Fiche de mathématiques
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Exercices maison

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exercice 1

On considère l'expression C suivante: C = (3x + 1)² - (2x - 3)²
a) Factoriser C.
b) Résoudre l'équation (5x - 2)(x + 4) = 0.



exercice 2

a) Soit D= \sqrt{72}+\sqrt{64}-\sqrt{18}-1.
Ecrire le nombre D sous la forme a + b\sqrt{2} , où a et b sont des entiers.
b) Soit E = (3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} + 1)²
Monter que E est un entier.



exercice 3

Développer, puis réduire l'expression:
E(x) = (3x + 5)² - (2x - 3)(2x + 3)



exercice 4

Factoriser l'expression suivante :
G(x) = 9x² - 6x + 1



exercice 5

Sur le schéma ci-dessous, les droites (AB) et (A'B') sont perpendiculaires à la droite (AA').
On donne: AB = 15 cm; OA = 36 cm; A'B' = 3 cm.
activités numériques suivis d'une activité géométrique - troisième : image 2

a) Montrer que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
b) Calculer la distance OA'. Préciser la propriété utilisée.
c) Calculer la mesure de l'angle AÔB, arrondir le résultat au degré.
(Le schéma ne respecte pas les dimensions).



exercice 1

a) Factorisons C :
C = (3x + 1)² - (2x - 3)²
Cette expression est de la forme a² - b² = (a + b)(a - b)
C = [(3x + 1) + (2x - 3)] [(3x + 1) - (2x - 3)]
C = (3x + 1 + 2x -3)(3x + 1 - 2x + 3)
C = (5x - 2)(x + 4)

b) Résolvons C = 0 :
C = 0
\Longleftrightarrow (5x - 2)(x + 4) = 0
\Longleftrightarrow (5x - 2) = 0     ou     (x + 4) = 0
\Longleftrightarrow 5x = 2     ou     x = - 4
\Longleftrightarrow x = \dfrac{2}{5}     ou     x = - 4
Les solutions de l'équation sont -4 et \dfrac{2}{5}.



exercice 2

a) D = \sqrt{72}+\sqrt{64}-\sqrt{18}-1
D = \sqrt{9\times8}+8-\sqrt{9\times2}-1
D = 3\sqrt{8}+7-3\sqrt{2}
D = 3\sqrt{4\times2}+7-3\sqrt{2}
D = 2\times3\sqrt{2}+7-3\sqrt{2}
D = 6\sqrt{2}+7-3\sqrt{2}
D = 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+7
D = 7+3\sqrt{2}

b) E = (3 \sqrt{2} - 1 )( \sqrt{2} + 1 ) - ( \sqrt{2} + 1 )²
Factorisons cette expression :
E = ( \sqrt{2} + 1 )[( 3 \sqrt{2} - 1 ) - ( \sqrt{2} + 1 )]
E = ( \sqrt{2} +1 )( 2 \sqrt{2} - 2 )
E = 2( \sqrt{2} + 1 )( \sqrt{2} - 1 )
On reconnaît une identité remarquable du type (a+b)(a-b)=a²-b²
E = 2( \sqrt{2}² - 1 )
E = 2(2 - 1)
E = 2



exercice 3

On reconnaît deux identités remarquables :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)(a + b) = a² - b²

E(x) = [(3x)² + 2 × 5 × 3x + 5²] - [(2x)² - 3²]
E(x) = 9x² + 30x + 25 - (4x² - 9)
E(x) = 9x² + 30x + 25 - 4x² + 9
E(x) = 5x² + 30x + 34



exercice 4

G(x) = 9x² - 6x + 1
G(x) = (3x)² - 2×3x + 1
On reconnaît là la forme développée de l'identité remarquable (a - b)² = a² - 2ab + b²
G(x) = (3x - 1)²



exercice 5

a) Par hypothèse, (AB)\perp(AA') et (A'B')\perp(AA')
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) // (A'B')

b) Comme (AB) // (A'B'), on peut appliquer le théorème de Thalès:
\dfrac{\text{OA'}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{OB'}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{A'B'}}{\text{AB}}

En particulier, nous allons utiliser la relation :
\dfrac{\text{OA'}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{A'B'}}{\text{AB}}, ce qui nous donne :
\text{OA'}=\dfrac{\text{A'B'}}{\text{AB}}\times\text{OA}
\text{OA'}=\dfrac{3}{15}\times36
OA' = 7,2 cm

c) Par hypothèse (AB)\perp(AA'), donc le triangle AOB est rectangle en A.
On peut donc écrire :
tan (AÔB) = \dfrac{\text{AB}}{\text{AO}} = \dfrac{15}{36}

Donc AÔB = tan-1 \left(\dfrac{15}{36}\right)
Soit AÔB = 22.6 °

En arrondissant par excès on trouve :

AÔB = 23 °
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