - \dfrac{9x}{5}$

2. c) Déterminons pour quelle valeur de $x$ le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre :
Le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre si $\mathcal{P}_1 = \mathcal{P}_2$ , c'est-à-dire :
$3x = 30 - \dfrac{9x}{5}\\ 3x + \dfrac{9x}{5} = 30\\ \dfrac{24x}{5} = 30\\ x = \dfrac{30 \times 5}{24}\\ x = 6,25$

Le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre lorsque CM = $x$ = 6,25 cm.
Le périmètre vaut alors 3 × $x$ = 3 × 6,25 = 18,75 cm.

Publié par Tom_Pascal le 20-09-2019

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