Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Pondichéry - Session 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne :
$\text{A} = \dfrac97 - \dfrac25 \times \dfrac{15}{8} \hspace{15pt} \text{B} = \dfrac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times (10^2)^4} \hspace{15pt} \text{C} = 2\sqrt{180} + 5\sqrt{80} - 3\sqrt{125}$

Dans chaque cas, indiquer les étapes de calculs.

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimal.

3. Ecrire C sous la forme $\text{a}\sqrt{5}$ où a est un nombre entier.

exercice 2

On considère l'expression suivante : $\text{E} = (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4)$ .

1. Développer puis réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour $x = -2$ .

4. Résoudre l'équation $(3x - 5)(10x - 9) = 0$ .

exercice 3

Voici les résultats au lancer de javelot lors d'un championnat d'athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres.

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41 41 45 37 43 43 46 39 44 47 48

1. Compléter le tableau suivant :

Longueur $\scr{l}$ du lancer (en mètres)	$30 \leq \scr{l} < 35$	$35 \leq \scr{l} < 40$	$40 \leq \scr{l} < 45$	$45 \leq \scr{l} < 50$	Total
Nombre de sportifs		7		5
Fréquence	0,04			0,2
Valeur centrale	32,5		42,5

2. En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d'un lancer.

3. Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres ?

12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère un cercle de diamètre [AB] et un point C appartenant à ce cercle.

1. Déterminer la nature du triangle ABC.

2. On donne AC = 39 mm et BC = 52 mm. Montrer que AB = 65 mm.

3. Le point D est tel que : AD = 25 mm et BD = 60 mm.

Le triangle ABD est-il rectangle ?

exercice 2

La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.
AC = 3 cm AE = 4,5 cm AB = 4 cm
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Diplôme national du brevet Pondichéry - 2007 : image 1

1. Calculer les longueurs AD et BD.

2. On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm.
Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

exercice 3

1. Sur votre copie, construire un carré ABCD de côté 5 cm.
O étant le centre du carré, placer E, symétrique de O par rapport à D.

2. Compléter les égalités suivantes :

$\overrightarrow{\text{AB}}=$	$\overrightarrow{\text{AD}}=$
$\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} =$	$\overrightarrow{\text{BD}} + \overrightarrow{\text{AB}} =$

3. Quelle est l'image du point C par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ ?
Quelle est l'image de D par la rotation de centre O, d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

4. Placer F tel que $\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{CO}}$
a) Quelle est la nature du quadrilatère ECOF ?
b) En déduire que D est le milieu du segment [FC].

12 points

Problème

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

DVDLOC est un magasin qui propose différentes formules de location de DVD.
Formule 1 : chaque DVD est loué 3,50 €.
Formule 2 : on paye un abonnement annuel de 12 €, puis 2 € par DVD loué.

1. Compléter sur le tableau suivant :

Nombre de DVD loués	2	6
Prix en euros avec la formule 1
Prix en euros avec la formule 2

2. On note $x$ le nombre de DVD loués.
    a) Exprimer, en fonction de $x$ , le prix en euros à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 1.
    b) Exprimer, en fonction de $x$ , le prix en euros à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 2.

3. a) Résoudre l'inéquation $2x + 12 \leq 3,5x$ .
    b) Déterminer le nombre de DVD à partir duquel la formule 2 est la plus avantageuse.

4. Sur le graphique ci-dessous, tracer dans le repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et g définies par : $f(x) = 3,5x \text{ et } g(x) = 2x + 12$ .

Diplôme national du brevet Pondichéry - 2007 : image 2

5. Carine ne possède pas de carte d'abonnement et elle dispose de 18 €. Indiquer à l'aide du graphique et en marquant en couleur les pointillés nécessaires, le nombre maximum de DVD qu'elle peut louer.

Partie B

1. Romain se rend à vélo chez son ami David qui a loué un DVD chez DVDLOC.
Sachant qu'il a 3,75 kilomètres à parcourir et qu'il roule à la vitesse moyenne de 15 km/h, quel temps mettra-t-il pour faire ce trajet ?

2. Après avoir regardé le film, Romain propose à David d'aller rendre ce DVD au magasin de location. Sachant qu'il roule pendant 36 minutes, toujours à la vitesse moyenne de 15 km/h, déterminer la distance qui sépare le magasin du domicile de David.

