Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Sud - Session Novembre 2007

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques


exercice 1

Pour chacune des questions ci-dessous, écrire les étapes des calculs.

1. On pose
\text{A} = \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{7} \times \left(5 + \dfrac{1}{2}\right).
Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. On pose
\text{B}  = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 7 \times  10^7}{5 \times 10^2}.
Calculer B. Présenter le résultat sous la forme scientifique.

3. On pose
\text{C}  = 2\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + 3\sqrt{200}.
Calculer C. Présenter le résultat sous la forme a\sqrt{2}a est un entier.




exercice 2

On donne E = (3x - 5)^2 - 2(3x - 5).

1. Développer et réduire E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x =  -2.

4. Résoudre l'équation : (3x - 5)(3x - 7) = 0.




exercice 3

1. Résoudre le système d'équations ci-dessous
\left\lbrace\begin{array}{l c r} 4a + 8b &=& 12 \\ 2a + b &=& 2,70 \\ \end{array}\right.

2. À la boulangerie, Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisins pour 6 €.
Dans la même boulangerie, Karim achète 2 croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €.
Quel est le prix d'un croissant ?
Quel est le prix d'un pain aux raisins ?


12 points

Activités géométriques


exercice 1

L'unité est le cm. Sur la figure ci-dessous, les longueurs ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure.
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 1

On sait que les points Y, S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X, S, A et D sont alignés dans cet ordre.
On sait également que: (YX) // (AB) ; SA = 3 ; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4.

1. Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondir au mm.

2. On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.
Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.




exercice 2

L'unité de longueur est le cm.
On considère le triangle SAB tracé sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.
Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA = 5 et SB = 12.

1. Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.

2. Déterminer la mesure de \widehat{\text{SAB}} (arrondie au degré).

3. a) Placer le point R image de B par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{SA}}.
    b) Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle.

4. Placer le point M, tel que
\vect{\overrightarrow{AM}}= \overrightarrow{\text{AS}} + \overrightarrow{\text{AB}}.


Annexe (à rendre avec la copie)
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 3



12 points

Problème

L'unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l'échelle \dfrac{1}{2}. Ne pas reproduire la figure.
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 2

Partie A

Soit (C) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10.
Soit T un point de (C) tel que RT = 6.

1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle.

2. Démontrer que TM = 8.

Partie B

Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM).
On pose RS = x.

1. Donner un encadrement de x.

2. Démontrer que RH = \dfrac{5}{3}x et SH = \dfrac{4}{3}x.

3. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle RSH.

4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : 24 -  \dfrac{4}{3}x.

Partie C

On considère les fonctions affines f et g telles que :
f \quad :  x \longmapsto 4x \quad \quad \; et \; \quad \quad g : x \longmapsto 24 -  \dfrac{4}{3}x.

1. Calculer f(0), f(6), g(0) et g(6).

2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement f et g dans un repère orthonormé
    origine du repère en bas à gauche de la feuille de papier millimétré ;
    unité le cm.

3. a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x).
    b) Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires.

4. Que représente la solution de l'équation f(x) = g(x) pour la partie B de ce problème ?




Activités numériques

exercice 1

1.
\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{7}\times\left(5+\dfrac{1}{2}\right)\\\\ A&=&\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{7}\times\left( \drac{5 \times 2}{1 \times 2} +\dfrac{1}{2}\right)\\\\ A&=&\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{7}\times\dfrac{10+1}{2}\\\\ A&=&\dfrac{5}{7}+\dfrac{11}{14}\\\\ A&=&\dfrac{5 \times 2}{7 \times 2}+\dfrac{11}{14}\\\\ A&=&\dfrac{10+11}{14}\\\\ A&=&\dfrac{3 \times 7}{2 \times 7}\\\\ A&=&\dfrac{3}{2} \end{array}

2.
\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{15\times10^{-3}\times7\times10^{7}}{5\times10^{2}}\\\\ B&=&\dfrac{15\times7\times10^{-3}\times10^{7}}{5\times10^{2}}\\\\ B&=&\dfrac{3\times7\times10^{-3+7}}{10^{2}}\\\\ B&=&21\times10^{4-2}\\ B&=&21\times10^{2}\\ B&=&2,1\times10^{3} \end{array}

