Fiche de mathématiques

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Identités Remarquables : Développement

Fiche relue en 2016.

Rappel : Identités remarquables

Pour tous les nombres $a$ et $b$ , on a :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)(a + b) = a² - b²

Remarques :
1. La lecture de ces résultats de gauche à droite comme écrit ci-dessus permettent de développer des produits.

Une lecture de droite à gauche permettrait de factoriser des expressions. Effectivement, on obtient alors :
a² + 2ab + b²=(a + b)²
a² - 2ab + b²=(a - b)²
a² - b²=(a - b)(a + b)

2. Devant une différence de deux termes qu'on a à factoriser, il sera bon de penser à l'identité remarquable
a²-b²=(a-b)(a+b)
Exemple : factoriser x²-7 ; repérer que 7 est le carré de $\sqrt{7}$ et alors, on pourra écrire
$x^2 - 7 = (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$

3. Il est d'usage de présenter les résultats des développements sous forme ordonnée suivant les puissances d'une variable choisie.

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A = (x + 4)^2\\ B = (5 + x)^2\\ C = ( 3 x + 7)^2\\ D = (2 x + 3)^2\\ E = (7 + 2 x)^2\\ F = (3 + 4 y)^2\\ G = (x - 2)^2\\ H = (2 x - 5)^2\\ I = (3 - 2 x)^2\\ J = (7 x - 3)^2$
$K = (x - 7)(x + 7)\\ L = (2 x - 3)(2 x + 3)\\ M = (3 x + 7)(3 x - 7)\\ N = (- 5 x - 2)(-5 x + 2)\\ O = (2 + 4 x)(4 x - 2)\\ P = (x + 0,1)^2\\ Q = (0,2 y - 5)^2\\ R = (2 y - 0,3)(0,3 + 2 y)\\ S = (- 5 x + 2)^2\\ T = (4 + y)(y - 4)$

Voir la correction

$A = (x + 4)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = $x$ et b = 4. Donc :
$A = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2\\ A = x^2 + 8 x + 16$

$B = (5 + x)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = 5 et b = $x$ . Donc :
$B = 5^2 + 2 \times 5 \times x + x^2\\ B = 25 + 10x + x^2\\ B = x^2 + 10x + 25$

$C = (3x + 7)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = $3x$ et b = 7. Donc :
$C = (3 x)^2 + 2 \times 3 x \times 7 + 7^2\\ C = 9 x^2 + 42 x + 49$

$D = (2 x + 3)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = $2 x$ et b = 3. Donc :
$D = (2 x)^2 + 2 \times 2 x \times 3 + 3^2\\ D = 4 x^2 + 12 x + 9$

$E = (7 + 2 x)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = 7 et b = $2 x$ . Donc :
$E = 7^2 + 2 \times 7 \times 2 x + (2 x)^2\\ E = 49 + 28 x + 4 x^2\\ E = 4 x^2 + 28 x + 49$

$F = (3 + 4 y)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = 3 et b = $4 y$ . Donc :
$F = 3^2 + 2 \times 3 \times 4 y + (4 y)^2\\ F = 9 + 24 y + 16 y^2\\ F = 16 y^2 + 24 y + 9$

$G = (x-2)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = $x$ et b = 2. Donc :
$G = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2\\ G = x^2 - 4x + 4$

$H = (2 x - 5)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = $2 x$ et b = 5. Donc :
$H = (2 x)^2 - 2 \times 2 x \times 5 + 5^2\\ H = 4 x^2 - 20 x + 25$

$I = (3 - 2 x)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = 3 et b = $2 x$ . Donc :
$I = 3^2 - 2 \times 3 \times 2 x + (2 x)^2\\ I = 9 - 12x + 4x^2\\ I = 4x^2 - 12x + 9$

$J = (7x-3)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = $7x$ et b = 3. Donc :
$J = (7x)^2 - 2 \times 7x \times 3 + 3^2\\ J = 49x^2 - 42x + 9$

$K = (x - 7)(x + 7)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $x$ et b = 7. Donc :
$K = x^2 - 7^2\\ K = x^2 - 49$

$L = (2x - 3)(2x + 3)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $2x$ et b = 3. Donc :
$L = (2x)^2 - 3^2\\ L = 4x^2 - 9$

$M = (3 x + 7)(3 x - 7)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $3 x$ et b = 7. Donc :
$M = (3x)^2 - 7^2\\ M = 9x^2 - 49$

$N = (- 5 x - 2)(-5 x + 2)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $- 5x$ et b = 2. Donc :
$N = (-5x)^2 - 2^2\\ N = 25x^2 - 4$

$O = (2 + 4 x)(4 x - 2)\\ O = (4 x + 2)(4 x - 2)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $4 x$ et b = 2. Donc :
$O = (4x)^2 - 2^2\\ O = 16x^2 - 4$

$P = (x + 0,1)^2$ est de la forme (a + b)² avec a = $x$ et b = 0,1. Donc :
$P = x^2 + 2 \times x \times 0,1 + 0,1^2\\ P = x^2 + 0,2x + 0,01$

$Q = (0,2y - 5)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = $0,2y$ et b = 5. Donc :
$Q = (0,2y)^2 - 2 \times 0,2y \times 5 + 5^2\\ Q = 0,04y^2 - 2y + 25$

$R = (2y - 0,3)(0,3 + 2y)\\ R = (2y - 0,3)(2y + 0,3)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $2y$ et b = 0,3. Donc :
$R = (2y)^2 - 0,3^2\\ R = 4y^2 - 0,09$

$S = (- 5 x + 2)^2\\ S = (2 - 5 x)^2$ est de la forme (a - b)² avec a = 2 et b = $5 x$ . Donc :
$S = 2^2 - 2 \times 2 \times 5x + (5x)^2\\ S = 4 - 20x + 25x^2\\ S = 25x^2 - 20x + 4$

$T = (4 + y)(y - 4)\\ T = (y + 4)(y - 4)$ est de la forme (a - b)(a + b) avec a = $y$ et b = 4. Donc :
$T = y^2 - 4^2\\ T = y^2 - 16$

Publié par Océane le 20-09-2019

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