Fiche de mathématiques
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Exercices maison

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exercice 1

Calculer les expressions suivantes:
A = (2-\sqrt{11})+(2+\sqrt{11})
B = (2-\sqrt{11})(2+\sqrt{11})
C = (2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)
D = \dfrac{64\times10^3}{5\times10^{-2}}
E = (\sqrt{5}+2)^2
F = \dfrac{1}{\dfrac{7}{10}-\dfrac{9}{13}}
G = 3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}
H = 4\sqrt{18}+\sqrt{72}-\sqrt{50}



exercice 2

x étant un nombre, soit E = 16 - (2x + 3)²
1. Développer E et réduire l'expression obtenue.
2. Factoriser E.
3. Résoudre l'équation (1 - 2x)(7 + 2x) = 0.



exercice 3

1. Résoudre le système:
\left \lbrace \begin{array}{l}x+y = 76 \\ 67x+85y = 5920\\ \end{array} \right.

2. Un particulier achète 76 plants d'arbres fruitiers constitués de pommiers à 67 francs le pied et de poiriers à 85 francs le pied; le montant de la facture s'élève à 5920 francs.
    a) Mettre le problème en équations.
    b) Déterminer le nombre d'arbres fruitiers de chaque sorte.



exercice 4

Développer et réduire les expressions suivantes:
A = (\sqrt{2}-1)^2
B = (\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)
C = (4+5\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-3)(3\sqrt{2}+7)
D = 2\sqrt{3}-\sqrt{300}+3\sqrt{12}



exercice 1

A = 2 - \sqrt{11} + 2 + \sqrt{11}
A = 2 + 2
A = 4

B = 2² - \sqrt{11}² (identité remarquable)
B = 4 - 11
B = -7

C = (2 \sqrt{3})² - 1² (identité remarquable)
C = 2² \sqrt{3}² - 1
C = 4×3 - 1
C = 12 - 1
C = 11

D = \dfrac{64\times10^3}{5\times10^{-2}}
D = \dfrac{64}{5}\times10^{3-(-2)}
D = \dfrac{64}{5}\times10^{5}
D = 12,8 × 105
D = 1,28 × 106

E = (\sqrt{5} + 2)²
E = \sqrt{5}² + 2 × 2\sqrt{5} + 2² (identité remarquable)
E = 5 + 4\sqrt{5} + 4
E = 9 + 4\sqrt{5}

F = \dfrac{1}{\dfrac{7}{10}-\dfrac{9}{13}}
F = \dfrac{1}{\dfrac{7\times13}{10\times13}-\dfrac{9\times10}{13\times10}} (on réduit au même dénominateur)
F = \dfrac{1}{\dfrac{91}{130}-\dfrac{90}{130}}
F = \dfrac{1}{\dfrac{1}{130}}
F = 130

G = 3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}
G = 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4\times3} - 2 \sqrt{25\times3}
G = 3 \sqrt{3} + 2 × 3\sqrt{3} - 5 × 2\sqrt{3}
G = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3}
G = - \sqrt{3}

H = 4\sqrt{18}+\sqrt{72}-\sqrt{50}
H = 4\sqrt{9\times2}+\sqrt{9\times8}-\sqrt{25\times2}
H = 3\times4\sqrt{2}+3\sqrt{8}-5\sqrt{2}
H = 12\sqrt{2}+3\sqrt{4\times2}-5\sqrt{2}
H = 12\sqrt{2}+2\times3\sqrt{2}-5\sqrt{2}
H = 12\sqrt{2}+6\sqrt{2}-5\sqrt{2}
H = 13\sqrt{2}



exercice 2

1. Développons E :
E = 16 - (2x + 3)²
E = 16 - [(2x)² + 2 × 3 × 2x + 3²]
E = 16 - 4x² - 12x - 9
E = -4x² - 12x + 7

2. Factorisons E : (identité remarquable)
E = [4 - (2x + 3)][4 + (2x + 3)]
E = (1 - 2x)(7 + 2x)

3. Résolvons E = 0 :
(1 - 2x) (7 + 2x) = 0
(1 - 2x) = 0 ou(7+2x) = 0
2x = 1 ou 2x = -7
x = \dfrac{1}{2} ou x = -\dfrac{7}{2}
Les solutions de l'équation sont \dfrac{1}{2} et -\dfrac{7}{2}.



exercice 3

1. Résolution du système
\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}x + y = 76 & (L_1) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2) \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}85x + 85y = 6460 & (85 L_1) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2)\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l@{ }l}18x = 540 & (85 L_1 - L_2) \\ 67x + 85y = 5920 & (L_2)\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 540/18 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 67×30 + 85y = 5920\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 85y = 5920 - 2010\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ 85y = 3910\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 3910/85\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 46\\ \end{array} \right.

2. Soit x le nombre de pommiers
Soit y le nombre de poiriers

Il y a 76 plants d'arbres fruitiers en tout (pommiers + poiriers)
donc x + y = 76

Un pommier coûte 67 francs donc x pommiers coûtent 67x francs
Un poirier coûte 85 francs donc y poiriers coûtent 85y francs

Le prix total des x pommiers et des y poiriers est 5920 F
Soit 67x + 85y = 5920

On obtient le système
\left \lbrace \begin{array}{l}x + y = 76 \\ 67x + 85y = 5920\\ \end{array} \right.

Dont les solutions sont :
\left \lbrace \begin{array}{l}x = 30 \\ y = 46\\ \end{array} \right.

Il y a donc 30 pommiers et 46 poiriers.



exercice 4

A = \sqrt{2}^2-2\sqrt{2}+1 (identité remarquable)
A = 2-2\sqrt{2}+1
A = 3-2\sqrt{2}+1

B = 3\sqrt{2}\sqrt{2}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+1
B = 3\times2+(-2\sqrt{2})+1
B = 5-2\sqrt{2}

C = 4² + 2 × 4 × 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})² + 2 × 3 × \sqrt{2}\sqrt{2} + 7 × 2\sqrt{2} - 3 × 3\sqrt{2} - 3 × 7
C = 16 + 40\sqrt{2} + 25 × 2 + 6 × 2 + 14\sqrt{2} - 9\sqrt{2} - 21
C = 57 + 45\sqrt{2}

D = 2\sqrt{3} - \sqrt{3\times100} + 3\sqrt{4\times3}
D = 2\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 3 × 2\sqrt{3}
D = 2\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}
D = -2\sqrt{3}
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