3.
\begin{array}{rcl} C&=&2\sqrt{50}-5\sqrt{8}+3\sqrt{200}\\ C&=&2\sqrt{25\times2}-5\sqrt{4\times2}+3\sqrt{100\times2}\\ C&=&2\sqrt{5^{2}\times2}-5\sqrt{2^{2}\times2}+3\sqrt{10^{2}\times2}\\ C&=&2\sqrt{5^{2}} \times \sqrt{2}-5 \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{2} + 3 \sqrt{10^{2}} \times \sqrt{2}\\ C&=&2 \times 5 \times \sqrt{2}-5 \times 2 \times \sqrt{2} + 3 \times 10 \times \sqrt{2}\\ C&=&10\sqrt{2}-10\sqrt{2}+30\sqrt{2}\\ C&=&30\sqrt{2} \end{array}




exercice 2

1. Développons et réduisons E :
\begin{array}{rcl} E&=&(3x-5)^{2}-2(3x-5)\\ €&=& (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 - 2 \times 3x - 2 \times (-5)\\ E&=&9x^{2}-30x+25-6x+10\\ E&=&9x^{2}-36x+35 \end{array}

2. Factorisons E :
\begin{array}{rcl} E&=&(3x-5)^{2}-2(3x-5)\\ E&=& \textcolor{red}{(3x-5)}(3x-5) - 2 \textcolor{red}{(3x-5)}\\ E&=&(3x-5)(3x-5-2)\\ E&=&(3x-5)(3x-7) \end{array}

3. Pour x = -2, calculons E :
E = 9x^2 - 36x + 35\\ E = 9 \times (-2)^2 - 36 \times (-2) + 35\\ E = 9 \times 4 + 72 + 35 \\ E = 143

4. (3x-5)(3x-7)=0
Un produit de facteurs est nul, si au moins l'un des facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{rcl} 3x-5=0 & \text{ ou } & 3x-7=0\\ 3x=5& &3x=7\\ x=\dfrac{5}{3}&&x=\dfrac{7}{3} \end{array}
Les solutions de l'équation sont \dfrac{5}{3} et \dfrac{7}{3}.




exercice 3

1. Résolvons ce système par substitution : \left\lbrace\begin{array}{l}4a+8b=12 \, (1) \\2a+b=2,70 \, (2) \end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{l}4a+8\times(2,70-2a)=12\\b=2,70-2a\end{array}\right. (à l'aide de l'équation (2), on exprime b en fonction de a et on remplace b par 2,70 - 2a dans l'équation (1)).

\left\lbrace\begin{array}{l}4a-16a=12-8\times2,70\\b=2,70-2a\end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{l}-12a=-9,6\\b=2,70-2a\end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{l}a=\cfrac{9,6}{12}\\b=2,70-2\times\cfrac{9,6}{12}\end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{l}a=0,8\\b=2,70-1,6\end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{l}a=0,8\\b=1,1\end{array}\right.
La solution du système est le couple (0,8 ; 1,1).

2. Soit a le prix d'un croissant, soit b le prix d'un pain aux raisins.
a et b sont deux nombres positifs.
Marie achète deux croissants et quatre pains aux raisons pour 6 €, donc 2a + 4b = 6.
Karim achète deux croissants et un pain aux raisins pour 2,70 €, donc 2a + b = 2,70.
On obtient le système suivant : \left \lbrace \begin{array}{l} 2a + 4b = 6\\2a + b = 2,70 \end{array}.
A l'aide de la question précédente, on sait que a = 0,8 et b= 1,1.
D'où : un croissant coûte 0,80 € et un pain aux raisins coûte 1,10 €.


Activités géométriques

exercice 1

Les droites (YB) et (XA) sont sécantes en S, les droites (YX) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{SA}{SX} = \dfrac{SB}{SY} = \dfrac{AB}{YX}
Donc : \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{SY} = \dfrac{4}{YX}
De \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{YX} on déduit que YX = \dfrac{5 \times 4}{3} = \dfrac{20}{3} \approx 6,7 \text{ cm}.
Donc : YX = \dfrac{20}{3} \text{ cm} (valeur exacte), YX \approx 6,7 \text{ cm} (valeur arrondie au mm).

