Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Asie - Session Juin 2007

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L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

1. Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme d'une fraction irréductible :
\text{A} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2} et \text{B} = \dfrac{2\times 10^{-1}}{10^{-4} \times \left(10^2 \right)^3}.

2. Calculer C  = 5^3 - \left(2^4 + 3^3 \right)^2.




exercice 2

On donne l'expression suivante D = (4x - 3)^2 - (3x + 1)(4x - 3).

1. Développer et réduire D.

2. Factoriser D.

3. a) Résoudre l'équation (4x - 3)(x - 4) = 0.
    b) Cette équation a-t-elle une solution entière ?
    c) Cette équation a-t-elle une solution décimale ?

4. Calculer D pour x = 3.




exercice 3

1. Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le P.G.C.D. de 144 et 252.

2. Une organisation organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.
L'association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes.
    a) Quel est le nombre maximal d'équipes que cette association peut former ?
    b) Quelle est alors la composition de chaque équipe.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.
Diplôme national du brevet Asie Juin 2007 - troisième : image 1

Les points A,E et C sont alignés ainsi que les points B, E et D.
AE = 7,2 cm ; EC = 5,4 cm ;
ED = 7,5 cm et BE = 10 cm.

1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Sachant que CD = 6,3 cm, calculer AB.




exercice 2

La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur.
Diplôme national du brevet Asie Juin 2007 - troisième : image 2

Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M.

1. PAR est un triangle rectangle en A. On donne AR = 2 cm et RP = 4 cm.
Calculer AP et l'exprimer sous la forme a\sqrt{b}a et b sont des entiers.

2. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{RPA}}.

3. Expliquer pourquoi les angles \widehat{\text{RPA}} et \widehat{\text{MPE}} ont la même mesure.

4. PME est un triangle rectangle en M. On donne ME = 3 cm.
Calculer PM à 1 mm près.



12 points

Problème

Au cours d'une embauche pour la cueillette de pêches, un ouvrier agricole a le choix entre deux formules de salaire.
Formule A : un salaire mensuel de 930 €.
Formule B : une somme mensuelle de 310 € à laquelle s'ajoutent 40 € par tonne de pêches cueillies.
Formule C : un salaire uniquement basé sur la cueillette, 80 € par tonne de pêches cueillies.

1. Compléter le tableau suivant :
Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois51115
Salaire mensuel en euros avec la formule A   
Salaire mensuel en euros avec la formule B   


2. Si l'on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule.

3. Représenter graphiquement sur le quadrillage donné en annexe les fonctions définies par :
f(x) = 310 + 40x \quad et  \quad  g(x) = 80x.
On choisira comme unités :
    1 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ;
    1 cm pour 100 € sur l'axe des ordonnées.

4. a) Sachant que pour un mois donné, cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltées en tonnes (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
Donner une valeur approchée du résultat.
    b) Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact.

5. Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l'ouvrier s'il espère cueillir 13 tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).
Quel serait alors son salaire ?



Activités numériques

exercice 1

1. Mettons A et B sous forme de fraction irréductible :
\text{A}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\div\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{20}=\dfrac{10}{20}-\dfrac{6}{20}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}

\text{B}=\dfrac{2\times 10^{-1}}{10^{-4}\times (10^2)^3}=\dfrac{2\times 10^{-1}}{10^{-4}\times 10^6}=\dfrac{2\times 10^{-1}}{10^2}=\dfrac{2}{1000}=\dfrac{1}{500}

2. \text{C}=5^3-(2^4+3^3)^2=125-(16+27)^2=125-43^2=-1724




exercice 2

1. Développons et réduisons D : \text{D}=(4x-3)^2-(3x+1)(4x-3)=16x^2-24x+9-(12x^2-9x+4x-3)=16x^2-24x+9-(12x^2-5x-3)=16x^2-24x+9-12x^2+5x+3=4x^2-19x+12

2. Factorisons D : \text{D}=(4x-3)^2-(3x+1)(4x-3)=(4x-3)[(4x-3)-(3x+1)]=(4x-3)(4x-3-3x-1)=(4x-3)(x-4)

3. a) Résolvons l'équation (4x-3)(x-4)=0 : la règle du produit nul entraîne que
ou bien 4x-3=0, et alors 4x=3, c'est-à-dire x=\dfrac{3}{4}=0,75 ;
ou bien x-4=0, et alors x=4.
L'équation admet donc deux solutions : 0,75 et 4.