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
$\text{A} = \dfrac97 - \dfrac25 \times \dfrac{15}{8}\\ \text{A} = \dfrac97 - \dfrac{2 \times 15}{5 \times 8}\\ \text{A} = \dfrac97 - \dfrac{2 \times 3 \times 5}{5 \times 2 \times 4}\\ \text{A} = \dfrac97 - \dfrac{3}{4}\\ \text{A} = \dfrac{9 \times 4}{7 \times 4} - \dfrac{3 \times 7}{4 \times 7}\\ \text{A} = \dfrac{36}{28} - \dfrac{21}{28}\\ \text{A} = \dfrac{15}{28}$

2. Calculons B :
$\text{B} = \dfrac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times (10^2)^4}\\ \text{B} = \dfrac{6 \times 15 \times 10^{-7+11}}{8 \times 10^{2\times 4}}\\ \text{B} = \dfrac{6 \times 15 \times 10^{4}}{8 \times 10^{8}}\\ \text{B} = \dfrac{90}{8} \times 10^{4-8}\\ \text{B} = 11,25 \times 10^{-4}$
B = 1,125 × 10 × 10^-4
B = 1,125 × 10^-3
B = 0,001 125
1,125 × 10^-3 est l'écriture scientifique de B ; 0,001 125 est l'écriture décimale de B.

3. Ecrivons C sous la forme $\text{a}\sqrt{5}$ :
$\text{C} = 2\sqrt{180} + 5\sqrt{80} - 3\sqrt{125}\\ \text{C} = 2\sqrt{36 \times 5} + 5\sqrt{16 \times 5} - 3\sqrt{25 \times 5}\\ \text{C} = 2 \times 6 \sqrt{5} + 5 \times 4\sqrt{5} - 3 \times 5\sqrt{5}\\ \text{C} = 12 \sqrt{5} + 20\sqrt{5} - 15\sqrt{5}\\ \text{C} = 17 \sqrt{5}$

exercice 2

1. Développons puis réduisons E :
$\text{E} = (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4)\\ \text{E} = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 + (3x \times 7x - 3x \times 4 - 5 \times 7x + 5 \times 4)\\ \text{E} = 9x^2 - 30x + 25 + 21x^2 - 12x - 35x + 20\\ \text{E} = 30x^2 - 77x + 45$

2. Factorisons E :
$\text{E} = (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4)\\ \text{E} = (3x - 5)[(3x - 5) + (7x - 4)]\\ \text{E} = (3x - 5)(3x - 5 + 7x - 4)\\ \text{E} = (3x - 5)(10x - 9)$

3. Calculons E pour $x = -2$ :
En utilisant la forme développée de E, on obtient :
E = 30 × (-2)² - 77 × (-2) + 45
E = 30 × 4 + 154 + 45
E = 120 + 154 + 45
E = 319

4. Résolvons l'équation $(3x - 5)(10x - 9) = 0$ :
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul, et réciproquement.
$\begin{array}{lcl} 3x - 5 = 0& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} & 10x - 9 = 0 \\ 3x = 5& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} &10x = 9\\ x = \dfrac53& \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} &x = \dfrac{9}{10}\\ \end{array}$
Les solutions de l'équation sont $\dfrac53 \text{ et } \dfrac{9}{10}$

exercice 3

1. Complétons le tableau :

Longueur $\scr{l}$ du lancer (en mètres)	$30 \leq \scr{l} < 35$	$35 \leq \scr{l} < 40$	$40 \leq \scr{l} < 45$	$45 \leq \scr{l} < 50$	Total
Nombre de sportifs	1	7	12	5	25
Fréquence	0,04	0,28	0,48	0,2	1
Valeur centrale	32,5	37,5	42,5	47,5

Rappel : fréquence = $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$

2.Calculons la longueur moyenne d'un lancer :
$\dfrac{1 \times 32,5 + 7 \times 37,5 + 12 \times 42,5 + 5 \times 47,5}{25} = \dfrac{1042,5}{25} = 41,7$
La longueur moyenne d'un lancer est de 41,7 mètres.

3. Déterminons le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres :
12 + 5 sportifs ont lancé au moins à 40 mètres, c'est-à-dire 17 sportifs sur un total de 25.
Cela représente $\dfrac{17}{25} \times 100 \%$ des sportifs.
68 % des sportifs ont lancé au moins à 40 mètres.

Activités géométriques

exercice 1

1. Le point C appartient au cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C.

2. Calculons AB :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²
AB² = 39² + 52²
AB² = 4 225
Donc AB = $\sqrt{4225}$
AB = 65
Le segment [AB] mesure 65 mm.

3. Regardons si le triangle ABD est rectangle :
On a : AB² = 65² = 4 225 et AD² + BD² = 25² + 60 ² = 4 225
Donc AB² = AD² + BD². D'après la réciproque du théorème de pythagore, on en déduit que le triangle ABD est rectangle en D.

Diplôme national du brevet Pondichéry - 2007 : image 3

exercice 2

1. Calculons les longueurs AD et BD :
Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}} \hspace{25pt} \text{ donc : } \dfrac{4}{\text{AD}} = \dfrac{3}{4,5} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}$
De $\dfrac{4}{\text{AD}} = \dfrac{3}{4,5}$ , on en déduit que $\text{AD} = \dfrac{4 \times 4,5}{3} = 6$
Le segment [AD] mesure 6 cm.

Le point B appartient au segment [AD], donc : BD = AD - AB = 6 - 4 = 2
Le segment [BD] mesure 2 cm.