2. Les points S, A, D d'une part et S, B, E d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{SB}{SE} = \dfrac{5}{7,5} = \dfrac{50}{75} = \dfrac{25 \times 2}{25 \times 3} = \dfrac{2}{3}
et \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{3}{4,5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2 \times 15}{3 \times 15} = \dfrac{2}{3}
Donc : \dfrac{SB}{SE} = \dfrac{SA}{SD}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.




exercice 2

1. Dans le triangle SAB, le côté le plus long est [AB].
On a SA² + SB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
et AB² = 13² = 169
Donc SA² + SB² = AB².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S.

2. Dans le triangle SAB rectangle en S, on a :
\cos(\widehat{SAB}) = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{5}{13} |nl]Donc \widehat{SAB} = \cos^{-1} \left( \dfrac{5}{13} \right) \approx 67°.
L'angle \widehat{SAB} mesure environ 67° (valeur arrondie au degré).

3. a)
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 4

3. b) Le point R est l'image de B par la translation de vecteur \overrightarrow{SA}, donc SARB est un parallélogramme. De plus, \widehat{ASB}=90° donc SARB est un rectangle.

4. cf figure précédente.


Problème

Partie A

1. [RM] est un diamètre du cercle (C) et T appartient au cercle (C).
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle RTM est rectangle en T.
2. Dans le triangle RTM rectangle en T, on applique le théorème de Pythagore :
RM² = RT² + TM²
Donc : TM² = RM² - RT² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
Donc : TM = \sqrt{64} = 8 cm

Partie B

1. S est un point du segment [RT] (avec RT = 6 cm) et RS=x, donc 0 \leq x \leq 6.

2. Les droites (ST) et (HM) sont sécantes en R, les droites (SH) et (TM) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{RH}{RM} = \dfrac{RS}{RT} = \dfrac{SH}{TM}
Donc : \dfrac{RH}{10} = \dfrac{x}{6} = \dfrac{SH}{8}
De \dfrac{RH}{10} = \dfrac{x}{6} on déduit que RH = \dfrac{10 \times x}{6} = \dfrac{5 x}{3} \text{ cm}
De \dfrac{x}{6} = \dfrac{SH}{8} on déduit que SH = \dfrac{x \times 8}{6} = \dfrac{4 x}{3} \text{ cm}

3. Le périmètre de RSH est égal à RS + SH + RH,
soit x + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{3}x = \dfrac{3}{3} x + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{3}x = \dfrac{12}{3}x = 4x \text{ cm.}

4. Le périmètre de STMH est égal à ST + TM + HM + SH.
Or, le point S appartient au segment [RT], donc ST = RT - RS = 6 - x et le point H appartient au segment [RM], donc HM = RM - RH = 10 - \dfrac{5}{3}x.
Donc : ST + TM + HM + SH = 6 - x + 8 + 10 - \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{3}x = 24 - \dfrac{3}{3} x - \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{3}x = 24 - \dfrac{4}{3}x.

Partie C

1. f(0) = 4 \times 0 = 0 \text{ et } f(6) = 4 \times 6 = 24
g(0) = 24 - \dfrac{4}{3} \times 0 = 24 \text{ et } g(6) = 24 - \dfrac{4}{3} \times 6 = 24 - \dfrac{24}{3} = 24 - 8 = 16.

2. La fonction f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
D'après la question précédente, on a : f(6) = 24.
Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (6 ; 24).

La fonction g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite.
D'après la question précédente, on a : g(0) = 24 \text{ et } g(6) = 16
Cette droite passe par les points de coordonnées (0 ; 24) et (6 ; 16).
Diplôme national du brevet - Amérique du Sud - Novembre 2007 - troisième : image 5

3. a) f(x) = g(x) équivaut à :
4x = 24 - \dfrac{4}{3}x \\ 4x + \dfrac{4}{3}x = 24 \\ \dfrac{12}{3}x + \dfrac{4}{3}x = 24 \\ \dfrac{16}{3}x = 24 \\ x = \dfrac{24}{\dfrac{16}{3}} \\ x = 24 \times \dfrac{3}{16} \\ x = \dfrac{9}{2} \\ x = 4,5
f(x) = g(x) pour x = 4,5.

3. b) cf graphique (pointillés bleus).

4. 4 x est le périmètre du triangle RSH et 24 - \dfrac{4}{3} x est le périmètre du trapèze STMH.
Donc, la solution de l'équation f(x) = g(x) représente la distance RS pour laquelle les périmètres du triangle RSH et du trapèze STMH sont égaux.
D'où : les périmètres du triangle RSH et du trapèze STMH sont égaux lorsque RS = 4,5 cm.
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