Fiche de mathématiques
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Statistiques

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Fiche relue en 2019.

I. Caractéristique de position

1. Moyenne (rappel)

Exemple 1 : Voici les notes données à un groupe de 15 élèves.


\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \rm Notes&3&5&6&7&7,5&8&9\\\hline \rm Effectifs&2&1&4&1&2&3&2\\\hline \end{array}

Pour faciliter les calculs, on peut rajouter une ligne pour calculer les produits variable*effectif correspondant :

cours sur les statistiques (troisième) : image 5

La moyenne de cette série est la somme de tous les produits divisée par l'effectif total : \frac{99}{15} = 6.6
La moyenne des notes est égale à 6,6.

Remarque : Pour calculer la moyenne d'une série regroupée en classes d'intervalles, on détermine le centre de chaque classe, puis on calcule la moyenne pondérée en s'aidant de ces centres.

Exemple 2 :
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \rm Classe&[0; 15[&[15; 30[&[30; 45[\\\hline \rm Effectif&5&6&2\\\hline \rm Centre&7,5&22,5&37,5\\\hline\end{array}

La moyenne est égale à : \dfrac{7,5 \times 5 + 22,5 \times 6 + 37,5 \times 2}{5 + 6 + 2} = \dfrac{247,5}{13} \approx 19

2. Médiane

Définition :
La médiane est le nombre se trouvant au "milieu" de la série, c'est-à-dire qu'il y a autant d'effectif à droite de ce nombre qu'à gauche.


Pour l'exemple 1 :
cours sur les statistiques (troisième) : image 1

Pour l'exemple 2 : Il y a un effectif total de 13. Donc la médiane correspond à la 7ème valeur, elle se trouve dans la classe [15 ; 30[.

Remarques :
Remarque 1 : La médiane peut être illustrée par une ligne de partage.
Ici, l'effectif total de la série (15) est impair, mais dans certains cas cet effectif est pair. Dans ce cas, on peut prendre pour médiane, la moyenne des deux nombres se situant autour de la "ligne de partage" :
cours sur les statistiques (troisième) : image 2


Remarque 2 : Lorsque l'effectif est grand, il est difficile de lister toutes les valeurs. On peut utiliser la méthode suivante :
--> 1) calculer les effectifs cumulés croissants

cours sur les statistiques (troisième) : image 6

--> 2) calculer : \frac{N}{2} = \frac{15}{2} =7.5 on arrondit à 8. La médiane correspond à la note du 8ème élève

--> 3) repérer le 8ème élève sur la ligne des effectifs cumulés croissants.
la médiane est la note qui lui correspond : 7.

cours sur les statistiques (troisième) : image 8


II. Dispersion d'une série

Exemple : Voici les notes obtenues par deux élèves :
cours sur les statistiques (troisième) : image 3
cours sur les statistiques (troisième) : image 4


Ces deux élèves ont la même moyenne. Pourtant, graphiquement, les notes sont différemment réparties.

On dit que la série de l'élève B est plus dispersée que celle de l'élève A, car les valeurs extrêmes sont plus éloignées.
Définition :
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.


Exemple : L'étendue de la série des notes de l'élève A est : 13 - 10 = 3.
L'étendue de la série des notes de l'élève B est : 19 - 3 = 16.
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