2. Montrons que les droites (FG) et (BC) sont parallèles :
Les points F, A, E sur la droite (FE) sont dans le même ordre que les points G, A, B sur la droite (GB).
On a :
$\dfrac{\text{AF}}{\text{AC}} = \dfrac{4,05}{3} = \dfrac{405}{300} = \dfrac{27}{20} \hspace{25pt} \text{et} \hspace{25pt} \dfrac{\text{AG}}{\text{AB}} = \dfrac{5,4}{4} = \dfrac{54}{40} = \dfrac{27}{20}$
Donc : $\dfrac{\text{AF}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AG}}{\text{AB}}$
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

exercice 3

Diplôme national du brevet Pondichéry - 2007 : image 4

2. Complétons les égalités :
ABCD est un carré, donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles et AB = DC, donc : $\overrightarrow{\text{AB}}= \overrightarrow{\text{DC}}$
Les droites (AD) et (BC) sont parallèles et AD = BC, donc $\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}$
D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{\text{BD}} + \overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{AD}}$

3. On a $\overrightarrow{\text{CD}}= \overrightarrow{\text{BA}}$ , donc le point D est l'image du point C par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BA}}$ .
ABCD est un carré, donc ses diagonales se coupent perpendiculairement, en leur milieu et sont de même longueur. Donc $\widehat{\text{DOA}} = 90^{\circ}$ et OD = OA. L'image de D par la rotation de centre O, d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point A.

4. cf figure.

4. a) Déterminons la nature du quadrilatère ECOF :
Par construction, $\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{CO}}$ , donc le quadrilatère ECOF est un parallélogramme.

4. b) E est le symétrique de O par rapport à D, donc D est le milieu du segment [EO].
De plus, on sait que ECOF est un parallélogramme, donc ses diagonales [EO] et [FC] se coupent en leur milieu.
On en déduit que le point D est aussi le milieu du segment [FC].

Problème

Partie A

1. Complétons le tableau :
Avec la formule 1, chaque DVD est loué 3,50 €, donc :
la location de 2 DVD coûtera 2 × 3,50, soit 7 euros,
la location de 6 DVD coûtera 6 × 3,50, soit 21 euros.

Avec la formule 2, on paye un abonnement de 12 €, puis chaque DVD est loué 2 €, donc :
la location de 2 DVD coûtera 12 + 2 × 2, soit 16 euros,
la location de 6 DVD coûtera 12 + 6 × 2, soit 24 euros.

Nombre de DVD loués	2	6
Prix en euros avec la formule 1	7	21
Prix en euros avec la formule 2	16	24

2. a) Avec la formule 1, chaque DVD est loué 3,50 €, donc la location de $x$ DVD coûtera $3,50x$ euros.

2. b) Avec la formule 2, on paye un abonnement de 12 €, puis chaque DVD est loué 2 €, donc la location de $x$ DVD coûtera $2x + 12$ euros.

3. a) Résolvons l'inéquation $2x + 12 \leq 3,5x$ :
$2x + 12 \leq 3,5x \\ 2x - 3,5x \leq -12\\ -1,5x \leq -12\\ x \geq \dfrac{-12}{-1,5}\\ x \geq 8$
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 8.

3. b) Déterminons le nombre de DVD à partir duquel la formule 2 est la plus avantageuse :
La formule 2 est plus avantageuse que la formule 1 si $2x + 12 \leq 3,5x$ .
Or, d'après la question précédente, $2x + 12 \leq 3,5x$ pour $x \geq 8$ .
On en conclut que la formule 2 est la plus avantageuse à partir de 8 DVD loués.

4. Traçons dans le repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et g :
$f$ est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite (d₁) passant par l'origine du repère.
De plus, $f(6) = 21$ (d'après la question 1), donc le point de coordonnées (6 ; 21) appartient à la droite (d₁).

g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite (d₂).
De plus, g(2) = 16 et g(6) = 24 (d'après la question 1).
Donc les points de coordonnées (2 ; 16) et (6 ; 24) appartiennent à la droite (d₂).

Diplôme national du brevet Pondichéry - 2007 : image 5

5. On trace la droite d'équation y = 18, c'est-à-dre la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0 ; 18) [cf pointillés rouges].
On constate alors qu'avec 18 euros, Carine pourra louer plus de DVD avec la formule 1. Elle pourra louer au maximum 5 DVD.

Partie B

1. Durée du trajet de Romain :
Romain parcourt 15 km en une heure.
Il parcourt 3,75 kilomètres en $\dfrac{3,75 \times 1}{15}$ heure, soit 0,25 heure.
Or, 0,25 h = 0,25 × 60 min = 15 min.
Donc la durée du trajet de Romain est de 15 minutes.

2. Distance séparant le magasin du domicile de David :
Romain parcourt en 1 heure, soit 60 minutes, 15 km.
En 36 minutes, il parcourt $\dfrac{36 \times 15}{60}$ kilomètres, soit 9 km.
La distance séparant le magasin du domicile de David est de 9 km.

Publié par Cel le 21-02-2021

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