3. b) Oui, cette équation a une solution entière : 4.

3. c) 4 et 0,75 sont deux solutions décimales de l'équation.

4. Pour x=3, D vaut : (4\times 3-3)(3-4)=9\times (-1)=-9.




exercice 3

1. On utilise l'algorithme d'Euclide :
252=144\times 1+108
144=108\times 1+36
108=36\times 3+0
Le PGCD de 252 et 108 est le dernier reste non nul : c'est 36.

2. a) Le nombre maximal d'équipes est le PGCD de 144 et 252 : on peut donc former 36 équipes.

2. b) Il y a alors 144 filles à répartir dans 36 équipes, donc \dfrac{144}{36}=4 filles par équipe ; de même, il y aura \dfrac{252}{36}=7 garçons par équipe.


Activités géométriques

exercice 1

1. Les points A, E, C sont alignés, ainsi que B, E, D. De plus, \dfrac{\text{EC}}{\text{EA}}=\dfrac{5,4}{7,2}=0,75, et \dfrac{\text{ED}}{\text{EB}}=\dfrac{7,5}{10}=0,75 : ainsi, on a \dfrac{\text{EC}}{\text{EA}}=\dfrac{\text{ED}}{\text{EB}}. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Puisque (AB) et (CD) sont parallèles, le théorème de Thalès entraîne qu'on a aussi \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}=0,75, d'où on tire \text{AB}=\dfrac{\text{CD}}{0,75}=\dfrac{6,3}{0,75}=8,4 cm.




exercice 2

1. D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle PAR rectangle en A, \text{PR}^2=\text{AR}^2+\text{AP}^2, d'où \text{AP}^2=\text{PR}^2-\text{AR}^2=16-4=12, et enfin AP=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} cm.

2. On a \cos(\widehat{RPA})=\dfrac{\text{AP}}{\text{PR}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}. On en déduit que \widehat{RPA}=\cos^{-1}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}})=30° : l'angle \widehat{RPA} mesure 30°.

3. Les angles \widehat{RPA} et \widehat{MPE} sont opposés par le sommet : ils ont donc même mesure.

4. Les points R, P, E sont alignés, ainsi que les points A, P, M. De plus, on sait que les droites (ME) et (AR) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (AM)). D'après le théorème de Thalès, \dfrac{\text{PM}}{\text{PA}}=\dfrac{\text{ME}}{\text{RA}}, donc \text{PM}=\dfrac{\text{PA}\times\text{ME}}{\text{RA}}=\dfrac{2\sqrt{3}\times 3}{2}=3\sqrt{3}\approx 5,2 cm (valeur approchée à 1 mm près).


Problème

1.
Nombre de tonnes de pêches cueillies en un mois51115
Salaire mensuel en euros avec la formule A930930930
Salaire mensuel en euros avec la formule B510750910


2. Soit x la quantité de pêches cueillies en un mois, en tonnes.
Avec la formule A, le salaire sera de 930 euros (il ne dépend pas de x).
Avec la formule B, le salaire sera 310+40x euros.
Avec la formule C, le salaire sera 80x euros.

3.
Diplôme national du brevet Asie Juin 2007 - troisième : image 3


4. a) On lit graphiquement que le salaire est le même pour les formules B et C pour une cueillette d'environ 7,8 tonnes (abscisse du point d'intersection des deux droites).

4. b) On résout l'équation f(x)=g(x). On obtient : 310+40x=80x, puis 40x=310, et enfin x=\dfrac{310}{40}=7,75 : le salaire sera le même si on cueille 7,75 tonnes exactement.

5. Pour une cueillette de 13 tonnes dans le mois, la formule la plus avantageuse parmi les formules B et C est la formule C : on lit graphiquement que le salaire perçu est alors d'environ 1040 euros, résultat qu'on retrouve par le calcul : g(13)=80\times 13=1040. Cette formule est aussi plus avantageuse que la formule A.
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