Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Sud - Session Novembre 2007
Partager :
Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 2 L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques
12 points
II - Activités géométriques
12 points
III - Problème
12 points
Qualité de rédaction et de présentation
4 points
12 points
Activités numériques
exercice 1
Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs.
1. On pose
.
Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. On pose
.
Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique.
3. On pose
.
Calculer C. Présenter le résultat sous la forme où est un entier.
exercice 2
On donne .
1. Développer et réduire .
2. Factoriser .
3. Calculer pour .
4. Résoudre l'équation : .
exercice 3
1. Résoudre le système d'équations ci-dessous
2. À la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6 €.
Dans la même boulangerie, Karim achète 2 croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €.
Quel est le prix d'un croissant ?
Quel est le prix d'un pain aux raisins ?
12 points
Activités géométriques
exercice 1
L'unité est le cm. Sur la figure ci-dessous, les longueurs ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure.
On sait que les points Y, S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre.
On sait également que: (YX) // (AB) ; SA = 3 ; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4.
1. Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondir au mm.
2. On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.
Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
exercice 2
L'unité de longueur est le cm.
On considère le triangle SAB tracé sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.
Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA = 5 et SB = 12.
1. Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.
2. Déterminer la mesure de (arrondie au degré).
3. a) Placer le point R image de B par la translation de vecteur .
b) Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle.
4. Placer le point M, tel que
.
Annexe (à rendre avec la copie)
12 points
Problème
L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle . Ne pas reproduire la figure.
Partie A
Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10.
Soit T un point de (C) tel que RT = 6.
1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle.
2. Démontrer que TM = 8.
Partie B
Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM).
On pose RS.
1. Donner un encadrement de .
2. Démontrer que RH et SH .
3. Exprimer, en fonction de , le périmètre du triangle RSH.
4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : .
Partie C
On considère les fonctions affines et telles que :
et .
1. Calculer , , et .
2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement et dans un repère orthonormé
origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ;
unité le cm.
3. a) Déterminer par le calcul la valeur de pour laquelle .
b) Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires.
4. Que représente la solution de l'équation pour la partie B de ce problème ?
4. Un produit de facteurs est nul, si au moins l'un des facteurs est nul, et réciproquement.
Les solutions de l'équation sont et .
exercice 3
1.Résolvons ce système par substitution :
(à l'aide de l'équation (2), on exprime en fonction de et on remplace par dans l'équation (1)).
La solution du système est le couple (0,8 ; 1,1).
2. Soit le prix d'un croissant, soit le prix d'un pain aux raisins.
et sont deux nombres positifs.
Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisons pour 6 €, donc .
Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €, donc .
On obtient le système suivant : .
A l'aide de la question précédente, on sait que et
D'où : un croissant coûte 0,80 € et un pain aux raisins coûte 1,10 €.
Activités géométriques
exercice 1
Les droites (YB) et (XA) sont sécantes en S, les droites (YX) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
Donc :
De on déduit que .
Donc : (valeur exacte), (valeur arrondie au mm).
2. Les points S, A, D d'une part et S, B, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a :
et
Donc :
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
exercice 2
1. Dans le triangle SAB, le côté le plus long est [AB].
On a SA² + SB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
et AB² = 13² = 169
Donc SA² + SB² = AB².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S.
2. Dans le triangle SAB rectangle en S, on a :
|nl]Donc .
L'angle mesure environ 67° (valeur arrondie au degré).
3. a)
3. b) Le point R est l'image de B par la translation de vecteur , donc SARB est un parallélogramme. De plus, donc SARB est un rectangle.
4. cf figure précédente.
Problème
Partie A
1. [RM] est un diamètre du cercle (C) et T appartient au cercle (C).
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle RTM est rectangle en T.
2. Dans le triangle RTM rectangle en T, on applique le théorème de Pythagore :
RM² = RT² + TM²
Donc : TM² = RM² - RT² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
Donc : TM = \sqrt{64} = 8 cm
Partie B
1. S est un point du segment [RT] (avec RT = 6 cm) et , donc .
2. Les droites (ST) et (HM) sont sécantes en R, les droites (SH) et (TM) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
Donc :
De on déduit que
De on déduit que
3. Le périmètre de RSH est égal à RS + SH + RH,
soit
4. Le périmètre de STMH est égal à .
Or, le point S appartient au segment [RT], donc et le point H appartient au segment [RM], donc .
Donc : .
Partie C
1. .
2. La fonction est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
D'après la question précédente, on a : .
Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (6 ; 24).
La fonction est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite.
D'après la question précédente, on a :
Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 24) et (6 ; 16).
3. a) équivaut à :
pour .
3. b) cf graphique (pointillés bleus).
4. est le périmètre du triangle RSH et est le périmètre du trapèze STMH.
Donc, la solution de l'équation représente la distance RS pour laquelle les périmètres du triangle RSH et du trapèze STMH sont égaux.
D'où : les périmètres du triangle RSH et du trapèze STMH sont égaux lorsque RS = 4,5 cm.
Publié par TP/porcepic
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à david9333 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !